[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] Hola. Soy Claudia Verónica Morales, y les doy la más cordial bienvenida al módulo tres, Funciones Exponenciales y Logarítmicas. En funciones exponenciales analizaremos diferentes problemáticas, a través del estudio gráfico y analítico, y además de sus parámetros. Obviamente, basándonos en su gráfica, como lo veremos a continuación. Además, estudiaremos problemas de la función exponencial con base e, que son muy importantes en los procesos biológicos y económicos. En funciones logarítmicas comprenderás el concepto de logaritmo de un número base b. Es decir, b a la y es igual a x, si y solo si, y es igual al logaritmo de x, base b. Además de sus propiedades y cambio de base, también estudiaremos su representación gráfica. Conocerás la relación que existe también entre la función exponencial y la función logarítmica, realizando todo este recorrido a través de diversas problemáticas. La función exponencial estudia diversos fenómenos, como el crecimiento poblacional, las inversiones con su interés compuesto, y el comportamiento de epidemias. Empecemos a analizar con el siguiente ejemplo. Te habrás dado cuenta de todos los sitios web que hay en la red de redes, internet. Son muchísimos, ¿verdad?, y la información, mucho más. José Juan Pozo en su trabajo, Crecimiento Exponencial de la Información del Big Data al Small Data, nos menciona que existe mil millones de sitios web y una cantidad de información de 4.4 zettabyte en el año 2016. Y predice que en el año 2020, haya 44 zettabyte de información. Claro, el crecimiento será muy rápido, you que ahora podemos almacenar y compartir grandes cantidades de información. Hay que tener presente que es muy bajo el porcentaje de la información que se considera útil, aproximadamente, un 20%, y no toda la información en internet es veraz. De acuerdo con lo que mencionamos, vamos a suponer que el porcentaje anual con el que se incrementará la cantidad de información es de 78%. Contamos con dos datos de la información que nos proporcionó José Juan Pozos y debemos estar atentos a ellos. Como dato inicial, tomaremos la que nos proporciona del año 2016, 4.4 zettabytes de información. Como puedes observar, la información está en función del tiempo. Por lo tanto, no utilizaremos la literal x, sino la literal t. Nos quedará, f de t, que representará la cantidad de información anual en la red de redes. El valor inicial podemos describirlo de la siguiente manera, f de 0 es igual a 4.4, solo recuerda que las unidades son zettabytes, esto fue en el año 2016. Para el año 2017 tenemos, f de 1 es igual a 4.4 más 4.4 por 78 sobre 100, you que partimos de la cantidad inicial, 4.4. Y le sumamos, 4.4 por 78 sobre 100 que está en la segunda parte, you que nos dará la información que se incrementará en un año, los 4.4 zettabytes de información con un 78%. Recuerda que podemos utilizar diferentes expresiones para los porcentajes, 78% es igual a 78 sobre 100, y es igual a 0.78. Para f1 es igual a 4.4 más 4.4 por 78 sobre 100. Factorizando, claro, el término común es 4.4. Tendremos, f de 1 es igual a 4.4 por 1 más 0.78, you que si multiplicamos 4.4 por 1 es igual a 4.4. Y 4.4 por 0.78, es igual a 4.4 por 78 sobre 100. Si sumamos lo que se encuentra dentro del paréntesis tendremos finalmente, f de 1 igual a 4.4 por 1.78, cantidad de información que se tendrá en el año 2017 en internet. Para 2018 tendremos, f de 2 es igual a 4.4 por 1.78, más 4.4 por 1.78 por 78 sobre 100. Primera parte de la operación, es el resultado que obtuvimos del año anterior, es la información obtenida en 2017. La segunda