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Consideriamo 2 moli di gas ideale monoatomico alla pressione iniziale p_i e al volume iniziale
V_i. Il gas è inserito all'interno di un contenitore dotato di un setto mobile. Essendo
il gas monoatomico, il suo calore specifico a volume costante vale (3/2) R, dove R è
la costante universale dei gas. Vogliamo che questo gas esegua una trasformazione
che lo porti ad avere, nel suo stato finale, un volume finale, V_f, pari a 2 volte il volume
iniziale. Cominciamo col determinare quale sia la temperatura iniziale del gas nello
stato termodinamico iniziale. A questo scopo possiamo scrivere la legge di stato dei gas
ideali: la pressione iniziale per il volume iniziale del gas sarà quindi pari al numero
di moli del gas per la costante R per la temperatura iniziale. In questo caso otterremo che la
temperatura iniziale è pari a p_i V_i /nR. Osservando a questo la legge di stato dei
gas, possiamo renderci conto che per aumentare il volume del gas, eseguire quindi una espansione,
possiamo mantenere costante la temperatura del gas, diminuendo la pressione del gas.
In questo caso, nello stato termodinamico finale potremo scrivere la seguente relazione:
pressione finale per volume finale sarà pari ad nr per la temperatura finale.
Il volume finale, come possiamo leggere lì, deve essere pari a 2 volte il volume iniziale,
mentre la temperatura finale sarà pari alla temperatura iniziale. Il gas, quindi, sta
eseguendo un'espansione isoterma reversibile. Scriveremo quindi che nRT_f è pari a nr per
la temperatura iniziale. Ma la temperatura iniziale, come abbiamo scritto
qui in alto, è pari a nR*p_i V_i ancora diviso nR. Semplifichiamo tutti i termini dell'equazione
che possiamo semplificare, eliminiamo il volume iniziale e otteniamo infine che la pressione
finale deve essere pari alla pressione iniziale diviso 2. Stiamo quindi dicendo che se vogliamo
mantenere costante la temperatura del gas durante un'espansione, dobbiamo dimezzare
la pressione del gas. Rappresentiamo questa trasformazione nel piano
pV di Clapeyron. Partiamo da uno stato termodinamico A iniziale, caratterizzato dal volume V_i
e dalla pressione p_i. Secondo i conti che abbiamo fatto, termineremo la trasformazione
in uno stato termodinamico, che chiamerò B, caratterizzato da un volume finale pari
a 2 volte V_i e una pressione finale pari a p_i/2, quindi 0.5 p_i. Questo è lo
stato termodinamico B, a cui giunge il gas, e la trasformazione che tracciamo è un ramo
di iperbole, con la freccia che parte da A rivolta verso B, dato che stiamo parlando
di un'espansione isoterma. Cerchiamo a questo punto di fare delle considerazioni
energetiche riguardo alla trasformazione che stiamo considerando. A questo scopo, dobbiamo
considerare il primo principio della termodinamica. Il primo principio della termodinamica afferma
che la variazione di energia interna del gas, che indico con ΔU, deve essere pari alla
quantità di calore scambiato dal gas meno il lavoro svolto. La variazione di energia
interna del gas si scrive come il numero di moli del gas per il calore specifico a volume
costante del gas, per la differenza tra la temperatura finale e la temperatura iniziale
del gas, nel nostro caso T_B-T_A. Ma se la trasformazione è una trasformazione isoterma, ΔU deve essere
pari a 0. Direttamente dal primo principio della termodinamica
otteniamo che il calore scambiato dal gas durante la trasformazione è uguale al lavoro
svolto. Il lavoro, a sua volta, equivale all'integrale dallo stato termodinamico A allo stato termodinamico
B della pressione p in dV. Osservando la legge di stato dei gas, possiamo
esprimere la pressione in funzione di tutte le altre grandezze termodinamiche, e quindi
l'integrale si sviluppa nel seguente modo: integrale dal volume iniziale, V_i a 2 volte
il volume iniziale V_i di nr per la temperatura diviso il volume, in dV.
