Что такое физика и зачем она нужна? Некоторые люди никогда не задаются таким вопросом. Некоторые считают, что физика нужна исключительно для создания различных «девайсов», например холодильников или мобильных телефонов. И они в чем-то правы, ведь сказал же Оскар Уайльд, что «Комфорт – это единственное, что может нам дать цивилизация». Для нас физика – это умение видеть и понимать окружающий мир, возможность творить то, о чем раньше даже и мечтать было сложно. Мы считаем, что для дальнейшего прогресса человечества необходимы ученые-физики, инженеры-физики и просто образованные люди. Мы готовы делиться нашими знаниями. Предлагаемый курс «Электростатика и магнитостатика» посвящен рассмотрению ключевых понятий этой области: уравнений Максвелла, записанных в статическом случае как внутри вещества, так и вне его, энергетических подходов для вычисления сил, действующих на объекты, находящиеся электростатическом или магнитном поле, а также рассмотрение свойств для постоянных токов. Сразу заметим – курс не очень простой, для его освоения слушателям необходимо владеть знаниями по физике в объеме школьной программы, основами дифференциального и интегрального исчисления и основами векторного исчисления. В течение 10 недель вам будут предлагаться для изучения видеолекции, физические демонстрации и семинары с разбором задач. Основные формулы и тезисы лекций представлены в виде кратких конспектов. Каждая учебная неделя содержит тест и 4 задачи для самостоятельного решения. Экзаменационные недели включают тест и 5 задач. В конце курса у слушателя есть возможность решить дополнительную контрольную работу из трёх задач повышенной сложности с ограничением по времени.
5. Метод изображений. Проводящая тонкостенная сфера
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Электростатика и магнитостатика
35 ratings
Na lição
Электростатическое поле в вакууме
Основы векторного анализа. Локальная связь между потенциалом и напряженностью поля. Градиент. Дифференциальная (локальная) форма теоремы Гаусса. Дивергенция. Теорема о циркуляции в дифференциальной форме. Ротор. Формула Остроградского-Гаусса. Уравнение Пуассона. Уравнение Лапласа. Основная задача электростатики. Нахождение распределения потенциала по заданным граничным условиям. Теорема единственности. Метод электрических изображений.
Conheça os instrutores
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Задача 2.22.
И вот она такая: сферический
слой, оп,
рассматривается сферический слой.
И вот,
вот его штрихую, — это металл.
Вот это центр, вот это радиус r по определению.
Вот внешний радиус R.
И вот где-то,
в какой-то точке вот тут вот
заряд помещён q, вот он.
Этот заряд, смещённый относительно
центра на величину x, помещён,
— это реальный заряд, помещённый внутри этой толстой сферы.
Значит, сфера имеет два радиуса, величина смещения x задана.
Значит, что нужно найти?
Выделяются две контрольные точки: это точка A и точка...
Точка B и точка С.
Точка B, а эта точка,
противоположная вот здесь вот,
— точка С.
Вот, что нужно найти?
Нужно найти поверхностную плотность индуцированных
зарядов: σ внешняя какая?
Значит, σ в точке B —
поверхностная плотность в точке B, ближайшей к заряду,
а также σ в точке С, наиболее удалённой от этой точки.
Кроме того, надо найти потенциал сферы, который...
Какой будет здесь потенциал в этом случае?
Итак, ещё раз повторяю.
Вот вся геометрия здесь налицо: внутри толстой сферы,
которая обладает двумя радиусами — r маленькое и R большое, они заданы,
— находится смещённый на величину x заряд q,
и надо определить, чему равен потенциал сферы, чему равна
поверхностная плотность заряда на внешней поверхности этой сферы и в точках B и C.
Ну что тут надо сказать?
Это заряд...
Эта задача, — её проще всего
свести к задаче 2.20,
значит, предположив, что вот этот заряд
q является зарядом-изображением некоего внешнего заряда.
Этот внешний заряд находится вот где-то здесь.
Это заряд-изображение Q, заряд собственно.
И этот заряд находится вот на расстоянии, специально его выделяю,
— расстояние d.
Вот.
Итак, если бы это был натуральный
заряд q, а это просто сфера или шар,
то тогда вот этот q был бы зарядом-изображением этого заряда,
если величина его смещения x, допустим.
Но это всё справедливо и в обратную сторону: если сюда поместить заряд q,
внутрь сферы, смещённой на x, то тогда снаружи как бы есть некий другой заряд,
который отвечает за взаимодействие вот со сферой всего этого заряда.
