Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Ejercicio 8.2
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Do curso por Tecnológico de Monterrey
Física: Vectores, Trabajo y Energía
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Conheça os instrutores
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Hola de nuevo. Para continuar nuestro tema del producto punto,
los ejemplos que tienen que ver con el producto punto en esta ocasión vamos
a utilizar dos vectores que están expresados en términos de Y,
J y K. Es decir,
están en tres dimensiones.
Vamos a realizar el producto punto y
además vamos a ver una aplicación muy útil para el producto
punto que es la determinación del
ángulo que hay entre dos vectores. Vamos a ver el ejercicio.
Hola, hoy vamos a hacer un ejercicio relacionado al producto punto.
Vamos a resolver un producto punto para vectores en tres
dimensiones y vamos a ver un par de aplicaciones geométricas relacionadas.
Entonces, tenemos un par de vectores,
el vector A es el vector 2Y menos 3 J + 4 K y el vector B es menos Y,
menos J más 2K.
Entonces lo primero que queremos calcular es el producto punto entre A
y B. Entonces ya habíamos visto en un ejercicio, perdonen,
las lecciones anteriores cómo podemos hacer este producto de manera análoga
a como hacemos la multiplicación de polinomios que
cada término de un polinomio tiene que multiplicarse por cada término del otro.
Sin embargo, aquí no son polinomios,
son vectores así que ese producto que vamos haciendo entre cada
componente de un vector con cada
componente del otro tiene que ser por medio de el producto punto.
Ok, bien.
Habíamos también visto que de
acuerdo a la teoría los productos entre
los vectores que son perpendiculares es igual a cero.
¿Por qué? Pues porque el coseno de 90
grados - ya que el producto punto depende del coseno del
ángulo - coseno de 90 grados es cero así que los productos como por ejemplo Y punto J
o Y Punto K o J punto Y o K punto J,
todos esos productos cruzados van a ser igual a cero.
Eso quiere decir que únicamente
necesitamos hacer los productos de las componentes que corresponden.
Por ejemplo, si hacemos el producto 2 Y punto menos Y
pues esto no nos va a dar cero.
Vamos a apuntarlo. Mas ahora las componentes Y,
el producto punto entre menos 3 J
punto menos J. Y las componentes Z,
vamos a hacer el producto 4K punto 2K.
Así que en cada uno de estos casos hay constantes involucradas.
Por ejemplo, en el primer caso tenemos un 2 y un menos
1 como coeficientes de los vectores unitarios Y. Entonces ese 2 y ese
menos 1 podemos multiplicarlos y esperar
un momentito a que se haga la multiplicación Y punto Y entonces tenemos 2
por menos 1 eso da menos 2 y entonces tenemos provisionalmente un menos 2 ahí pero
la multiplicación de Y punto
Y - no necesitamos hacer esto todo el tiempo pero lo vamos a apuntar -
Esa es igual a 1 lo mismo con los demás.
Tenemos para el caso de las componentes
Y menos 3 por menos 1 y el producto vectorial que nos quede simplemente
J punto J. Para el caso de la Z tenemos cuatro por dos y el producto
vectorial K punto K. Así que noten que cada uno de estos productos Y punto Y,
J punto J y
K punto K son igual a 1, igual a 1.
Es importante aquí que lo digan
así porque hay alumnos que creen que Y punto Y es algo como Y cuadrada.
Es importante tomar en cuenta que la definición del producto punto,
de acuerdo a la definición ya vimos en las clases teóricas Y punto Y va
a ser igual a 1 y cualquier otro de los productos cruzados por ejemplo Y puntoJ,
J punto K y todos los demás van a ser cero porque hacen 90 grados entre sí.
Muy bien, entonces de la primera parte tenemos un menos 2 mas un 3 mas un 8.
Sumando tenemos entonces un producto punto igual a 9
entonces este es el producto punto entre
dos vectores que están expresados en términos de los vectores unitarios Y,
J y K pero,
¿Qué podemos hacer con este producto punto?
