Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Delimitación Teórica
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Do curso por Tecnológico de Monterrey
Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria
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Vectores en el plano cartesiano
En este capítulo introducimos el concepto de vector unitario y componentes rectangulares de un vector, así como las operaciones básicas con vectores cuando están expresados en coordenadas rectangulares.
Conheça os instrutores
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
[MUSIC]
Hola.
Bienvenidos a vectores en el plano cartesiano.
En este tema vamos a ver que podemos representar los vectores
por medio del plano cartesiano y vectores unitarios.
Y vamos a entender que este tipo de representación nos va a ayudar
a para poder hacer operaciones complejas de una manera muy sencilla.
Tenemos un vector y habíamos comentado que
un vector puede tener magnitud y dirección.
Pensemos en este vector.
Es un vector de 5 metros con dirección 50 grados desde el este hacia el norte.
Esa sería su magnitud y su dirección.
Su magnitud presentada por medio de un número,
de un valor: 5 metros en este caso y su dirección representada por medio de un
ángulo, 50° desde el Este hacia el Norte.
¿Qué tal si ponemos el plano cartesiano en este vector?
Si ponemos un plano cartesiano,
entonces cambiaríamos nuestra definición de este vector,
en lugar hablar de puntos cardinales podríamos hablar de plano cartesiano.
Y podríamos decir que el vector tiene magnitud de cinco metros y que su
dirección es de 50 grados desde el eje X hasta el eje Y en el primer cuadrante.
Esa sería nuestra definición de este vector.
Bueno, cuando tenemos un plano cartesiano podemos
calcular las componentes de un vector.
Para trazar las componentes del vector lo primero que tenemos que hacer es dibujar
líneas paralelas a los ejes desde la punta del vector.
Y desde el origen hasta donde cruza esta línea paralela,
es la componente de un vector.
En el caso de la componente horizontal sería desde
el origen hasta donde cruza con el eje X.
Esa sería la componente Ax del vector.
Y la otra componente sería Ay,
que sería desde el origen hasta donde cruza el eje Y.
De esta manera, con una solución sencilla de un triángulo rectángulo,
podríamos calcular cuáles son estas componentes.
Ax por ejemplo sería A coseno de 50 grados.
Y Ay sería A seno de 50 grados.
De tal manera que lo podríamos hacer numéricamente.
Si decíamos que la magnitud de A es cinco metros, entonces tendríamos que Ax sería
cinco por el coseno de 50 grados, lo que nos daría 3.21 metros.
En el caso de la componente en Y, sería cinco por el seno de 50 grados.
Y eso nos daría 3.83 metros.
Estas serían las componentes del vector A.
Si tuviéramos un vector B, en este caso en el segundo cuadrante,
y tal que el ángulo que hace el vector con el eje Y positivo es de 20 grados,
aquí también pudiéramos encontrar las componentes del vector B.
Observen que las componentes del vector B son un poco diferentes a las
componentes del vector A.
En el sentido de que la componente en X del vector B es una cantidad negativa,
va en dirección X negativo.
Y la componente del vector Y sigue siendo una cantidad positiva como la
del vector A.
Si utilizamos nuestra regla para encontrar estas componentes de los vectores,
Es decir estas líneas paralelas podríamos encontrar la componente Bx
y la componente By.
Observen ahora que la componente By es B por el coseno de 20 grados,
porque el ángulo está definido con respecto al eje Y.
Y la componente en X es negativa,
además de ser negativa sería menos B por el seno de 20 grados.
Con esto pudiéramos encontrar matemáticamente cuál es el valor,
si tuviéramos la magnitud del vector B.
Ahora, si tenemos un vector C en el tercer cuadrante, observen que las
dos componentes, la componente horizontal, la componente vertical,
o lo que llamamos componente en X y componente en Y son negativas las dos.
Aquí está definido el ángulo con respecto al eje X, por lo tanto tendríamos que la
componente en X sería menos C negativo es menos C por el coseno de 25.
Y la componente Y menos C por el seno de 25 grados.
Observen entonces que podemos cada uno de los vectores
calcular las componentes de ellos.