parte, es el porcentaje en que se incrementará la información en 2018. Por lo tanto, f de 2 es igual a 4.4 por 1.78, más 4.4 por 1.78 por 78 sobre 100. Factorizando nuevamente, f de 2 es igual a 4.4 por 1.78 por 1 más 0.78. Recuerda que, 78 sobre 100 es igual a 0.78. Sumando a lo que está en el paréntesis, tendremos, f de 2 es igual a 4.4 por 1.78, por 1.78. Por lo tanto, f de 2 es igual a 4.4 por 1.78 al cuadrado, cantidad de información que se tendrá en el año 2018 en internet. En el siguiente año, 2019, f de 3 es igual a 4.4 por 1.78 al cuadrado, más 4.4 por 1.78 al cuadro por 78 sobre 100. Factorizando tendremos, f de 3 es igual a 4.4 por 1.78 al cuadrado, por 1 más 0.78. Sumando, tendremos, f de 3 es igual a 4.4 por 1.78 al cuadrado por 1.78. Finalmente, f de 3 es igual a 4.4 por 1.78 al cubo, cantidad de información en internet en el año 2019. Recuerda, que para el año 2020 se proyectó que tendríamos 44 zettabytes de información. Vamos a ver si con el porcentaje que seleccionamos, se cumplió la predicción. Para f4 tendremos, que es igual a 4.4 por 1.78 al cubo, más 4.4 por 1.78 al cubo, por 78 sobre 100. Factorizando tenemos, 4.4 por 1.78 al cubo, por 1 más 0.78. Sumando lo que se encuentra dentro del paréntesis, tendremos, f de 4 es igual a 4.4 por 1.78 al cubo, por 1.78. Finalmente, f de 4 es igual a 4.4 por 1.78 a la cuarta. Realiza la operación y podrás observar, que es cierto. Nos aproximamos a 44 zettabytes en el año 2020. Vamos a concluir, observemos cada año. F de 0 es igual a 4.4 por 1.78 a la cero. F de 1 es igual a 4.4 por 1.78 a la uno. F de 2 es igual a 4.4 por 1.78 al cuadrado. F de 3 es igual a 4.4 por 1.78 al cubo. F de 4 es igual a 4.4 por 1.78 a la cuarta. T representa el número de años que van transcurriendo a partir de 2016. Recuerda que teníamos, f de t. Y según van transcurriendo los años, tendríamos, f de 1, f de 2, f de 3, y f de 4. El exponente de la potencia va cambiando de la misma manera, por lo tanto, cambiemos estos valores por t. F de t es igual a 4.4. por 1.78 a la t. Que es la regla de correspondencia que relaciona el tiempo t con la cantidad de información que obtenemos cada año. Gracias a esto podemos saber qué cantidad de información existirá en el 2030. Para esto tendríamos, f de 14 es igual a 4.4 por 1.78 a la 14, que es aproximadamente, 14103.69. 14, porque es es el número de años que transcurrieron entre 2016 y 2030. Y ahora para 2050, ¿qué cantidad de información tendríamos? F de 34 es igual a 4.4 por 1.78 a la 34, que es es aproximadamente, 1437913480. Si graficamos, esto quedará. [MÚSICA] [MÚSICA] T, es la variable independiente, por lo tanto, son los valores que pueden tomar el dominio. Y f de t es la variable dependiente, y son los valores que tomará el rango. Recuerda, que estamos revisando un problema en un contexto real. Por lo tanto, a pesar de que en la gráfica puedes ver qué te puede tomar valores negativos, en un contexto real no es así. T, tendrá que tomar valores desde cero hacia los reales positivos. Y el rango f de t, a partir de 4.4. Lo cual nos lleva a obtener, la siguiente definición. Una función exponencial se define como, f de x, igual a a por b a la x, o y igual a a por b a la x, con b diferente a 1, b mayor a cero y a diferente de cero, y x es un número real. Comparemos con el problema que realizamos. Por lo tanto, a es igual a 4.4, y b es igual a 1.78. La variable x, recuerda que la cambiamos por t, porque estamos trabajando con tiempo. Por lo tanto, el modelo matemático del problema que analizamos se puede representar mediante una función exponencial, claro está, creciente. [MÚSICA] [MÚSICA]
