Ahora trabajaremos con las funciones que involucran en su regla de correspondencia a los radicales. Haciendo referencia al tema de geometría analítica que hemos estudiado, vamos a ver la parábola. La parábola, como recordarás, es muy útil en la ingeniería, por ejemplo, en la construcción de puentes. También, es útil para que se puedan construir los faros y las antenas parabólicas. Tiene muchas más aplicaciones la parábola, pero espero que recuerdes estas. Comencemos con la función que está relacionada con la semiparábola, que tiene vértice en coordenadas "(- 2, 0)" y su foco en coordenadas "(- 3/2, 0)". Por los datos que nos proporcionan, se trata de una parábola horizontal, por lo tanto, se tiene la ecuación de la forma "y - k" al cuadrado es igual a "4p" por "x - h". El vértice "(h, k)" es igual a "(- 2, 0)". Se tiene que "h" es igual a "-2" y "k" es igual a "0". ¿Estarás de acuerdo? En el foco, "h + p, k", entonces, "h + p" es igual a "- 3/2". Sustituyendo "h" en "- 2" se tiene que "- 2 + p" es igual a "- 3/2". Despejando "p", se tiene que "p" es igual a "- 3/2 + 2", por lo tanto, "p" es igual a "1/2". Sustituyendo los valores en la ecuación de la parábola, tenemos, "y - 0" al cuadrado es igual a "4" por "1/2" por "x + 2"; "y" al cuadrado es igual a "2" por "x + 2"; "y" al cuadrado es igual a "2x + 4". Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros para despejar "y", se obtiene la ecuación "y" igual a la raíz cuadrada de "2x + 4". Como te has dado cuenta, existen situaciones que son modeladas matemáticamente por las funciones que contienen, en su regla de correspondencia, a los radicales. Las funciones que tienen en su regla de correspondencia al menos un radical son denominadas "funciones con radicales". Como vamos a trabajar con radicales, es importante recordar que el índice de un radical nos indica el tipo de raíz con la que vamos a trabajar, por ejemplo, si es dos, es cuadrada, si es tres, es cúbica, y así sucesivamente. También, debemos de recordar que, cuando el índice es par, solo está definido en los números reales, es decir, lo que está dentro del radical, que es el radicando, debe de ser positivo o cero. Por ejemplo, para establecer el dominio de una función de la forma "f(x)" igual a la raíz cuadrada de "AX + B", para determinar los valores de la variable "X" en la que la función está definida, es necesario resolver la desigualdad o inecuación del radicando, "AX + B" mayor o igual a cero. La desigualdad se resuelve despejando "X" tal como se resuelve una ecuación, pero, teniendo cuidado de no multiplicar o dividir con números negativos, porque el sentido de la desigualdad se cambia. Analizar el comportamiento de las funciones con radicales nos permitirá determinar el dominio, el rango y, a través de la regla de correspondencia, podremos elaborar una tabla que nos permita realizar la gráfica. Vamos a iniciar con el análisis de la función de forma "y" cuadrada igual a "x". Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros, se tiene "y" igual a raíz cuadrada de "x" o "f(x)" igual a raíz cuadrada de "x", la cual es de las funciones más sencillas con radicales. Observa que si "x" es igual a "- 4", se tiene que "f(x)" es igual a raíz cuadrada de menos cuatro, que no existe en los números reales, entonces, la variable "x" tiene que ser mayor o igual que cero, por lo tanto, la variable "y" toma valores mayores o iguales que cero, concluyendo que el dominio de la función es "Df" igual a "x" que está en los reales con "x" mayor o igual a "0". El rango de las función es "Rf" igual a "y" que está en los reales con "y" mayor o igual a "0". Elaboremos una tabla para "f(x)" igual a la raíz cuadrada de "x", con algunos valores estratégicos para la variable "x" para que sea más fácil calcular el valor de "y". Observa que la gráfica corresponde a una semiparábola horizontal que abre hacia la derecha y tiene su vértice en el origen. Continuemos con otro ejercicio, determinar dominio, rango y la gráfica de la siguiente función, "f(x)" igual a la raíz cuadrada de "x + 1". Primero, resolvemos la desigualdad del radicando, "x + 1" mayor o igual a "0". Despejando "x" se tiene que "x" es mayor o igual que "-1". Entonces, la función está definida para valores de la variable "x" mayores o iguales a "-1". Considerando los valores para "x", hacemos una tabla con algunos valores de "x" estratégicos para obtener los