Un giocatore di basket si appresta a tirare un tiro libero per dare la vittoria alla sua
squadra. Considerato il fatto che lui si è allenato in un certo modo, quindi è capace
di tirare la palla con una certa inclinazione fissata, vuole capire il modulo della velocità
con cui deve lanciarla per fare canestro. Allora, poniamo l'origine del nostro sistema
sulle mani del giocatore. Impostiamo un'asse delle y e un'asse delle x. Visto e considerato
che la velocità la devo trovare, la metto qui, ma la imposto con una certa inclinazione
θ che sarà pari a 45° perché il giocatore è capace di tirare così.
Conosco, più o meno, le dimensioni regolamentari del campo quindi posso dire che il canestro
si troverà a una certa distanza ∆x che è di circa 5,50 m rispetto al giocatore
e poi si troverà a una certa altezza, ∆y, che è di più o meno 1 m rispetto
alle mani del giocatore e quindi qui avrò il mio canestro. Allora, per capire come fare
a far canestro, devo, innanzitutto, capire di che moto si sta muovendo la mia palla.
Allora, la mia palla, innanzitutto, si muoverà in due modi diversi in base alla direzione
che prendo in considerazione perché la velocità è inclinata. Allora, potrò scomporre il
moto su x e su y. Allora, capiamo che tipo di moto abbiamo in queste due direzioni. Su
x io devo pensare che se io dovessi lanciare la mia palla sull'orizzontale, lei continuerebbe
a muoversi sull'orizzontale e il moto sarebbe di tipo rettilineo e uniforme. La legge oraria
di questo tipo di moto è quindi data dalla velocità iniziale per t più la posizione iniziale.
Ovviamente questa velocità iniziale è quella lungo
x, quindi la chiamerò v_ox e sarà questa, e la posizione iniziale, siccome ho preso
il sistema di riferimento nelle mani del giocatore sarà nulla. Passiamo ora alla y. In verticale,
se io dovessi lanciare la palla, avrei che questa sarebbe un grave che si muove liberamente
e quindi il suo moto sarebbe di tipo uniformemente accelerato. L'equazione oraria, allora sarebbe
-(1/2)gt², più la velocità iniziale per t, più la posizione iniziale su y.
Come ho fatto per la x, allora anche per la
y dovrò andare a dire che la velocità è la componente in quella direzione,
e per lo stesso motivo, la posizione iniziale sarà nulla. Ora devo mettere insieme questi
due tipi di moti, quindi li metto a sistema e vado a ricavare la traiettoria finale della
palla. Allora ricavo, ad esempio, da quest'equazione il tempo, che quindi sarà dato da x/v_ox
e lo vado ad inserire in quest'altra equazione.
Per cui avrò y uguale a -(1/2)g, al posto del tempo avrò x²/(v_ox)²,
+v_oy, per ancora x/v_ox.
Quindi questa è la traiettoria della palla, traiettoria della palla che è composizione
di un moto rettilineo uniforme orizzontale, moto uniformemente accelerato in verticale
e, se guardo l'equazione, vedo che è un moto parabolico. Avrò una parabola perché qui
ho una x², questa parabola avrà, poi, una concavità rivolta verso il basso perché
qui c'è un meno. Va bene. Ho capito come si muoverà la palla ma io il canestro lo
devo ancora fare. Allora, per fare il canestro, vado a impostare il passaggio di questa parabola
dal canestro, cioè vado a sostituire, a questa equazione
il ∆x e il ∆y voluto, per cui avrò ∆y uguale a -(1/2)g∆x² fratto la velocità,
la posso andare a scomporre nelle due componenti, tramite l'angolo che è un parametro noto
del mio problema, quindi su x avrò v_0 cosθ, e questo al quadrato, più, siccome v_oy
è v_o senθ e questo v_o cosθ, ottengo la tgθ, e al posto
di x ancora ∆x. Quindi vedo che, adesso, dentro questa mia
equazione, come unica incognita ho la velocità. La vado proprio a ricavare per cui avrò ∆y
∆y-tgθ∆x uguale a -(1/2)g∆x²/(v_o)²cosθ².
Ricavo v_0, e allora avrò -(1/2)g∆x²/cosθ², fratto ∆y-tgθ∆x
il tutto sotto radice. Se vado a sostituire tutti i numeri dentro qui, che
sono tutti noti, ottengo una velocità che, espressa poi in Km/h è pari
a circa 30 Km/h. Questa è una velocità facilmente raggiungibile
dal mio giocatore. Per completezza potrei andare a disegnare la traiettoria della palla.
Io, però, so solo che è una parabola che passa da qui ma non so dove andrebbe a terminare.
Allora, imposto un nuovo conto, che è il conto della gittata. La gittata, per definizione,
è quanto è lungo questo tratto, da dove parte la palla a dove la palla arriva quando
si trova alla stessa quota di partenza cioè quando, nel nostro caso reinterseca l'asse
delle x. Quindi la mia condizione da porre è y uguale a 0.
Vado a mettere y uguale a 0 in quest'equazione quindi ottengo 0 uguale a -(1/2)g, la x diventa
proprio la mia gittata e la chiamo d²/(v_ox)² più la tgθ, abbiamo detto per d.
A questo punto facendo i conti otterrò
un primo punto, che è pari a 0 e un secondo punto, per d, che sarà proprio la mia gittata,
che sarà pari a 6,7 m. Quindi sarà più o meno, siccome questo
era 5,50 qua, quindi io so che parte di qua, arriva qui e passa per di qua, per cui la
mia traiettoria sarà all'incirca qui e il mio massimo si troverà a metà gittata.
Maurizio ZaniAssistant Professor
