Consideriamo una carica q_1 ferma nello spazio, per semplicità positiva. Il campo generato da q_1, radiale uscente, chiamiamolo E_1. Consideriamo poi una carica q_2 che si trova in una certa posizione dello spazio, anche la carica
q_2 positiva. Immaginiamo che si trovi ad una distanza r_a dalla carica q_1. Immaginiamo di lasciar spostare la carica q_2 sotto l’effetto del campo elettrico E_1, quindi
un movimento radiale, fino alla posizione r_b. Il lavoro compiuto dal campo E_1 per effettuare lo spostamento della carica q_2 dalla posizione r_a
alla posizione r_b noi sappiamo essere pari alla differenza dell’energia potenziale elettrostatica che la carica q_2 possiede nelle posizioni r_a, r_b grazie al fatto che il campo elettrostatico è un campo conservativo. Quindi possiamo scrivere che il lavoro è pari a -ΔU_E, dove U_E è l’energia potenziale del campo elettrostatico. Noi conosciamo l’energia potenziale che una carica puntiforme possiede all’interno del campo elettrico generato da un’altra carica puntiforme, sostituendo quindi questa espressione all’interno della nostra relazione otteniamo che il lavoro, se mettiamo a fattor comune le costanti, sarà pari a q_1 per q_2 diviso 4πε0
che moltiplica 1/ r_a, quindi l’energia nella posizione iniziale, -1/r_b, la posizione finale. Un campo conservativo possiede un’energia potenziale, ma possiede anche una funzione potenziale. Noi possiamo definire il potenziale del campo elettrico come una funzione la cui differenza è legata al lavoro che il campo elettrico compie ad esempio su una carica in una certa posizione per spostarla da una posizione all’altra. Quindi possiamo definire la differenza di potenziale tra i punti A e B, quindi il potenziale valutato in r_a meno il potenziale valutato in r_b, come il lavoro che il campo elettrico spende per spostare una carica dalla posizione A
alla posizione B diviso il valore della carica stessa. Quindi nel nostro esempio W, il lavoro, diviso la carica q_2. Se sostituiamo l’espressione del lavoro all’interno di questa formula otteniamo che la differenza di potenziale tra i punti A e B sarà pari a q_1 diviso 4πε_0 che moltiplica 1/ r_a - 1/r_b. Quindi la differenza di potenziale tra due punti dello spazio immersi all’interno di un campo elettrico generato da una carica puntiforme ha questa espressione. Ma se io volessi definire il potenziale, la funzione potenziale in ogni punto dello spazio, conoscendo l’espressione della differenza di potenziale, io devo definire innanzitutto un livello di potenziale zero, così come ad esempio nel campo gravitazionale si definisce come livello di potenziale gravitazionale nullo il suolo. Qual è la posizione dello spazio più comoda per fare i conti in cui definire il livello di potenziale elettrico
pari a zero? Se le cariche si trovano tutte nello spazio finito, quindi non all’infinito, conviene porre il potenziale nullo proprio all’infinito. Quindi conviene porre il potenziale zero quando ad esempio la coordinata r vale infinito, in maniera tale che 1 su infinito tenda naturalmente a zero. A parte le questioni riguardanti la matematica di questa scelta, se noi adesso nel nostro esempio ipotizzassimo che il potenziale all’infinito del campo elettrico generato da una carica q_1 che si trova al finito vale zero, possiamo a questo punto definire il potenziale associato al campo elettrico generato da questa carica in ogni punto dello spazio semplicemente scrivendo che il potenziale generato da una carica puntiforme è pari al valore della carica stessa diviso 4πε_0 moltiplicato per 1/ r, dove r è la distanza dal punto considerato rispetto alla carica sorgente del campo elettrico. Questo lo possiamo fare perché visto che io conosco com’è fatta ΔV, quindi la differenza di potenziale tra qualsiasi coppia di punti che si trovano nello spazio, se io scelgo come punto di arrivo, quindi come punto finale r_b di infinito questo termine va a zero e quindi alla fine scopro che la differenza di potenziale tra l’infinito e un punto qualsiasi è pari a questa espressione. Ma se il potenziale all’infinito lo pongo uguale a zero questa espressione diventa il potenziale elettrico di quel singolo punto dello spazio. E quindi vedete che il potenziale associato al campo elettrico generato da una carica puntiforme è inversamente proporzionale alla distanza dal punto considerato rispetto alla carica, mentre, se vi ricordate, il campo elettrico invece è inversamente proporzionale col quadrato della distanza. Abbiamo introdotto una grandezza nuova: il potenziale. Dobbiamo quindi introdurre la sua unità di misura. L’unità di misura del potenziale nel sistema internazionale è il Volt, che si indica con la lettera V maiuscola e che è pari a che cosa? Beh, visto che il potenziale è pari ad un lavoro diviso una carica, sarà pari a Joule diviso Coulomb. Il potenziale di una carica puntiforme, così come il campo elettrico generato da una carica puntiforme, è una formula importante che andiamo ad aggiungere al nostro formulario di elettromagnetismo. Il potenziale V generato da una carica puntiforme nello spazio è pari al valore della carica
diviso 4πε_0 moltiplicato 1/ r dove r è la distanza dal punto in cui stiamo effettuando la valutazione del potenziale rispetto al punto in cui si trova la carica che genera il campo elettrico. Notiamo che il potenziale è una funzione scalare e quindi il suo modulo è l’unica informazione che necessitiamo di conoscere per conoscere il potenziale.