valores de "y". La gráfica asociada a la regla de correspondencia "f(x)" igual a raíz cuadrada de "x + 1" es, el dominio y el rango de la función son: dominio, "x" que están en los reales con "x" mayor o igual que "-1"; rango, "y" que está en los reales con "y" mayor o igual a "0". Observa que la gráfica corresponde a una semiparábola horizontal que abre hacia la derecha y tiene su vértice en el punto "(- 1, 0)". Con respecto a la gráfica "f(x)" igual a raíz cuadrada de "x", se ha trasladado una unidad hacia la izquierda. Realicemos otro ejercicio, determinar, como siempre, dominio, rango y la gráfica de la función "f(x)" igual a raíz cuadrada de "x - 7". Primero, resolvemos la desigualdad del radicando, "x - 7" mayor o igual que "0". Despejando "x" se tiene que "x" es mayor o igual que "7", entonces, la función está definida para valores de la variable "x" mayores o iguales que "7". Considerando los valores para "x", hacemos una tabla con algunos valores de "x" estratégicos para obtener los valores de "y". La gráfica asociada a la regla de correspondencia "f(x)" igual a raíz cuadrada de "x - 7" es, observa que la gráfica corresponde a una semiparábola horizontal que abre hacia la derecha y tiene su vértice en el punto "(7, 0)". En relación con "f(x)" igual a raíz cuadrada de "x", la función "f(x)" igual a raíz cuadrada de "x - 7" se ha trasladado 7 unidades a la derecha. Observa que el dominio y el rango de la función son, dominio, "x" que está en los reales con "x" mayor o igual que "7"; rango, "y" que está en los reales con "y" mayor o igual que cero. En conclusión, se tiene que las funciones de la forma "f(x)" igual a raíz cuadrada de "x + b" tienen las siguientes características. Dominio, "x" que está en los reales mayor o igual que "- b"; rango, "y" que está en los reales con "y" mayor o igual que "0". Sus gráficas corresponden a una semiparábola horizontal que abre hacia la derecha y tiene su vértice en el punto "(- b, 0)". Ahora, analicemos las funciones de la forma "f(x)" igual a raíz cuadrada de "ax" más, menos, "b", pero, tomemos ahora el problema con el que iniciamos, el de la semiparábola, ¿lo recuerdas? "Y" igual a raíz cuadrada de "2x + 4" con vértice en el punto "(- 2, 0)", foco de coordenadas "(- 3/2, 0)". Analicemos su comportamiento. Primero, vamos a ver para qué valores de la variable "x" está definida la función. Resolvamos la desigualdad del radicando, "2x + 4" mayor o igual que "0". Despejando "x" se tiene que "2x" es mayor o igual que "-4", "x" es mayor o igual que "- 4/2", por lo tanto, "x" es mayor o igual que "- 2". La función está definida para valores de "x" mayores o iguales "- 2", por lo tanto, la variable "y" toma valores mayores o iguales que cero, concluyendo que el dominio es el conjunto de las "x" que está en reales tal que "x" es mayor o igual que "- 2", el rango son las "y" que están en los reales con "y" mayor o igual que "0". Realizamos la tabulación para construir la gráfica. La gráfica asociada a "f(x)" igual a raíz cuadrada de "2x + 4" es, examinemos la función "f(x)" igual a raíz cuadrada de "9x - 18". Como ya sabes, primero tenemos que resolver la desigualdad del radicando, "9x - 18" mayor o igual que "0". Despejando "x", se tiene "9x" mayor o igual que "18", "x" mayor o igual que "18/9", "x" mayor o igual a "2", entonces, la función está definida para valores de la variable "x" mayores o iguales a "2". Factorizando el radicando y aplicando las propiedades de los radicales en la función "f(x)" igual a raíz cuadrada de "9 x - 18", se tiene "f(x)" es igual a la raíz cuadrada de "9" que multiplica a "x - 2", "f(x)" igual a raíz cuadrada de "9" por la raíz cuadrada de "x - 2", "f(x)" igual a tres que multiplica a la raíz cuadrada de "x - 2". Por lo anterior, concluimos que el dominio es las "x" que están en los reales tales que "x" es mayor o igual a "2"; el rango, las "y" que están en los reales tales que "y" es mayor igual a cero; además, que la función "f(x)" igual a "3" por la raíz cuadrada de "x - 2" comparada con "f(x)" igual a la raíz de "x", se ha trasladado 2 unidades a la derecha y el valor de la variable "y" se ha triplicado. Para verificar que nuestras conclusiones son correctas vamos a realizar la gráfica, ya sea tabulando o utilizando un software dinámico como el Geogebra. El próximo video estudiaremos las funciones donde el radicando son expresiones de segundo grado.
