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[AUDIO_EN_BLANCO] Hola de nuevo,
pues el tema de esta semana es el producto punto.
En esta ocasión vamos a hacer un ejercicio con el producto punto.
Sí, simplemente calcular el producto punto entre dos vectores que están en plano XY.
Y además vamos a calcular la proyección escalar de un vector sobre otro que,
pues como saben, está directamente asociada con el producto punto.
Vamos al ejercicio.
Entonces, vamos a calcular
el producto punto entre los vectores que se ven en este sistema de coordenadas.
El vector A tiene magnitud 12 unidades, el vector B tiene magnitud 9
unidades y los ángulos que hacen referencias se ven en el diagrama.
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Bueno, para calcular el producto punto
pues recuerden que hay una definición para esta operación.
La operación A.B sí,
es la magnitud del vector A por la magnitud del vector B
y por el coseno del ángulo que hay entre los dos vectores, ¿sí?
Bueno la magnitud del vector A sí la tenemos, son 12 unidades.
La magnitud del vector B también, son 9 unidades y el coseno del
ángulo entre los vectores, bueno, pero, ¿cuál es el ángulo entre los vectores?
Recuerden que en un diagrama,
para ver el ángulo entre los vectores es indispensable que vean a los vectores
dibujados partiendo del mismo punto o bien llegando al mismo punto.
Pero en este caso tenemos que los dos vectores están saliendo del origen,
así que ese punto es el ápice del ángulo que hay entre los vectores.
Por supuesto tenemos dos posibilidades,
ésta de está de aquí de este lado y la que está del otro lado, ¿no?
Pero siempre tenemos que escoger el ángulo menos posible, you que al ángulo entre dos
vectores siempre es una cantidad entre 0 y 180 grados incluídos esos dos valores.
Bueno pues, notemos que aquí, como hay aproximadamente unos 30 y,
vamos a decir unos 25 grados, 25.7 grados
y aquí tenemos 32.8 y en este caso tenemos 90.
El ángulo entre los vectores debe ser entonces, todo este que está aquí, ¿sí?
Que, pues, vaya, esta operación es muy fácil de calcular.
Como en este cuadrante hay 90 grados, este ángulo seguramente es, 90 menos 64.3.
you habíamos dicho que es 90 grados menos 64.3 que es 25.7 grados.
Bueno, pero lo vamos a escribir así.
Además en este cuadrante hay 90 grados, ¿sí?
Y en este otro que nos falta, nos quedan 32.8 grados.
Entonces tenemos el coseno de 90 menos 64.3 más 90,
y más 32.8 grados.
Así que la operación pues únicamente
queda por hacerla en la calculadora y es- 92.085.
Bueno pues allí está el producto punto entre estos dos vectores.
Ahora, vamos a calcular la proyección escalar del vector A sobre el vector B.
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La proyección escalar de vector A sobre el vector B pues you vieron ustedes en
los videos que describen toda la teoría y la profundización
que pueden usar una fórmula, porque esto se dedujo, se dedujo en la clase, ¿no?
Pueden por ejemplo calcular la proyección escalar de A sobre B.
Vamos a denotarla como A subíndice vector B, como la magnitud
de A por el coseno del ángulo que hace con el otro vector.
Entonces aquí sería muy sencillo.
Sería la magnitud de A que es 12 unidades por el
coseno del ángulo entre los vectores, que hace un momento lo calculamos sumando
todos los ángulos que están aquí y decíamos que el primer angulito que se
ve es 90 menos 64.3.
El segundo ángulo es 90 grados,
ese se lo sumamos y el último es 32.8 que también se lo sumamos.
Así que el resultado es - 10.23.
Muy bien, ahora el hacer esto pues de fórmula no tiene mucho chiste.
En realidad lo que vale la pena es ver cómo
se representa gráficamente la proyección escalar de un vector sobre otro.
Vamos a hacer el dibujo de la proyección escalar del vector A sobre el vector B.
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Para poder hacer éste dibujo,
siempre tenemos que pensar sobre cuál vector quiero hacer la proyección.
Yo quiero hacer la proyección sobre el vector B, bien, entonces deberíamos
pensar en una línea incluso dibujarla si es necesario.
Una línea que vaya a lo largo del vector B.
Sí, porque esa línea la vamos a imaginar como el piso, entre comillando piso,
como el piso sobre el cual vamos a proyectar la sombra del vector A.
Entonces para dibujar la sombra del vector A sobre esta línea que estamos pintando
de color rojo, lo que necesito es saber en donde empezaría esa proyección
y donde terminaría.
El punto de partida es justo en donde el vector A está empezando.
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Y de ahí va a llegar, ¿hasta dónde?
Va a llegar hasta donde podamos dibujar una recta perpendicular
desde el punto en donde finaliza A hasta la, pues vamos a llamarla de nuevo,
hasta el piso sobre el cual queremos proyectar el vector A.
Noten que aquí ésta línea punteada
nos está delimitando que la proyección va a llegar hasta acá.
Es importante que esa línea punteada llegue a 90 grados porque es
la distancia más corta posible entre esa punta de la flecha
y la línea sobre la que queremos proyectar el vector A.
Entonces como empieza en éste punto y termina en este otro, la proyección
escalar de A sobre B, es todo esto que está aquí.
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Y por supuesto noten que la tendencia de esta
proyección es no en favor del vector B, sino en contra del vector B.
Y eso explica el signo negativo en la respuesta que obtuvimos calculando
esta proyección numéricamente.
Bien, pues esperamos que esto haya sido suficiente para convencerlos de que el
producto punto es realmente una operación muy fácil de llevar a cabo
y pues en este caso,
llevamos a cabo el producto punto con dos vectores que están sobre el plano XY.
La próxima vez vamos a realizar el producto punto pero ahora con vectores
que están en tres dimensiones y expresados en términos de los vectores unitarios
i, j y k.
Hasta la próxima.
[MÚSICA]
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