Ahora, otra cosa importante que tenemos que hablar es el vector unitario.
La definición básica de vector unitario es
que sea de magnitud uno y que no tenga dimensión, esa sería su definición básica.
Posteriormente vamos a ver la definición matemática.
Para ello primero pensemos en un vector cualquiera,
el mismo vector que teníamos anteriormente.
El vector A que está en el primer cuadrante a 50 grados
con respecto al eje X.
Bueno, este vector tiene magnitud de tres metros.
Si pensamos en un vector unitario en dirección de A,
podemos pensar que ese vector unitario en dirección de
A pues tiene que tener la misma dirección de A y su magnitud tiene que ser uno.
Entonces la definición debe ser que el vector unitario en dirección de A es
A dividido entre su magnitud.
De esta manera nos aseguramos que el vector unitario tiene magnitud uno
y que su dirección no cambia.
Recuerden que la multiplicación por un escalar cuando el escalar es positivo, en
este caso uno sobre la magnitud del vector A es un escalar positivo, no cambia.
Entonces el vector unitario de A nos aseguramos que tiene la dirección de A.
Y la magnitud nos aseguramos al dividir el vector A sobre su magnitud.
Esa sería la definición y lo podríamos dibujar como un tercio,
digamos, del vector A.
En este caso un vector unitario en dirección de A sería representado como
un tercio de lo que es el vector A porque decíamos que
el vector A tiene magnitud tres menos.
Bueno, ahora hay vectores unitarios en cualquier dirección de cualquier vector.
Sin embargo podríamos tener vectores unitarios en los ejes cartesianos.
Si quisiéramos por ejemplo el vector unitario en dirección de X
tendríamos que llamarlo de alguna manera específica.
A este vector se le conoce comunmente como un vector i.
Es el vector unitario i, va en dirección X.
Es un vector importante porque tiene la característica
de que siempre va en dirección X.
También podemos tener el vector unitario en dirección de Y,
a este se le conoce comunmente como el vector j.
Estos vectores unitarios son muy útiles porque yo pudiera hablar del vector 3i,
al decir el vector 3i lo que estoy diciendo es que es tres veces el vector i.
Y sé perfectamente que ese vector va en dirección X.
Si yo hablara del vector 4j,
sé que tiene una magnitud de cuatro veces el vector j y que tiene dirección Y.
Si yo hablo del vector -2i, rápidamente puedo entender que ese vector
va en dirección negativa de X y que su magnitud es de dos.
De esta manera podemos representar cualquier vector en el plano cartesiano
por medio de los vectores i y j.
Y de las componentes Ax y Ay.
Se fijan que pudiéramos yo hablar de la componente vectorial Ax como Axi
y la componente vectorial Ay como Ayj, de tal manera
que yo puedo representar al vector A como la suma de sus componentes vectoriales.
Es decir, Axi + Ayj.
Puedo hablar de que cualquier vector lo puedo representar por medio de los
vectores unitarios i y j.
De esta manera puedo hablar de los vectores A, B, C que tenía anteriormente.
Cada uno de ellos los puedo expresar en función
de las componentes y los vectores unitarios i y j.
En este caso yo tendría que A sería Axi+Ayj,
donde Ax y Ay son las componentes que you habíamos calculado.
De la misma manera B, de la misma manera C.
Cada uno de ellos expresados en función de i y j.
Esto tiene mucha utilidad
porque se nos va a facilitar muchísimo las operaciones de vectores.
you no tenemos que resolver trángulos, rectángulos o triángulos no rectángulos.
Por ejemplo, si yo quisiera sumar dos vectores, A y B,
cada uno representado en función de los vectores unitario i, j y sus componentes,
entonces la suma C=A+B sería algo muy sencillo que hacer.
Si yo tengo que C = A+B pues tendría que tener Axi + Ayj + Bxi +Byj.
Sería la suma.
Y puedo suman componentes por componentes.
Es decir, los vectores en dirección i y los vectores en dirección j,
de tal manera que me quedaría Ax+Bx en dirección i + Ay + By en dirección j.
Ese sería el resultado del vector C.
