Su tre dei quattro vertici di un quadrato disponiamo tre cariche di valore Q, 2Q e -3Q. Vogliamo determinare quanto vale la forza che queste tre cariche esercitano su una quarta carica, che chiamiamo q, disposta sul quarto vertice, che chiamiamo punto P. La forza esercitata sulla carica q sarà data dalla sovrapposizione degli effetti delle tre altre cariche disposte sugli altri vertici e quindi possiamo proprio studiare l’interazione con una delle cariche alla volta. Cominciamo con la prima carica, quella che sta in questo vertice. Questa prima carica si troverà a una distanza, rispetto al punto P, che è la lunghezza della diagonale del quadrato, e se il quadrato ha lato l, la diagonale ha valore radice di 2 x l . Questo angolo, invece, sarà π/4 e se noi dobbiamo calcolare la forza esercitata sulla carica q, a causa della carica Q, ecco che introduciamo anche il versore, un versore che chiamiamo, per esempio, u_1. In questo caso la forza - siccome la carica è positiva; assumiamo che tutte le cariche, in questo disegno, siano positive tranne la carica -3Q - la forza sarà di natura repulsiva, e quindi avrà valore F_1 uguale a 1/(4πε_0), per il prodotto delle cariche (quindi q moltiplicato per Q), diviso la distanza al quadrato; e la distanza è radice di 2 per l , quindi è due volte l^2, tutto quanto moltiplicato per u_1. Studiamo adesso l’effetto dovuto alla seconda carica, per esempio la carica 2Q. In questo caso la distanza è proprio l e poi la carica 2Q esercita una forza che spinge in orizzontale la carica q, verso destra. Il valore di questa forza sarà F_2 uguale a 1/(4πε_0), per il prodotto delle due cariche (in questo caso è q piccolo per 2Q) diviso la distanza al quadrato, l^2, per u_2, laddove u_2 , sulla base del ragionamento fatto prima, è questo versore, orientato in questo modo. Infine abbiamo la terza carica, la carica di valore -3Q. Questa è una carica negativa. La forza sarà di natura attrattiva e quindi la forza esercitata dalla terza carica sarà questa F_3. La carica, anche lei, esercitando la forza sulla q; sostanzialmente, possiamo introdurre il versore, che chiamiamo u_3, anche in questo caso. Bene: il valore della forza, analogamente a quanto scritto qua, sarà allora 1/(4πε_0), prodotto delle cariche (quindi q per -3Q), tutto quanto diviso la distanza al quadrato, l^2, per u_3 . E come si può vedere in questo caso, siccome la carica 3Q è negativa, questo prodotto sarà una frazione negativa e la forza F_3 è diretta in direzione opposta rispetto a u_3 , quindi fatta in questo modo. Vogliamo ora determinare, però, come è fatta la forza complessiva che agisce sulla carica. Queste sono solo le forze che, nel caso di ciascuna carica, vengono esercitate sulla q. La forza complessiva la si deve calcolare come F_1 + F_2 + F_3, somma vettoriale di queste tre entità e quindi, per fare questa somma vettoriale, io ho bisogno di proiettare queste tre forze sugli assi cartesiani che ho, per comodità, già disegnato in questa figura. Allora, proviamo a fare questa proiezione. Si può osservare che la forza F_1 è l’unica delle tre forze che non è stata proiettata. Per proiettarla devo semplicemente trovare le sue due componenti, quella orizzontale e quella verticale, che, sommate, danno F_1. Se faccio questa proiezione, mi accorgo, innanzitutto, che F_1 è, rispetto all’orizzontale, inclinata di un angolo π/4 come, del resto, abbiamo già rappresentato e, di conseguenza, trovare la proiezione significa moltiplicare tutta quanta quest’espressione per il coseno, o il seno, dell’angolo compreso, cioè 45°. Quindi F_1 io la posso scrivere come F_1x + F_1y. Ora proviamo a fare la somma di tutti questi vettori, dopo avere esplicitato la proiezione, e per fare questa somma possiamo raccogliere a fattore comune molti degli elementi che vediamo in comune in tutte e tre le espressioni, che sono: 1/(4πε_0), poi ha in comune la carica q, la carica Q e la distanza l^2. Raccogliamo invece fra parentesi quello che avanza. Allora di F_1 io devo fare, abbiamo detto, la proiezione in orizzontale. Che significa? Beh, innanzitutto mi avanzava 1/2 e poi alla proiezione in orizzontale per il coseno di 45° che quindi è radice di 2 mezzi. A questa devo poi sommare altre eventuali componenti orizzontali. L’unica forza orizzontale che vedo è F_2 che devo prendere completamente e quindi dovrò fare +2. Tutto questo per u_x . Poi devo aggiungere adesso la componente u_y . Anche qui devo raccogliere alcuni fattori in comune. Siccome sono gli stessi di prima decido di tenere proprio quelli che avevo calcolato un momento fa A questo punto devo fare più e poi sommare le componenti y. La F_1 le ha tutte e due. La sua proiezione in y punta verso l’alto, è positiva, e quindi vale 1/2 - che era quello che mi avanzava - moltiplicato per radice di 2 mezzi. Poi vado a esplorare le altre forze. La F_2 è solo orizzontale, la F_3 è lei che è verticale per altro punto, verso il basso, e, in questo caso, quello che mi resta è -3, tutto quanto moltiplicato per il versore u_y , tutto quanto moltiplicato per il coefficiente moltiplicativo che avevo trovato all’inizio Questo è il vettore forza totale che, come si può vedere, ha queste due componenti, una orizzontale e una verticale Se si sostituiscono i numeri della calcolatrice si scopre che questo numero è un numero positivo, mentre quest’altro numero è un numero negativo, e quindi io potrei anche rappresentare il vettore forza totale che in questo caso ha, quindi, una componente orizzontale positiva, e una verticale negativa, e quindi la forza totale è un vettore fatto in questo modo Siamo dunque stati in grado di calcolare, utilizzando le forze fra due cariche alla volta, e utilizzando l’algebra dei vettori, siamo stati in grado di calcolare quanto vale la forza che, complessivamente, viene esercitata sulla carica q.