Ora, dato che stiamo osservando una espansione isoterma, la temperatura risulta costante
e può essere portata al di fuori dell'integrale. Dunque, il calcolo diventa: nr per la temperatura,
che per semplicità cambiamo in T_A, l'integrale da V_i a 2 volte V_i, di dV/V. E il risultato
è pari ad nrT_A logaritmo naturale di 2, dato che il volume finale è il doppio del
volume iniziale. Allora, possiamo renderci conto, dal primo
principio della termodinamica, che, essendo la quantità di calore scambiata dal gas > di 0,
per eseguire questa trasformazione il gas sta assorbendo una quantità di calore Q pari
al valore che abbiamo calcolato e sta svolgendo un lavoro positivo verso l'ambiente.
Cerchiamo ora di capire se esiste un modo per far sì che il gas, nello stato termodinamico
finale, abbia un volume pari a 2 volte il volume iniziale, con la condizione che la
quantità di calore scambiata dal gas sia pari a 0.
In questo caso il gas eseguirà una espansione adiabatica reversibile. Direttamente dal primo
principio della termodinamica otteniamo che, in questo caso, la variazione di energia interna
del gas deve essere pari a meno il lavoro. Nel caso di trasformazioni adiabatiche reversibili,
è possibile sfruttare una legge caratteristica per queste trasformazioni adiabatiche, che
lega pressione e volume del gas in tutti i punti della trasformazione. Tale relazione
afferma che la pressione del gas per il volume del gas elevato a un esponente γ è costante
in tutti i punti della trasformazione; dove γ, l'esponente della relazione, viene definito
come il rapporto tra il calore specifico a pressione costante del gas diviso il calore
specifico a volume costante del gas. Il calore specifico a pressione costante del gas, dalla
relazione di Mayer, è uguale al calore specifico a volume costante del gas più r. Quindi,
γ sarà pari a (c_v+r)/c_v. Nel nostro caso, c_v è pari a (3/2) r e quindi γ sarà pari
a 5/3. L'espressione che abbiamo scritto in questo
punto, quindi, risulta essere uguale a pressione iniziale, per volume iniziale alla 5/3,
uguale alla pressione finale per il volume finale elevato alla 5/3.
Ma il volume finale è uguale a 2 volte il volume iniziale, quindi scriveremo che la
pressione finale per 2 elevato a 5/3 per V_i elevato a 5/3 è uguale al primo membro dell'equazione
che stiamo scrivendo. Semplifichiamo V_i elevato alla 5/3, e otteniamo quindi che la pressione
finale deve essere pari alla pressione iniziale diviso 2 elevato alla 5/3.
1/2 elevato alla 5/3 è pari circa a 0.3p_i. A questo punto, calcoliamo anche la temperatura
finale a cui si porta il gas nello stato termodinamico finale. A questo scopo possiamo sfruttare
la legge di stato dei gas. In questo caso, avremo che la pressione finale per il volume
finale è pari ad nr per la temperatura finale. E quindi, la temperatura finale risulta uguale
alla pressione finale 0.3p_i per il volume finale 2 volte V_i/nr. Ma (P_iV_i)/nr, come
abbiamo scritto qui in alto, equivale alla temperatura iniziale. E quindi la temperatura
finale sarà pari a 0.6 T_i. Disegniamo questo punto nel piano di Clapeyron.
Osservando il piano di Clapeyron, possiamo dire che anche nella trasformazione adiabatica
reversibile partiamo dallo stesso stato termodinamico A, caratterizzato dalla pressione iniziale
P_i e dal volume iniziale V_i, ma la trasformazione del gas si conclude in un nuovo stato termodinamico,
che chiameremo C, caratterizzato dal volume finale pari a 2 volte il volume iniziale,
ma una pressione finale che questa volta è pari a 0.3 volte la pressione iniziale.
Lo stato termodinamico finale della trasformazione è questo, e la curva che lega lo stato termodinamico
iniziale con quello finale, con questo verso di percorrenza, dato che stiamo comunque parlando
di una espansione del gas, è una curva che ha una pendenza maggiore della isoterma che
abbiamo precedentemente disegnato. In questo caso, partendo dallo stesso stato termodinamico,
eseguendo una espansione adiabatica reversibile, il gas arriva ad uno stato termodinamico finale
in cui la pressione e la temperatura sono minori del rispettivo stato termodinamico
finale della trasformazione isoterma. In questo caso è bene ricordare che la trasformazione
viene eseguita senza scambiare alcuna quantità di calore, ma il lavoro svolto dal gas viene
ottenuto facendo variare l'energia interna del gas.
Maurizio ZaniAssistant Professor
