Mi trovo al luna park e ci sono delle montagne russe spettacolari. Sono fatte così: il carrellino
viene portato ad una altezza iniziale h, si trova quindi qui, e poi inizia a scendere,
dopodiché fa subito un giro della morte. Questo giro della morte ha raggio R, e R è
pari a 6 m. A me piacerebbe tantissimo provarle, però mi dico: ok, non succede
niente, ma sono sicura che il carrellino, quando arriva in sommità, rimanga proprio
lì? E soprattutto, perché rimane lì e non cade per terra, come fa? Allora cerco di studiare
il problema dal punto di vista della dinamica. Come prima cosa, riporto qui a fianco la semicirconferenza
superiore. Questo perché qui si trova proprio il punto incriminato, che è il punto più
alto. Poi disegno il carrellino, che in questo punto qua si trova a testa in giù. E poi
devo andare a mettere le forze: la forza peso, che è rivolta verso il basso rispetto a un
sistema verticale y che è rivolto così; e poi avrò la reazione vincolare. Questo
perché il carrellino sta toccando le rotaie, immaginiamo dal basso verso l'alto, e quindi
le rotaie rispondono con una forza verso il basso, che viene chiamata reazione vincolare,
R_n, diretta così. A questo punto ho disegnato tutte le forze e posso andare a disegnare
il secondo principio della dinamica in quel punto lì. E quindi avrò che la risultanza
di tutte le forze applicate è uguale alla massa per l'accelerazione. Allora andiamo
a scrivere queste forze lungo la direzione y: e vedo che avrò la reazione vincolare,
che quindi avrà un meno davanti, la forza peso, che è data dal prodotto della massa
per l'accelerazione di gravità, e anch'essa avrà un meno, e questo sarà uguale alla
massa per l'accelerazione. Di che tipo di accelerazione stiamo parlando?
Siccome il carrellino sta compiendo un moto circolare e io lo vado a valutare proprio
in questo punto qui, nella direzione y l'accelerazione sarà un'accelerazione normale diretta verso
il centro della circonferenza, per cui dovrò metterci un meno davanti. So, poi, che l'accelerazione
normale può essere espressa come v²/R, e questa velocità è proprio quella che il
carrellino ha in questo punto qui. Allora, a questo punto, io dico: ho la mia
equazione, devo andare a capire qual è un'equazione che posso valutare per andare a descrivere
il distacco del carrellino. Allora conosciamo la reazione vincolare come concetto: che cos'è? è quella
forza che si ha solo nel momento in cui c'è un contatto. Quindi, se c'è, ho contatto,
se non c'è, ho il distacco del carrellino. Mi metto nel punto limite, che è R_n=0.
Quando la reazione vincolare cessa di esistere, ho il distacco. La sostituisco qua dentro
e ottengo -mg=-mv²/R. Le masse si semplificano, i meno diventano più e ottengo quindi che
la velocità deve essere uguale a R*g sotto radice.
Quindi, questa qui sarà proprio la velocità minima che deve avere il carrellino qua in
alto, per poter permettere al carrellino stesso di non cadere. Se mettiamo 6 m e 9,8 m/s²
ed esprimo il risultato in chilometri orari, ottengo 27 Km/h. Però, io vorrei dare un
po' di brivido in più a questa giostra e quindi dico: non posso aumentare la velocità,
così arriva più forte e la gente si diverte di più? Sì, probabilmente potrò; il punto
è che dovrò pensare anche a dei limiti; nel senso che, tipicamente, i piloti di jet
possono sopportare accelerazioni normali, mentre fanno una curva, pari a circa 6 volte
l'accelerazione di gravità. Ma loro ce la fanno, perché sono allenati e perché hanno
delle tute apposta che li aiutano. Le persone che vanno sulle montagne russe sono vestite
normalmente e sono allenate. Per cui, diciamo che in media possono sopportare un'accelerazione
normale massima pari a 2g, quindi l'accelerazione dovrà essere minore di 2g.
Andiamo quindi ad esprimere l'accelerazione in questo modo, quindi v²/R, e lo poniamo
minore uguale a 2g. Quindi la velocità, in questo modo, dovrà risultare minore uguale
di 2gR sotto radice. Se introduco i numeri ottengo 39 Km/h.
Quindi, va bene incrementare questi 27 Km/h, sempre però rimanendo al di sotto di questo
valore. A questo punto posso anche dire: ma è stata costruita bene? Cioè, se io penso di
arrivare su con questa velocità fissa, che in realtà sarà una via di mezzo tra questo
valore e questo valore, per semplicità prendiamo questo: quanto deve essere il raggio? Se giro
questa equazione vedo che il raggio dovrà essere maggiore uguale di v²/2 g. Questo
numero è uguale a 3 m, quindi vuol dire che io non posso costruire la mia montagna russa
con un giro della morte inferiore ai 3 m.
