Mi trovo al luna park e ci sono delle montagne russe spettacolari. Sono fatte così: il carrellino viene portato ad una altezza iniziale h, si trova quindi qui, e poi inizia a scendere, dopodiché fa subito un giro della morte. Questo giro della morte ha raggio R, e R è pari a 6 m. A me piacerebbe tantissimo provarle, però mi dico: ok, non succede niente, ma sono sicura che il carrellino, quando arriva in sommità, rimanga proprio lì? E soprattutto, perché rimane lì e non cade per terra, come fa? Allora cerco di studiare il problema dal punto di vista della dinamica. Come prima cosa, riporto qui a fianco la semicirconferenza superiore. Questo perché qui si trova proprio il punto incriminato, che è il punto più alto. Poi disegno il carrellino, che in questo punto qua si trova a testa in giù. E poi devo andare a mettere le forze: la forza peso, che è rivolta verso il basso rispetto a un sistema verticale y che è rivolto così; e poi avrò la reazione vincolare. Questo perché il carrellino sta toccando le rotaie, immaginiamo dal basso verso l'alto, e quindi le rotaie rispondono con una forza verso il basso, che viene chiamata reazione vincolare, R_n, diretta così. A questo punto ho disegnato tutte le forze e posso andare a disegnare il secondo principio della dinamica in quel punto lì. E quindi avrò che la risultanza di tutte le forze applicate è uguale alla massa per l'accelerazione. Allora andiamo a scrivere queste forze lungo la direzione y: e vedo che avrò la reazione vincolare, che quindi avrà un meno davanti, la forza peso, che è data dal prodotto della massa per l'accelerazione di gravità, e anch'essa avrà un meno, e questo sarà uguale alla massa per l'accelerazione. Di che tipo di accelerazione stiamo parlando? Siccome il carrellino sta compiendo un moto circolare e io lo vado a valutare proprio in questo punto qui, nella direzione y l'accelerazione sarà un'accelerazione normale diretta verso il centro della circonferenza, per cui dovrò metterci un meno davanti. So, poi, che l'accelerazione normale può essere espressa come v²/R, e questa velocità è proprio quella che il carrellino ha in questo punto qui. Allora, a questo punto, io dico: ho la mia equazione, devo andare a capire qual è un'equazione che posso valutare per andare a descrivere il distacco del carrellino. Allora conosciamo la reazione vincolare come concetto: che cos'è? è quella forza che si ha solo nel momento in cui c'è un contatto. Quindi, se c'è, ho contatto, se non c'è, ho il distacco del carrellino. Mi metto nel punto limite, che è R_n=0. Quando la reazione vincolare cessa di esistere, ho il distacco. La sostituisco qua dentro e ottengo -mg=-mv²/R. Le masse si semplificano, i meno diventano più e ottengo quindi che la velocità deve essere uguale a R*g sotto radice. Quindi, questa qui sarà proprio la velocità minima che deve avere il carrellino qua in alto, per poter permettere al carrellino stesso di non cadere. Se mettiamo 6 m e 9,8 m/s² ed esprimo il risultato in chilometri orari, ottengo 27 Km/h. Però, io vorrei dare un po' di brivido in più a questa giostra e quindi dico: non posso aumentare la velocità, così arriva più forte e la gente si diverte di più? Sì, probabilmente potrò; il punto è che dovrò pensare anche a dei limiti; nel senso che, tipicamente, i piloti di jet possono sopportare accelerazioni normali, mentre fanno una curva, pari a circa 6 volte l'accelerazione di gravità. Ma loro ce la fanno, perché sono allenati e perché hanno delle tute apposta che li aiutano. Le persone che vanno sulle montagne russe sono vestite normalmente e sono allenate. Per cui, diciamo che in media possono sopportare un'accelerazione normale massima pari a 2g, quindi l'accelerazione dovrà essere minore di 2g. Andiamo quindi ad esprimere l'accelerazione in questo modo, quindi v²/R, e lo poniamo minore uguale a 2g. Quindi la velocità, in questo modo, dovrà risultare minore uguale di 2gR sotto radice. Se introduco i numeri ottengo 39 Km/h. Quindi, va bene incrementare questi 27 Km/h, sempre però rimanendo al di sotto di questo valore. A questo punto posso anche dire: ma è stata costruita bene? Cioè, se io penso di arrivare su con questa velocità fissa, che in realtà sarà una via di mezzo tra questo valore e questo valore, per semplicità prendiamo questo: quanto deve essere il raggio? Se giro questa equazione vedo che il raggio dovrà essere maggiore uguale di v²/2 g. Questo numero è uguale a 3 m, quindi vuol dire che io non posso costruire la mia montagna russa con un giro della morte inferiore ai 3 m.