Вот давайте и распишем это, потому что по существу нам всё известно.
Как здесь рассудить?
Ну, прежде всего, совершенно
очевидно следующее...
Я как бы сделаю некое такое отвлечение.
Если у нас заряд находится внутри сферы и, допустим, в центре,
— вот на этой доске это изображу, вот ту же самую ситуацию,
с тем чтобы можно было понять, а что же нам здесь делать.
Вот заряд находится в центре.
Что будет, если он находится в центре?
Ну поле этого заряда, оно радиально, естественно.
И поскольку это сфера и ещё и не заряженная,
то вот во всех этих точках будет индуцирован,
— это и по закону Фарадея, который он нашёл экспериментально,
— во внутренних точках будет индуцирован суммарный заряд,
равный по величине вот этому заряду q.
Он суммарный, но противоположный по знаку, –q.
Но а поскольку сфера в целом не заряжена,
то это означает, что на поверхности этой сферы выделится заряд,
равный этому: значит, здесь минус q, а здесь — плюс q.
В целом сфера остаётся незаряженной, потому что никто ей заряда не сообщал,
она электрически нейтральна, но здесь произошло разделение, то есть электроны из
этой металлической сферы, какая-то часть электронов ушла на внутреннюю поверхность,
дав внутренней поверхности заряд минус q, суммарный,
конечно, а этой сфере, — она осталась с зарядом +q.
То есть получается следующее: что снаружи, опять-таки
по теореме Гаусса, ну поле будет таким же,
— вот, я его рисую продолжением этого поля,
— оно будет как бы полем точечного заряда, помещённого в центр этой сферы.
И всё снаружи вот — картина точно такая же,
как была бы, если бы не было этой сферы.
Вот. Естественно, внутри сферы,
опять-таки по теореме Гаусса, понятно, что поле отсутствует.
То есть можно даже картину этого,
как бы напряженности ну как бы нарисовать, что здесь происходит.
Ну от точечного заряда, понятно, что я не могу написать
его поле возле этой точки непосредственно, потому что оно на бесконечность уходит.
Но вот где-то оно меняется вплоть до вот этих двух расстояний
R: вот это расстояние R1, а это — R2.
Вот здесь однозначно можно сказать, что поля нет.
Значит, скачком поле как-то вот шло вот из бесконечности вот сюда,
и дальше вот оно по такому закону меняется.
Это поле E, E(r).
Повторяю, что у точечного заряда вблизи него ну напряжённость,
— точечных зарядов не бывает на самом деле,
но можно достаточно близко приблизиться к этому понятию, — то есть на самом
деле здесь вот эта напряжённость поля как бы возрастает вплоть до бесконечности.
Вот тут опасаться, — ничего здесь такого нет, — ну просто он идёт,
резко уходит это поле, здесь претерпевает поле скачок,
поскольку на этой поверхности выделился отрицательный заряд как раз на
такую же величину: –q/R², величина скачка.
Вот это, значит,
будет q/R²1 вот в данном случае, а здесь — q/R²2.
Вот и всё.
А скачок, величина этого скачка вниз — вот он, а здесь — наоборот,
вверх, потому что на этой поверхности размещён заряд, заряд q.
Размещены они, конечно, равномерно.
Ну всё замечательно, что дальше-то?
А дальше, если я начну смещать этот заряд из этого центра,
смещать его куда-то там вбок, то произойдёт...
В общем, мало что произойдёт.
Смотрите, вот заряд у меня здесь оказался.
Что произойдёт?
Опять теорема Гаусса говорит о том,
что суммарный отрицательный заряд всё равно останется –q.
Снаружи...
А никто не знает, так сказать, смещён там, не смещён,
— заряд будет все равно равномерно распределён по этой поверхности.
То есть если я нарисую поле теперь уже вот этого смещённого заряда,
то оно должно, — ну вот розовым нарисую, — то оно должно быть вот таким.
Понятно, что должно оно радиально как бы подходить вот в эти,
вот сюда.
Ну, вот я картинку более или менее нарисовал,
то есть получается такая паутинка, как бы.
Вы смещаете, поле искажается.
Но, силовые линии должны втыкаться в внутреннюю поверхность под прямым углом,
потому что она эквипотенциальна.
Плотность заряда вот в этой точке будет больше, чем в этой,
но суммарный, так сказать, заряд, будет всё равно −q.