Como ejemplo, si yo tengo el vector 4i+5j y el vector 2i-3j,
si yo quiero sumarlos y obtengo el vector C,
lo que tengo que hacer es simplemente sumar las componentes.
4i + 5j + 2i- 3j, nos quedaría 4 + 2 x i + 5- 3 x j.
De tal manera que el resultado nos daría 6i + 2j.
Un resultado que la operación fue sencilla.
La resta del vector nos quedaría de la misma manera,
no cambiarían casi la operación de suma y resta.
Porque lo único que tengo que hacer aquí es en lugar de sumar, restar.
Si yo tengo A- B, lo que tendría que hacer restar las componente.
Ax- Bx multiplicado por i, + Ay- By multiplicado por j.
Esa sería mi operación.
Como ejemplo, si tengo el vector A que es 4i + 5j y el vector B 2i- 3j,
la operación A- B me quedaría 4i + 5j menos el vector 2i- 3j.
De tal manera que me quedaría (4- 2)i + (5 + 3).
En este caso me quedaría es un menos por el negativo de tres me quedaría un más,
(5 + 3)j.
De tal manera que la resta de estos dos vectores me quedaría 2i + 8j.
La multiplicación por escalar también nos quedaría de una manera muy sencilla.
Si yo tengo un vector A cualquiera expresado
con sus vectores unitarios i-j y las componentes.
Si yo quisiera encontrar la multiplicación de ese vector por un escalar,
lo que tengo que hacer es multiplicar cada una de sus componentes por ese escalar.
Un ejemplo sería 4i + 3j,
si yo lo quiero multiplicar por un dos para obtener el vector D, lo que tengo que
hacer es multiplicar el dos por cada una de sus componentes y obtener 8i + 6j.
Ese sería el resultado de la multiplicación por escalar.
Una operación por escalar negativa, por ejemplo, nos quedaría el ejemplo
2: 2i- 3j en el vector A, en donde ahora queremos hacer la operación -3A,
lo que tengo que hacer es multiplicar ese -3 por cada una de sus componentes.
De tal manera que la operación me queda -6i + 9j.
Operaciones más complejas como las que teníamos antes
pues siguen siendo sencillas con cada uno de los vectores expresados en
función de los vectores unitarios y sus componentes.
Si yo tengo tres vectores, A, B, C representados aquí,
si yo quiero la operación D = -3A + 0.5B- 2C.
Esto se convierte en álgebra vectorial,
porque lo que tengo que hacer es colocar en cada uno de estos vectores cuál es la
representación en función de los vectores unitarios y sus componentes.
Este sería -3 que multiplica a 4.10i + 5.70j,
+ 0.5 que multiplica a 2.40i -3.20j
-2 que multiplica a -1.20i + 3.5j.
Esa sería la operación que tengo que hacer y lo que resta es operación algebraica
hasta reducir los términos hasta obtener el vector D = 8.7i- 25.7j.
El resultado, como les digo, es un resultado cuya operación que hicimos es
muy sencilla Cuando lo tenemos expresados en función de los vectores unitarios i,
j y sus componentes.
Otra operación compleja que pudieramos decir es
el vector unitario en dirección A- B, cuando tenemos el vector A y B.
Si se fijan,
esta operación puede ser bastante compleja si no tuvieramos esta representación.
lo que tenemos que hacer en este caso es encontrar el vector C: A-B, y
utilizar la definición de vector unitario, que sería el vector sobre su magnitud.
Si hacemos eso,hacemos la operación A-B y lo que nos queda
es que esta operación nos da 1.70i + 8.90j.
Ahora utilizamos la definición del vector unitario,
que sería el vector dividido entre su magnitud: sería C entre su magnitud.
Es decir 1.70i + 8.90j, entre la magnitud que sería la
raíz cuadrada de 1.90j entre la magnitud que sería la raíz
cuadrada de 1.70 al cuadrado + 8.90 al cuadrado.
Y lo que obtenemos es 1.70 sobre 9.06 y más 8.90 sobre 9.06j,
es decir 188i + 0.982j.
Ese sería el vector unitario en dirección A-B Bueno,
con esto terminamos este tema, nos vemos la siguiente ocasión.
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