Bien. Uno de los temas asociados precisamente en la teoría
es calcular la proyección escalar de un vector sobre otro.
Ya hicimos un ejemplo anteriormente para un par de vectores que están sobre un plano.
Ahora vamos a hacer eso mismo pero para estos dos vectores.
Vamos a calcular la proyección escalar de A sobre
B. Entonces tenemos la proyección escalar del vector A
sobre B que podemos denotarlo como una
A sub índice vector B dando a entender que vamos a calcular la proyección escalar.
Por eso no le pongo flechita a la A en dirección del vector B.
Y bueno vimos también la teoría de que hay dos
posibles maneras de calcular esto muy directamente.
Una de ellas es calcular el producto punto entre
los dos vectores y dividirlo entre la magnitud
del vector sobre el cual proyecto.
Chequen el video de la teoría en el que se da la
interpretación gráfica del producto punto y van a ver que
si despejamos de aquí el producto punto tendríamos que es la proyección
multiplicada por el vector sobre el
cual la magnitud del vector sobre el cual proyectamos.
Si lo hacemos al revés despejando la proyección sería el producto punto dividido entre la
magnitud de B. El producto punto lo calculamos hace un momento y nos dio 9.
Y la magnitud del vector
B la calculamos de la misma forma en que hemos estado haciendo eso
para cuando tenemos los vectores expresados en términos de los vectores unitarios y Y,
J y K. Sacar la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado.
Ojo aquí, no vayan a elevar al cuadrado ni y ni J ni K.
Las componentes son esos coeficientes de lo que tenemos.
Por lo tanto, la proyección escalar de A sobre B es 9 entre la raíz cuadrada de 6 que
podemos dejar expresado exactamente de esa
manera porque sería pues no es necesario redondear
a alguna cantidad de cifras decimales debido a ese
argumento nuevamente de que estas no son cantidades que provengan de mediciones.
Esta fue una aplicación geométrica para
el producto punto que es precisamente calcular la proyección de un vector sobre otro.
Ahora vamos a calcular el ángulo que hay entre los dos vectores.
Muy bien, entonces ¿De dónde saco el ángulo que hay entre los dos vectores?
Hay que recordar que la definición del producto punto depende,
de acuerdo a la definición del producto punto éste
depende del coseno del ángulo que hay entre los dos vectores.
Así que noten que esta ecuación tiene cuatro cantidades: el producto punto,
la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del ángulo, pero ¿cuál ángulo?
El ángulo que hay entre los vectores que como ya calculamos,
A punto B, la magnitud de A la calculamos de la misma manera,
les queda como ejercicio demostrar que es la raíz cuadrada
de 2 al cuadrado mas 3 al cuadrado mas cuatro al cuadrado en este caso,
o sea, la raíz de 29.
La raíz cuadrada de seis es la magnitud de
B que ya también habíamos calculado en su momento
y por el coseno del ángulo que hay entre los dos vectores
así que esto se reduce a un despeje muy sencillo.
Dividimos ambos lados entre raíz de 29 por 6.
Noten que tanto 29 como 6 están en una raíz cuadrada,
podríamos simplificar un poquito nuestros cálculos
haciendo una sola raíz cuadrada del producto de 29 por 6.
Nada más estén pendientes de la jerarquía de operaciones
en su calculadora y el ángulo lo calcularíamos
como el coseno inverso de 9 dividido entre la raíz cuadrada de 29
por 6. Esto redondeado a unos dos decimales sería 46
punto 98 grados.
Bueno pues como ven es muy sencillo llevar a cabo el producto punto,
mucho más fácil incluso que como el ejercicio que hicimos cuando los vectores están sobre
el plano X Y puesto que es cuestión de multiplicar las componentes correspondientes.
Además, vimos que es posible
encontrar el ángulo entre dos vectores a partir del producto punto.
Como ven, es un concepto
relativamente sencillo y de una amplia gama
de aplicaciones en la física. Bien, pues hasta la próxima.
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