Soy María del Carmen Martínez. Bienvenidos al módulo dos de Funciones racionales y con radicales. En este video, vamos a estudiar las funciones racionales, las cuales son muy importantes que las conozcas, que conozcas sus características. Posiblemente consideres que nunca las vas a necesitar, pero es muy importante que las estudies, que sepas de dónde se derivan. Es como saber para qué se necesita consultar un dermatólogo, aunque nunca en tu vida tú lo vayas a necesitar. Y, principalmente, lo vas a necesitar para cálculo. Para tus futuros estudios, necesitas el conocimiento de estas funciones. Analicemos el siguiente problema. Supongamos que un automóvil deportivo viaja a una velocidad promedio de 200 kilómetros por hora. Efectúa el recorrido entre dos poblados en una hora. ¿En cuánto tiempo efectuaría el recorrido viajando a una velocidad de "x" kilómetros por hora? Es decir, ¿en un kilómetro por hora?, ¿en dos kilómetros por hora?, ¿en tres kilómetros por hora?, etcétera. Observemos que el tiempo está en función de la velocidad. Entonces, tenemos que la variable independiente es la velocidad, la variable dependiente es el tiempo. El tiempo depende de la velocidad, toma en cuenta los datos que tienes. Considerando los datos, vamos a revisar la siguiente tabla: velocidad y tiempo. Si la velocidad es de un kilómetro por hora, el tiempo es de 200 horas. Si la velocidad es de dos kilómetros por hora, el tiempo va a ser de 100 horas. Si la velocidad es de tres kilómetros por hora, el tiempo es de 200 sobre tres horas. Si la velocidad de 100 kilómetros por hora, el tiempo es de dos horas. Observa que para "x" kilómetros por hora, el tiempo será 200 sobre "x". En todos los casos, ¿cuál es el producto de la velocidad por el tiempo? Espero que hayas contestado que es 200. Esa es la constante de nuestro problema. El modelo matemático que representa el problema para "x" kilómetros por hora es "T(x)" igual a 200 sobre "x", con "x" mayor que cero. Una vez que tenemos la función que representa el problema, podemos calcular el tiempo que tardaría el automóvil viajando a "x" velocidad. Por ejemplo, a una velocidad de 250 kilómetros por hora, el tiempo que realizará es 200 sobre 250, igual a cuatro quintos de hora, equivalente a 48 minutos. Al graficar la función se tiene que si la velocidad aumenta, el tiempo disminuye y si la velocidad disminuye, el tiempo aumenta. El dominio "D" de la función "T(x)" igual a 200 sobre "x", con "x" mayor que cero, es el conjunto de todos los valores que puede tomar la velocidad "x", variable independiente. En este caso, para todos los números reales que son mayores que cero; por lo tanto, el dominio se representa por "Df" igual a "x", que está en los reales, con "x" mayor que cero. Se lee "el dominio de la función es igual al conjunto de los números reales que son mayores que cero". El rango son todos los valores que toma la variable dependiente, en este caso, el tiempo. Y nuestro problema es todos los números reales mayores que cero y se representa por "Rf" igual a "y" que está en los reales, con "y" mayor que cero. Se lee "el rango de la función es igual al conjunto de los números reales, que son mayores que cero". El análisis del problema nos ha llevado a una función que tiene la forma "f(x)" igual a "g(x)" entre "h(x)", llamada función racional; donde "g(x)" y "h(x)" son polinomios cualesquiera; y "h(x)", diferente de cero. Recuerda que la división entre cero no está definida. Analicemos las funciones racionales de la forma "f(x)" igual a "a" entre "x" a la "n", en donde "a" es un número real diferente a cero, "n" es un número entero positivo y "x" es diferente de cero. Un ejemplo de la función anterior es "f(x)" igual a uno sobre "x"; realicemos un bosquejo de su gráfica. Para ello se le dan valores a "x" cercanos a la asíntota vertical, "x" igual a cero por la derecha y por la izquierda, por ejemplo, en el intervalo de menos diez a diez. Observa que la gráfica está formada por dos curvas que comprenden los intervalos de menos infinito a cero y de cero a infinito. Cuando "x" es positiva, "y" se acerca a cero; la función crece indefinidamente. Cuando "x" crece, los valores de la función son más pequeños, se van acercando a cero. Cuando "x" es negativa, "y" se acerca a cero; la función decrece indefinidamente. Cuando "x" toma valores de menos infinito, los valores de la función se van acercando a cero. La gráfica son dos curvas que se van acercando a los ejes de coordenadas, pero nunca las tocan, se van acercando. Esas rectas se llaman asíntotas. En este caso, la asíntota vertical tiene como ecuación "x" igual a cero y es el eje "Y". Y la asíntota horizontal es el eje "X", que tiene como ecuación "y" igual a cero. Ahora examinemos la función "f(x)" igual a siete entre "x" más tres. Necesitamos, primero, conocer para qué valores de "x" la función no está definida. Para ello, igualamos a cero el denominador; se resuelve la ecuación que se obtiene "x" más tres igual a cero, donde "x" igual a menos tres es la solución. Así que la función está definida para todos los números reales excepto para "x" igual a menos tres; es decir, hay discontinuidad. Y la recta "x" igual a menos tres es la asíntota vertical. Para graficar, le damos valores a "x" cercanos a la asíntota vertical de "x" igual a menos tres por la derecha y por la izquierda, por ejemplo, de menos siete a siete. Observa que la asíntota vertical es "x" igual a menos tres; la curva se va acercando a esa recta, pero no la toca. La asíntota horizontal es "y" igual a cero; se va acercando al eje "X", pero tampoco lo toca. El dominio de la función es de "Df" igual a "x" que está en los reales con "x" diferente de menos tres. El rango de la función es "Rf" igual a "y", que está en los reales, y "y" diferente de cero. En general, las funciones "f(x)" igual a "a" entre "x" menos "b" tiene las siguientes propiedades: ecuación de la asíntota vertical es "x" igual a "b"; ecuación de la asíntota horizontal, "y" igual a cero. El dominio son las "x" que están en los reales, con "x" diferente de "b". El rango son las "y" que están en los reales, con "y" diferente de cero.
