dω su dt, che, a sua volta, essendo la derivata di θ, quindi possiamo scrivere che
α è la derivata seconda, d^2, di θ rispetto al tempo due volte, dt^2.
La velocità angolare si misurerà, quindi, in radianti al secondo e l'accelerazione angolare
in radianti al secondo quadro. Possiamo, quindi, fare un legame tra le grandezze angolari
e le grandezze cinematiche scalari lungo la traiettoria in maniera molto semplice.
Ad esempio, possiamo definire, lungo la mia traiettoria circolare, come si fa in genere, un'ascissa curvilinea,
con origine nel punto d'incrocio della circonferenza con l'asse x, verso antiorario,
in maniera tale da essere concordi con il verso antiorario che abbiamo usato per l'angolo θ,
quindi l'ascissa curvilinea sarà stesa sulla circonferenza e avrà, quindi,
una freccia in senso antiorario, verso sinistra, appunto, come indicato qui.
Quindi l'ascissa curvilinea S in funzione del tempo, cioè la legge oraria del moto, sarà S uguale S di t
che vediamo essere pari a che cosa? Alla lunghezza del tratto percorso lungo la circonferenza,
per una semplice regola trigonometrica sarà pari al raggio della circonferenza per l'angolo, cioè sarà R per θ di t.
Allora, possiamo andare a derivare quest'espressione. Con la derivata prima, otteniamo, a sinistra,
la derivata di S della Legge Oraria è la velocità, v = v di t, sarà la derivata di questo,
ma R è il raggio della circonferenza, che è costante, e quindi è solo la derivata di θ,
ma abbiamo definito la derivata di θ come ω quindi è R per ω di t.
E quindi, ancora una volta, analogamente, possiamo fare un'altra derivata. Con un'altra derivata otteniamo
l'accelerazione scalare, anch'essa, in generale, in funzione del tempo.
È la derivata prima della velocità quindi la derivata prima di questo termine a destra.
Ancora una volta R è una costante e quindi rimane solo la derivata di ω,
che abbiamo definito come accelerazione angolare.
Vediamo così come posizione, velocità e accelerazione scalare siano legati a
angolo, velocità angolare e accelerazione angolare.
Ora possiamo studiare un moto particolare, il moto circolare uniforme. Il moto circolare
uniforme avviene con una velocità angolare ω costante. Quindi ipotizziamo di
ruotare lungo la circonferenza, con una velocità costante ω uguale a ω_0
per cui percorriamo angoli uguali in tempi uguali. A questo punto, il moto è un moto periodico,
nel senso che continuiamo a ripercorrere la circonferenza un numero infinito di volte,
il periodo con cui si ripete il moto, T, sarà pari a che cosa? Ovviamente, il tempo
che ci mettiamo a percorrere tutta la circonferenza, la circonferenza è lunga 2π per R diviso la velocità
con cui stiamo percorrendo, la velocità v_0.
Ora sappiamo che la velocità v_0 diviso il raggio è proprio la velocità angolare,
l'abbiamo visto un attimo fa, e quindi questo è 2π diviso ω.