Studiamo il Moto Circolare, che è molto importante, in Fisica, perché è associato al concetto di rotazione. In un moto circolare, il punto materiale percorre una circonferenza di un certo raggio costante che possiamo chiamare R. Molto utile, a tal fine, utilizzare le coordinate polari. Le coordinate polari sono un nuovo sistema di riferimento che possiamo indicare
con due nuove lettere, al posto, ad esempio, di x e y, possiamo usare r e θ (theta). In questo caso r sarà uguale a R in quanto r identifica la distanza del punto materiale da un polo, che noi consideriamo, in questo caso, il punto O, al centro del sistema di riferimento, quindi r = R è la distanza del punto materiale P dall'origine, quindi è uguale a OP e, per il moto circolare, è costante. Quindi, il moto circolare può essere descritto usando una sola coordinata polare, la seconda, θ. θ è l'angolo. L'angolo antiorario con cui guardiamo il punto P nel suo moto circolare. Quindi, l'angolo θ è questo. È nullo quando il punto si trova in coincidenza dell'asse x sul lato positivo e ruoterà. Quando il punto P ruota in senso antiorario, θ continua a crescere. L'angolo θ lo misuriamo, nel Sistema Internazionale, in radianti (rad) ed è, appunto, adimensionale in quanto angolo. Allora, dovendo descrivere il moto, utilizzando solo una coordinata, θ, quindi θ uguale a θ di t, possiamo quindi definire, come abbiamo fatto per la posizione derivata prima velocità, derivata seconda accelerazione, possiamo descrivere il moto calcolando una prima
derivata e una seconda derivata. La derivata prima la chiamiamo velocità angolare e sarà, quindi, descritta dalla lettera ω , in minuscolo. ω di (t) è la derivata di θ, quindi è dθ su dt. E quindi possiamo fare un'altra derivata e definire quella che è l'accelerazione angolare. L'accelerazione angolare la chiamiamo α e α di t sarà la derivata di ω, dω su dt, che, a sua volta, essendo la derivata di θ, quindi possiamo scrivere che α è la derivata seconda, d^2, di θ rispetto al tempo due volte, dt^2. La velocità angolare si misurerà, quindi, in radianti al secondo e l'accelerazione angolare in radianti al secondo quadro. Possiamo, quindi, fare un legame tra le grandezze angolari e le grandezze cinematiche scalari lungo la traiettoria in maniera molto semplice. Ad esempio, possiamo definire, lungo la mia traiettoria circolare, come si fa in genere, un'ascissa curvilinea, con origine nel punto d'incrocio della circonferenza con l'asse x, verso antiorario, in maniera tale da essere concordi con il verso antiorario che abbiamo usato per l'angolo θ, quindi l'ascissa curvilinea sarà stesa sulla circonferenza e avrà, quindi, una freccia in senso antiorario, verso sinistra, appunto, come indicato qui. Quindi l'ascissa curvilinea S in funzione del tempo, cioè la legge oraria del moto, sarà S uguale S di t che vediamo essere pari a che cosa? Alla lunghezza del tratto percorso lungo la circonferenza, per una semplice regola trigonometrica sarà pari al raggio della circonferenza per l'angolo, cioè sarà R per θ di t. Allora, possiamo andare a derivare quest'espressione. Con la derivata prima, otteniamo, a sinistra, la derivata di S della Legge Oraria è la velocità, v = v di t, sarà la derivata di questo, ma R è il raggio della circonferenza, che è costante, e quindi è solo la derivata di θ, ma abbiamo definito la derivata di θ come ω quindi è R per ω di t. E quindi, ancora una volta, analogamente, possiamo fare un'altra derivata. Con un'altra derivata otteniamo l'accelerazione scalare, anch'essa, in generale, in funzione del tempo. È la derivata prima della velocità quindi la derivata prima di questo termine a destra. Ancora una volta R è una costante e quindi rimane solo la derivata di ω, che abbiamo definito come accelerazione angolare. Vediamo così come posizione, velocità e accelerazione scalare siano legati a angolo, velocità angolare e accelerazione angolare. Ora possiamo studiare un moto particolare, il moto circolare uniforme. Il moto circolare uniforme avviene con una velocità angolare ω costante. Quindi ipotizziamo di ruotare lungo la circonferenza, con una velocità costante ω uguale a ω_0 per cui percorriamo angoli uguali in tempi uguali. A questo punto, il moto è un moto periodico, nel senso che continuiamo a ripercorrere la circonferenza un numero infinito di volte, il periodo con cui si ripete il moto, T, sarà pari a che cosa? Ovviamente, il tempo che ci mettiamo a percorrere tutta la circonferenza, la circonferenza è lunga 2π per R diviso la velocità con cui stiamo percorrendo, la velocità v_0. Ora sappiamo che la velocità v_0 diviso il raggio è proprio la velocità angolare, l'abbiamo visto un attimo fa, e quindi questo è 2π diviso ω. Quindi, percorrendo angoli uguali in tempi uguali, la legge θ = θ di t che descrive il moto circolare uniforme, sarà quindi pari all'angolo iniziale θ_0, se esiste, più ω per t, dove ω è ω_0. A questo punto possiamo legare il moto circolare uniforme in coordinate cartesiane andando a proiettare il punto, quindi rispetto all'origine del sistema X Y. Ad un certo istante il punto P si trova qua. Andiamo a proiettare, in X e in Y, le coordinate del punto e quindi scriviamo che la x di t e la y di t saranno: la x di t cos'è? È la distanza OP, cioè il raggio, la distanza R, per, dovendo proiettare secondo questo angolo che è θ, dobbiamo proiettare lungo questo cateto, quindi R per il coseno di θ, quindi è R per il coseno di questa, la Legge Oraria per l'angolo θ di t, è θ_0 più ω_0 per t. E se vogliamo proiettarlo in Y, la y di t sarà, analogamente, R per il seno perché la y è la lunghezza di questo altro cateto e quindi è R per il seno di θ_0 più ω_0 per t. La composizione di questi due moti, in X e in Y, ci dà il moto circolare uniforme. Questi due moti, presi singolarmente, la x di t e la y di t, si chiamano anche Moto Armonico. Il Moto Armonico è il moto che si ripete periodicamente, con una legge del tipo seno o del tipo coseno, ed è quello che potremmo osservare pensando di avere un moto circolare uniforme con, ad esempio, il Sole che, dall'alto, proietta un'ombra, allora il moto x di t è l'ombra proiettata sul pavimento di un moto circolare uniforme, che quindi continuerà ad andare in avanti e indietro, con questa legge oraria, il Moto Armonico.
