Nesta videoaula, nós vamos resolver o exercício para o caso onde o tamanho da amostra é menor do que 30. Então, a gente está falando aqui de uma amostra pequena, pela concepção proposta referente ao tamanho da amostra. O exercício está dividido duas alternativas. A alternativa A e a alternativa B. A primeira não é necessariamente teste de hipótese, é só cálculo de probabilidade. E a segunda, sim, seria o teste de hipótese baseado na distribuição binomial que é calculada pela função da distribuição binomial utilizada no exercício A, e depois adaptada no exercício B. Nós vamos resolver primeiro a alternativa A. E trata-se, então, de verificar para número 'y', que seria o somatório dos casos de sucesso dessa variável aleatória binária que se divide e zero, somamos valor de uma unidade no valor de 'y'. Temos, então, que a probabilidade desse valor de 'y' ser igual a três, ou seja, o número de alarmes ser igual a três, é o que nos responde esse exercício. A gente conhece essa probabilidade pela fórmula que utiliza o binômio de Newton, que é a combinação 'n' tentativas de casos de sucesso multiplicados pela probabilidade teórica, ou esperada; elevada a 'k' vezes 1 menos a probabilidade 'p', que é o seu complementar, elevado a 'n' menos 'k'. Onde, então, 'k' igual aos casos de sucesso 'n', número de tentativas. 'P' igual a probabilidade de sucesso; e o menos 'p' ao seu complementar. E 'y' sendo a quantidade de casos de sucesso. A aplicação então é dada pela substituição, na fórmula da probabilidade, dos itens correspondentes. Então, a gente tem que aqui faremos quatro tentativas arranjo de três. Então, todas as combinação possíveis considerando a probabilidade de sucesso, que seria 8%, elevado pelo valor de 'k' vezes o seu complementar elevado a um; que aqui no caso é 'n' menos 'k', quatro menos três. Esse daqui é o binômio de Newton; que é o número de tentativas fatorial. 'n' menos 'k' fatorial vezes 'k' fatorial. No nosso exemplo, isso daqui seria então quatro fatorial, quatro menos três fatorial vezes três fatorial. Tudo isso multiplicado por 0,8 elevado ao cubo; 0,2 elevado a. Isso daqui é igual a 0,4096. Para quem não se lembra, o valor fatorial é a multiplicação do número pelo seus valores subtraídos de uma unidade. Essa sequência aqui pode ser, então, utilizada para o cálculo. Essa portanto é a probabilidade que o número de sucessos seja igual a três. Portanto, 40% das vezes, aproximadamente, o alarme, então, vai soar quando necessário. No entanto, isso é exercício de probabilidade, não é teste de hipóteses. A gente vai ver o teste de hipóteses, propriamente dito, pelo exercício B. No exercício B, então, seguindo aqueles seis passos para a proposição do teste de hipóteses, temos que a hipótese nula e a hipótese alternativa seria o que. A proporção de alarmes que estaria tocando, pelo menos três deles seria de 80%, e mais do que três deles seriam a hipótese alternativa. Esse é o passo um; passo dois é porque é teste binominal; passo três, 'n' igual a quatro e alpha igual a 5%. É o padrão de alpha que a gente está botando no curso. E a estatística teste é definida aqui no passo quatro. Ela é então o somatório de todas os valores, pelo menos, iguais ao valor de sucesso 'k'; que no caso a gente está falando de a probabilidade de que pelo menos três alarmes estejam tocando entre os quatro. Para calcular isso, existem duas formas. A primeira é, então, calcular a probabilidade desse 'y' ser igual a três. E adicionarmos a probabilidade de 'y' ser igual a quatro. Teríamos, então, que a distribuição binomial para o valor de 'k' igual a dois, três, quatro. Essa soma representa, então, essa área que seria a área de rejeição. Você pode fazer, então, de duas formas. Por meio da soma dessas duas probabilidades. Então, a gente vai ter aqui a probabilidade 'y' ser maior, igual, a três. Ou seja, pelo menos três alarmes tocando é a soma dessas duas probabilidades. Ou, o complementar, que seria menos a probabilidade de nenhum alarme tocar, mais a probabilidade de alarme tocar, mais a probabilidade de dois alarmes tocarem. Isso daqui é o complementar que seria essa outra área. E podemos resolver o exercício. Logicamente, nós vamos adotar o critério de facilidade, portanto, nós vamos fazer o cálculo a partir dessa idéia. E essa idéia envolve o menor número de cálculos de probabilidade. Enquanto aqui faremos o cálculo de duas probabilidades. Nessa outra proposta teremos que calcular três probabilidades pontuais escolhendo a mais fácil de calcular. Temos [SEM_ÁUDIO] a probabilidade de 'y' ser exatamente igual a três, já foi calculada pelo exercício anterior. 0,4096. [SEM_ÁUDIO] E a probabilidade de quatro alarmes estarem tocando vai ser dado, então, de novo por 'n', 'k'; 'p' elevado a 'k'. Menos 'p' elevado a 'k' menos. Isso daqui, coincidentemente, é o mesmo valor. Portanto, a probabilidade de 'y' ser maior, igual, a três é a probabilidade de 'y' ser igual a três; mais a probabilidade de 'y' ser igual a quatro. Isso aqui é 0,4096 mais 0,4096. Isso é igual a 0,8192. Esse valor é comparado com o alpha. Com esse exercício [SEM_ÁUDIO] temos que o valor de alpha é 0,05, ou seja, a soma dessas probabilidades de 'k' ser igual a três. E aqui a gente viu que é exatamente igual a probabilidade de ser igual a quatro. A soma dessas áreas que é 'y' maior, igual, a três. Esse valor é comparado diretamente com alpha. Portanto, pelo critério do 'p' valor, temos 0,8192 é maior do que alpha. Portanto, não rejeitamos 'H0'. A soma dessas duas probabilidades é maior do que o 0,05, que é 5% do alpha. Significando que a chance disso ocorrer, sendo que o valor de 'p' era de 0,8. Três ou quatro alarmes tocando, a probabilidade é alta, portanto, não podemos rejeitar a hipótese nula de que o valor esperado da proporção seria de 80%.