Итак.
Вот, эти особенности стали более или менее понятны, значит,
поэтому мы приступаем уже, как бы, к этой задаче вновь.
Итак.
Надо найти, во-первых, потенциал сферы.
Потенциал сферы выписывается мгновенно.
Первый вопрос.
φ сферы равен, конечно же, q * R.
Почему?
Потому что вот здесь размещен заряд q, поэтому потенциал
на этой поверхности, и он равен q * R.
Теперь, снаружи, σ.
Второй вопрос.
σ внешняя.
На внешней сфере.
Ясное дело, что это есть просто положительный заряд на 4πR².
На поверхность сферы.
Этот заряд размещен равномерно по этой поверхности,
как и было вот здесь показано в предыдущей задаче.
А вот что касается плотностей в точках B и C,
вот тут-то нам и придется, ну,
естественно, заниматься вот этой обратной задачей.
Итак.
Как это рассчитать?
Вот, σ B и σ C?
Ну как?
Во-первых.
Мы можем написать, исходя из того, что,
вот, ну, из общих формул.
Каких?
x — это есть, как мы знаем,
r² / d.
r² / d.
Мы эту формулу с вами выписали,
и вот эта величина маленького заряда у нас тоже вполне,
так сказать, понятно, чему она должна быть равна.
Из задачи 2.20.
Это есть −Q * r / d.
Это мы тоже знаем.
Это исходная формула.
У нас ситуация сейчас обратная, то есть,
вот этот q нам задан,
а мы не знаем про величину Q и, значит,
не знаем, на каком расстоянии надо поместить его.
Поэтому прямо из этих формул мы пишем.
Это расстояние d = r² / x, раз.
И величина этого заряда
Q = −q d / r, то есть, в обратную сторону.
Ну, исходя, вот из всего этого,
можно подставить сюда d, вот, и найти величину этого заряда.
То есть, что получается?
−q d, это есть r², r² / x * r.
То есть, получается -q r / x.
Вот это,
можно, как бы подчеркнуть, это то, что мы получили.
Значит, мы получили величину этого заряда, вот она,
и расстояние от центра этой сферы,
где находится это заряд соответствующего взаимодействия.
Вот как только мы это написали,
пишем: поле в точке B.
Ну, как его рассчитать?
EB поле в точке B, это ближайшая к заряду точка.
Подсчитывается, как сумма q /
(r- x)²
+, +… значит,
мне нужно Q написать,
поделить на (d- x).
Ну, на d… ой, прошу прощения,
на (d − r)².
Теперь осталось подставить эти соотношения,
которые я вывел q r на x и d на r, вот эти величины, и получается вот что.
Значит, вместо q,
значит q / (r − x)², это всё задано,
а вот здесь получается + qR / x,
здесь (r² / x − r)².
Вот так вот получается.
Поскольку d, вот равно этой величине.
Дальше надо немножечко повозиться вот с этим, привести это к более или менее
приличному виду, оно приводится, это q выделим,
вот эту (r- x)² за скобку,
а здесь останется (1 + x / r).
Ну а чему это равно, поле в точке B?
4πσ.
4πσ в точке B.
Вот это совершенно понятно, это следствие теоремы Гаусса,
я уж тут показывать даже не буду.
Отсюда σB = q / 4π (r- x)²,
а здесь еще (1 + x / r).
Итак.
Первый ответ.
Поле в точке B найдено.
Совершенно аналогично находим поле в точке C.
Значит, поле в точке C.
Ну, то есть, наиболее удаленной.
Здесь они уже вычитаются.
EC = q / (r + x)² − ну,
вот этого Q на d + r.
Значит, Q / (d
+ r)².
Ну, прямая подстановка сюда этого выражения для Q,
это q на d и на r, подчеркиваю, что знак «−» уже мною поставлен сразу.
Он говорит о том, что поля в этой точке вычитаются.
Вот.
А в промежуточной точке B они складывались,
потому что это противоположного знака поля.
Поэтому здесь получается следующее: еще
раз напишем q / (r
+ x)² − qr
/ x (r² / x + r)².
И всё выливается
вот в это: q / (r + x)²,
(1- x / r).
И вот это должно быть 4π,
плотность заряда в точке C по теореме Гаусса.
Отсюда ответ.
σC = q
/ 4π (r + x)²,
а здесь (1- x / r).
Вот, ответы в этой задаче, этот, этот и все те.
Вот, вся ситуация разобрана.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
