Bienvenidos al módulo cuatro. En este vídeo nos enfocaremos a estudiar las dos medidas angulares principales, los radianes y los grados sexagesimales o, como comúnmente les llamamos, simplemente grados. Los grados son una medida angular que proviene de dividir una circunferencia en 360 partes iguales. Esta forma de medir los ángulos ya nos es familiar, pues desde pequeños estamos acostumbrados a medirlas con el transportador. También sabemos que se representa con un pequeño círculo en la parte superior derecha del número. Por su parte, los radianes son otra manera de medir ángulos, pero esta manera nos es menos familiar e intuitiva. Cuando se mide un ángulo en radianes, se traza un arco que se corresponde con el ángulo, se mide su longitud y después se divide esta longitud entre el radio del arco. Es decir, un ángulo medido en radianes se puede escribir como "theta" o el ángulo igual a "l" entre "r", donde "l" es la longitud del arco de la circunferencia que coincide con el ángulo en cuestión y "r" es el radio de la misma. Si bien esta idea es rara, te será más fácil entenderla con un ejemplo. Consideremos un ángulo llano, es decir, de 180 grados, para obtener su medida en radianes, tomando en cuenta que en este caso la longitud del arco, es decir, lo que está en rojo, es la mitad del perímetro y el radio puede ser cualquiera, digamos "r". Entonces la medida del ángulo en radianes sería "theta" igual a "l" entre "r", como habíamos dicho. Pero, como en este caso la longitud es la mitad del perímetro, podríamos escribir que el ángulo "theta" es igual al perímetro dividido entre dos, entre "r". Además, sabemos que el perímetro de un círculo es dos "pi" por radio y entonces la mitad de la circunferencia será igual simplemente a "pi" por el radio, con lo cual podremos escribir la medida de este ángulo como "theta" igual a "pi" por radio entre radio y, haciendo la división, nos quedará simplemente "pi". Como puedes ver, la medida del ángulo no depende del radio de la circunferencia que estemos empleando, es decir, un ángulo de 180 grados siempre va a medir "pi" en radianes. Revisemos otro ejemplo. Consideremos un ángulo que sea la cuarta parte de la circunferencia. Nuevamente, en este caso, con base en la definición, el ángulo sería "theta" igual a la longitud dividido entre el radio. Pero como mencionamos, la longitud del arco es la cuarta parte del perímetro, es decir, la longitud sería igual al perímetro dividido entre cuatro. Y, como sabemos el valor del perímetro, podemos llevar a cabo la siguiente simplificación para obtener el valor de la longitud del arco. En este caso, nos quedaría que la longitud sería igual a dos "pi" por radio, que es el perímetro, dividido entre cuatro, y, haciendo la simplificación, nos quedaría "pi" por radio dividido entre dos. Con lo cual, ya tenemos la longitud de "l" y la medida de este ángulo en radianes sería theta igual a "pi" por radio dividido entre dos, dividido entre el radio. Haciendo el sandwich o división de fracciones, recuerda que tendríamos que hacer la multiplicación de los extremos por los extremos y los medios por los medios. Es decir, tendríamos que hacer la multiplicación de uno por "pi" por "r" y dos por "r". Al hacer la multiplicación de uno por "pi" por "r" nos quedará "pi" por "r", y eso lo pondremos en el numerador. Y al hacer la multiplicación de dos por "r", obtendremos dos "r" y eso lo escribiremos en el denominador. Después podemos simplificar el radio y nos quedará "pi" entre dos. Y nuevamente vemos que el radio de la circunferencia no influye, es decir, que un ángulo que corresponde a la cuarta parte de una circunferencia siempre va a medir "pi" sobre dos radianes, o bien, pensando que la circunferencia mide 360 grados y que su cuarta parte es 90 grados, podríamos establecer que un ángulo de 90 grados se va a corresponder con "pi" sobre dos radianes. El procedimiento anterior siempre lo podremos repetir, es decir, siempre podremos hacer corresponder un arco de circunferencia con un ángulo y dividir entre la longitud de su radio para obtener su medida en radianes. Dicho de otra manera, siempre podremos obtener la medida en radianes de un ángulo cualquiera. Ahora, como somos más familiares a las medidas de ángulos en grados, platicaremos sobre cómo hacer la conversión de grados a radianes. Ya hemos establecido la equivalencia más sencilla, es decir, 180 grados es igual a "pi" radianes. Entonces, cuando queramos la medida de un ángulo en radianes, utilizaremos la equivalencia anterior formando un factor cuyo denominador sean los 180 grados. Por ejemplo, para convertir 45 grados a radianes multiplicamos los 45 grados por un factor hecho a partir de la equivalencia anterior, como habíamos mencionado, en donde el 180 está en el denominador. Realizando la multiplicación, nos resulta en "pi" sobre de cuatro radianes y esto es aproximadamente igual a 0.785 radianes. Del mismo modo, para convertir 60 grados a radianes multiplicamos 60 grados por el mismo factor y nos resulta en "pi" sobre tres radianes, lo cual es aproximadamente igual a 1.047 radianes. Observa que cuando es posible, el ángulo en radianes se deja expresado en términos de "pi" para no tener una representación irracional. Ahora tú, intenta convertir 35 grados a radianes. La respuesta es multiplicar 35 grados por el factor de conversión, en donde el denominador son los 180 grados, resultando siete 36 avos de "pi", aproximadamente igual a 0.610 radianes. Por último, para convertir un ángulo de radianes a grados se forma otro factor a partir de la equivalencia antes mencionada, pero en este caso el denominador corresponde a "pi". Y si te fijas, este factor es el recíproco del anterior. Por ejemplo, convertir "pi" entre siete radianes a grados. En este caso, hacemos la multiplicación de "pi" entre siete radianes por el factor antes mencionado que tiene a "pi" radianes en el denominador, resultando en 25.71 grados. Como otro ejemplo, podemos hacer la conversión de 1.35 radianes a grados y nuevamente hacemos la multiplicación por el factor que tiene "pi" radianes en el denominador, resultando en 77.34 grados. Ahora tú. Intenta convertir dos radianes a grados. Respuesta. Multiplica los dos radianes por el factor que tiene en el denominador los "pi" radianes y resultará aproximadamente 114.59 grados. Bueno, hemos visto cómo transformar la medida de un ángulo de radianes a grados y ahora te preguntarás, ¿qué importancia tiene medir un ángulo en radianes? Entre otras cosas, los radianes asignan valores numéricos a la medida de un ángulo y esto nos permite realizar operaciones aritméticas como la suma y la resta entre la medida de un ángulo en radianes y otros números. Por mi parte, es todo. Nos vemos en el siguiente video.
