¿Por qué las grúas no se vuelcan al levantar grandes pesos? ¿por qué las mesas sólo necesitan tres patas (no alineadas) para apoyarse? Este curso te guiará paso a paso en los conocimientos básicos para entender el equilibrio de estructuras simples. Aprenderás conceptos básicos de las ecuaciones matemáticas que modelan las condiciones de equilibrio de partículas y de cuerpos rígidos. Además, también aprenderás conceptos como momento, que te ayudarán a entender fenómenos como el volcamiento de estructuras, y a identificar las fuerzas y momentos que actúan sobre un determinado cuerpo, mediante el concepto de diagrama de cuerpo libre. Todo esto te servirá para modelar estructuras simples pero realistas, identificar las distintas fuerzas que actúan sobre ellas, plantear las ecuaciones necesarias para que la estructura se encuentre en equilibrio, y determinar las reacciones de apoyo necesarias para tal condición. Cuando termines el curso serás capaz de generar idealizaciones de estructuras reales simples, identificar las distintas fuerzas y momentos que actúan sobre ella, y plantear y resolver las ecuaciones de equilibrio correspondientes.
Ejercicio resuelto
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Do curso por Pontificia Universidad Católica de Chile
Equilibrio, ¿por qué se caen las cosas?
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Diagramas de cuerpo libre y equilibrio
En este módulo se define el concepto de diagrama de cuerpo libre, y éste es aplicado a problemas de equilibrio.
Conheça os instrutores
Christian LedezmaProfesor Asistente
Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica
En este problema tenemos el caso de un bloque de 100 kilos de masa que
está descansando sobre un plano inclinado en 20 grados.
Y lo que se pide es determinar cuál es la fuerza P mínima necesaria para que el
bloque no deslice hacia abajo, y cuál es la máxima que se puede
aplicar antes de que el bloque empiece a deslizar hacia arriba.
Entonces, la diferencia en verdad entre las dos partes tienen que ver con la
dirección del roce.
En el caso 1 lo que tenemos que está el bloque descansando
sobre este plano inclinado, ¿sí?
Vamos a tener una fuerza horizontal actuando sobre él,
que en el fondo acá lo vamos a llamar P mínimo,
que es la carga mínima para mantener el bloque en equilibrio.
Está, por supuesto, actuando el peso propio del bloque que vamos a llamarlo
W por el momento, después reemplazaré los números que correspondan.
Y en la parte inferior hay dos fuerzas.
Hay una que es la componente normal, o sea componente perpendicular a la
superficie de contacto que la voy a llamar N.
Y además hay otra que impide que el bloque deslice hacia abajo,
recordemos que la situación 1.
Ésa es el caso que estamos mirando, o sea,
de posibilidad que el bloque deslice hacia abajo.
Y esa fuerza en el caso límite,
cuando está a punto de deslizar, va a valer igual a mu por N.
Y esta fuerza inclinada acá está inclinada en un cierto ángulo,
voy a llamarlo alfa que en este caso alfa es 20 grados, y eso.
Con eso tengo suficiente.
Entonces, si miro el primer caso y planteo las ecuaciones de equilibrio,
hago sumatoria de fuerzas en sentido, por ejemplo, vertical igual a cero.
Tengo que las fuerzas que actúan en sentido vertical es W hacia abajo
y las componentes de mu por N, y de N apuntando hacia arriba.
Acá quizás podría anotar este ángulo se repite acá, alfa.
Por lo tanto, lo que significa es que N proyectado vertical, o sea,
coseno de alfa, más mu por N proyectado vertical, que es seno de alfa,
tiene que ser igual al peso que apunta hacia abajo.
En el sentido horizontal, tenemos que,
el peso no participa pero sí participan el P mínimo,
actúan en mu por N y el N, pero las proyecciones que correspondan.
Acá tenemos lo siguiente, tenemos que N, por el seno de alfa que apunta hacia
la izquierda, menos mu por N por el coseno de alfa que apunta hacia la derecha,
tiene que ser igual a la fuerza que apunta hacia la derecha.
O P mínimo en este caso.
Esto da una ecuación de dos por dos.
¿Qué cosas conozco?
Conozco el W, conozco el coeficiente de roce mu, conozco el ángulo alfa.
Y solo tengo dos incógnitas, N y P.
Y para resolver yo podría, por ejemplo, dividir ambas ecuaciones para que se
cancele el N en el lado izquierdo de la ecuación.
Y obtengo que coseno de alfa más mu por el seno de
alfa dividido por el seno de alfa menos mu por el
coseno de alfa tiene que ser igual a W partido por el P.
Y acá lo que viene en adelante es solamente pasar el P para un lado y
agarrar este cociente, invertirlo y pasarlo para el otro y desarrollar.
O sea, solamente para mantenerlo con letras,
digamos el P mínimo para que este sistema esté en equilibrio
es igual a W por seno de alfa menos mu coseno de alfa,
sobre coseno de alfa más mu seno de alfa.
Teniendo eso en mente, es cosa un poco de desarrollar esto.
A ver, seno de alfa, coseno de alfa es conocido, mu es conocido,
así que no voy a ir a todos esos detalles.
Esto da igual 0,133 veces W, y si reemplazo el peso
W eso da 13.3 kilogramos expresados como fuerza.
Ésa es la fuerza mínima necesaria para mantener el sistema en equilibrio.
Ahora, en el caso dos, en verdad es la situación muy similar,
sólo que estoy buscando, y quizás acá lo voy a hacer de esta manera,
estoy buscando cuál es el P máximo para mantener el sistema en equilibrio.
Y claro, cuando este bloque está a punto de deslizar hacia arriba lo único que
ocurre es que la fuerza de roce apunta en la otra dirección, nada más.
Sigue existiendo W, sigue existiendo N.
Entonces, en términos de ecuaciones lo único que ocurre es que el término con
mu por N cambia de signo.
Entonces acá va a aparecer un signo menos en vez de un más, y acá un signo más.
Entonces, todo lo que tenga mu le cambio el signo, y teniendo eso en mente, o sea,
ustedes podrían de todas maneras volver a plantear las ecuaciones de equilibrio
y darse cuenta por sí mismos que es así.
Pero acá resulta W por el seno de alfa
más mu por el coseno de alfa, cambió el signo del roce,
dividido por coseno de alfa menos mu seno de alfa.
Reemplazando los términos que corresponden acá eso da 0.635 W,
ó 63,5 kilogramos expresados como fuerza.
Entonces, si el P es 13,3 o menos, el bloque comienza a deslizar hacia abajo,
y si la fuerza P es 63,5 o más, el bloque comienza a deslizar hacia arriba.
Un caso particular podría haberse dado en otro ejercicio, no en éste,
donde, dependiendo de este valor del roce y de este ángulo que está acá,
podría haber dado que el P mínimo hubiese dado cero o negativo.
En el sentido que, en verdad si hay muy buen roce entre el bloque y el plano,
y esta inclinación no es muy grande, en verdad no es necesaria una carga P.
Espero que esa explicación se entienda, en este caso no caímos en ese caso.
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