Sumando tenemos entonces un producto punto igual a 9
entonces este es el producto punto entre
dos vectores que están expresados en términos de los vectores unitarios Y,
J y K pero,
¿Qué podemos hacer con este producto punto?
Bien. Uno de los temas asociados precisamente en la teoría
es calcular la proyección escalar de un vector sobre otro.
Ya hicimos un ejemplo anteriormente para un par de vectores que están sobre un plano.
Ahora vamos a hacer eso mismo pero para estos dos vectores.
Vamos a calcular la proyección escalar de A sobre
B. Entonces tenemos la proyección escalar del vector A
sobre B que podemos denotarlo como una
A sub índice vector B dando a entender que vamos a calcular la proyección escalar.
Por eso no le pongo flechita a la A en dirección del vector B.
Y bueno vimos también la teoría de que hay dos
posibles maneras de calcular esto muy directamente.
Una de ellas es calcular el producto punto entre
los dos vectores y dividirlo entre la magnitud
del vector sobre el cual proyecto.
Chequen el video de la teoría en el que se da la
interpretación gráfica del producto punto y van a ver que
si despejamos de aquí el producto punto tendríamos que es la proyección
multiplicada por el vector sobre el
cual la magnitud del vector sobre el cual proyectamos.
Si lo hacemos al revés despejando la proyección sería el producto punto dividido entre la
magnitud de B. El producto punto lo calculamos hace un momento y nos dio 9.
Y la magnitud del vector
B la calculamos de la misma forma en que hemos estado haciendo eso
para cuando tenemos los vectores expresados en términos de los vectores unitarios y Y,
J y K. Sacar la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado.
Ojo aquí, no vayan a elevar al cuadrado ni y ni J ni K.
Las componentes son esos coeficientes de lo que tenemos.
Por lo tanto, la proyección escalar de A sobre B es 9 entre la raíz cuadrada de 6 que
podemos dejar expresado exactamente de esa
manera porque sería pues no es necesario redondear
a alguna cantidad de cifras decimales debido a ese
argumento nuevamente de que estas no son cantidades que provengan de mediciones.
Esta fue una aplicación geométrica para
el producto punto que es precisamente calcular la proyección de un vector sobre otro.
Ahora vamos a calcular el ángulo que hay entre los dos vectores.
Muy bien, entonces ¿De dónde saco el ángulo que hay entre los dos vectores?
Hay que recordar que la definición del producto punto depende,
de acuerdo a la definición del producto punto éste
depende del coseno del ángulo que hay entre los dos vectores.
Así que noten que esta ecuación tiene cuatro cantidades: el producto punto,
la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del ángulo, pero ¿cuál ángulo?
El ángulo que hay entre los vectores que como ya calculamos,
A punto B, la magnitud de A la calculamos de la misma manera,
les queda como ejercicio demostrar que es la raíz cuadrada
de 2 al cuadrado mas 3 al cuadrado mas cuatro al cuadrado en este caso,
o sea, la raíz de 29.
La raíz cuadrada de seis es la magnitud de
B que ya también habíamos calculado en su momento
y por el coseno del ángulo que hay entre los dos vectores
así que esto se reduce a un despeje muy sencillo.