Духу электромагнитной теории, вообще, в значительно большей степени
соответствуют дифференциальные соотношения, когда связь, допустим,
между полем и зарядами, между потенциалом и полем выражается
не с помощью интегральных форм, а с помощью дифференциальных соотношений,
связывающих какие-то производные в окрестности данной точки,
и короче говоря, я бы хотел на сегодня познакомить
вас с дифференциальной формой записи вот этих всех соотношений.
Это очень важно, хотя в электростатике принципиальной роли не играет,
но при описании общего электромагнитного поля, изменяющегося во времени,
когда, в соответствии с теорией Максвелла, возмущение передается от
точки к точке с конечной скоростью, – электромагнитные волны, да?
– вот там дифференциальные или локальные соотношения адекватны самой задаче.
Ну вот поэтому нам нужно с этим познакомиться.
Ну, может быть, не совсем все я сделаю строго, как это сделал бы, так сказать,
математик, который хотел бы навести полный порядок в этих формулах.
Но тем не менее я хочу показать, как здесь возникают эти вот, так сказать,
необходимость введения новых понятий математических.
Ну вот я сейчас этим займусь.
Значит, первое, что мы сделаем – это мы попробуем переписать
вот это последнее соотношение в локальной форме,
в дифференциальной форме – связь между потенциалом и напряженностью поля.
Это как раз очень просто.
Ну вот смотрите, как это делается.
Ну возьмем, давайте сначала координатную систему.
Мы все расчеты будем относить к прямоугольной декартовой системе
координат.
Значит, скажем, вот это есть x, y, это вот, скажем, z, да?
Ну вот такая система.
Ну вот, скажем, например, здесь есть какое-то поле,
вот это E какое-то, E(x, y, z), вообще говоря.
Ну и вот мы можем ведь здесь отметить поверхности равного потенциала.
Вот это определение, которое дано для потенциала, оно имеет такой вид,
что при смещении вдоль силовой линии потенциал должен уменьшаться.
Вот если мы будем по одной из силовых линий смещаться на этом вот
чертеже слева направо, то потенциал должен падать.
А кроме всего прочего, тут можно нарисовать вот такие поверхности,
в каждой точке которой силовая линия перпендикулярна этой поверхности.
Эти поверхности называются эквипотенциальными.
Ну потенциал такой пунктирной поверхности один и тот же, ну вот здесь,
скажем, потенциал другой.
Но во всех точках этой поверхности тоже один и тот же.
Скажем, здесь вот φ1, а вот здесь φ2.
Ну где-то вот здесь, давайте, φ3, да.
Ну вот такое, такие неравенства можно поставить для данного рисунка, да?
Ну теперь представим себе,
что мы возьмем и в этом пространстве совершим такое вот перемещение.
И вот, скажем, описываем вектором dl.
Какое-то произвольно направленное элементарное перемещение dl.
Спрашивается, как изменится потенциал, если мы такое перемещение сделаем?
Ну тогда понятно, что, во-первых, видно,
что если проекция этого вектора dl на направление
касательной положительна, тогда потенциал будет падать.
А вообще говоря, можно написать такое выражение: dφ =
ну вот я напишу скалярное произведение − (E × dl).
И вот здесь нужно написать знак минус, потому что, повторяю еще раз,
что при смещении вдоль силовой линии потенциал должен убывать.
Поэтому вот такое вот соотношение существует для
изменения потенциала при смещении dl.
Ну вот, но ведь потенциал – есть тоже функция трех переменных φ(x, y, z).
Поэтому дифференциал этой функции может быть по правилам математики записан
таким образом: это есть (dφ /
dx) × dx + (dφ / dy)
× dy + (dφ / dz) × dz.
Да вот дифференциал этой функции трех переменных.
Ну где вот dx, dy и dz – это есть
проекции или компоненты вектора dl на соответствующие координатные оси.
Так вот в этом разделе математики – в векторном анализе – вводится такая
такой символический вектор, который обозначается
вот таким символом ∇ – это набла, греческая буква набла.
И он вот так описывается: ∇ = i × (d / dx) + сама
операция дифференцирования пока ни к чему не приложена,
просто записан такой вот символический вектор j (ну это единичные
векторы) × (d / dy) + вектор k × (d / dz).
Вот это вектор набла, его еще называю вектор-градиент.
Ну если мы применим этот вектор,
заставить его подействовать на функцию φ(x, y, z), тогда,
естественно, под знаком производной у всех трех членов
появится потенциал φ, и тогда это будет ∇φ.
Вот это называется вектор-градиент электростатического поля.
Так вот как записать...
Ну вот давайте вот так сделаем.
Вот как записать вот это выражение?
Что это такое?
Значит, это (dφ / dx), то есть
если это x компонента вот этого выражения чему равна?
Что это такое?
∇φ со значком x.
Что это такое?
Это (dφ / dx), да?
Вот такая...
Ну точно так же все другие проекции.
Так вот, как...
А (dφ / dy) – это еще одна компонента этого вектора,
(dφ / dz) – это еще одна компонента.
Так вот, как записать коротко вот это выражение?
Как записать его?
Ну это компонента (dφ / dx) компонента
вот этого выражения умножается на x компоненту перемещения, то есть на dx.
Y компонента – тоже на y компоненту, и так далее.
Короче говоря, вот я думаю, что вы все понимаете, что вот это можно записать,
вот это выражение для dφ можно записать так: как скалярное
произведение вот этого символического вектора ∇ на dl.
На dl, да?
Вот такое выражение.
То есть я прошу прощения, это вот так вот.
Это нужно (∇φ × dl).
Вот таким образом можно записать это выражение.
Или градиент φ, или это можно записать вот так по-другому.
Это (gradφ × dl).
Вот такое выражение.
Ну и теперь вот это только какие-то определения,
и мы просто ввели некоторые обозначения, используя вот такой символический вектор.
А теперь сравним с тем, что было...
с физикой.
Вот эта формула выражает физику, связь между E и φ.
Значит, видно, что здесь дифференциал выражается вот такой,
таким скалярным произведением, а здесь математика нам дает вот такое выражение.
Ну и получается в конце концов вот такая вещь: E = − grad φ.
Вот это формула, связывающая локальную связь между
потенциалом и напряженостью поля.
Значит, через скалярную функцию φ(x, y,
z) выражается векторная функция E(x, y, z).
Значит, вот это соотношение связи, дифференциальная
форма вот этого выражения, связывающая
потенциал и напряженность поля.
Вот это одно из дифференциальных соотношений, которое я сегодня хотел вам,
с которым я хотел вас познакомить.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
