По 2-м бесконечно длинным прямолинейным проводам,
сделанным из немагнитного материала, текут в противоположных направлениях токи с
одной и той же плотностью – 1000 ампер на см².
Это задача под номером 5.23.
Значит, j = 1000
А/см² Ну довольно приличные токи.
Что же это за провода?
Давайте я нарисую ситуацию.
Это сечение 2-х проводов.
Вот в произвольном виде я их нарисовал.
Это провод A.
И ток здесь течет на нас.
А вот этот провод — B
— течет от нас.
Это точка B.
Здесь тоже заштрихуем.
Вот 2 этих цилиндрических ситуации, 2 этих цилиндрических провода пересекаются,
и здесь образуется как бы полость.
Как бы полость.
Полость П — вот она.
Так вот еще раз повторяю: вот по этим цилиндрическим проводам, выполненным,
например, из меди, алюминия — немагнитный материал — вот ток по проводу A,
меньшего диаметра, течет на нас, а здесь от нас уходит в доску.
Плотность тока одинаковая как там, так и тут.
Но вот легко понять, что здесь, вот в этой полости ток не течет.
Это как бы область пересечения.
Значит, найти величину и направление поля И в этой полости,
если известно, что расстояние между точками A и
B — обозначим его как d — равно 5 см.
Вот найти поле B, B в полости Bп =?
Ну прежде всего,
давайте определим поле внутри провода.
Есть теорема о циркуляции, поэтому очень легко этой теоремой воспользоваться.
Вот у меня есть некий провод, по которому поле, например,
течет вот сюда, в эту сторону.
Значит, это радиус, внутри текущий радиус r.
И применяем теорему о циркуляции: если течет ток вот в этом направлении,
то понятное дело, что поле B в любой точке вот на этом
радиусе направлено по касательной, вот так вот.
По касательной.
Теорема о циркуляции говорит: B × dl
должно быть = 4π / c,
а здесь сумма токов, текущих внутри этой поверхности.
У нас однородный ток течет, с плотностью j,
поэтому это и есть Значит,
это по радиусу r, значит,
окружность радиуса r, а здесь j × πr².
Значит, это ток внутри этой поверхности,
ну то есть этот ∫ = B × 2πr,
я приравниваю этому.
4π / c × j × πr²
Ну вот эти тут простые сокращения,
и B от r получается 2π — вот тут 2π π,
вот тут 2 остается, получается 2
2π / c × j × r.
Вот, ну вот теперь вот так вот: j × r.
Ну, на самом деле,
можно написать это в векторном виде, эту же самую формулу.
Понимая, что плотность тока — величина векторная, и в данном случае это поле — в
смысле, вектор j — направлен на нас, а r — в данную точку,
в какую-либо — это просто будет векторное произведение j на r.
Это легко понять, и я так вот и пишу: j на r.
Ну, это некая данность,
которую я вот легко достаточно доказал.
Теперь возвращаемся к нашей задаче.
У нас получилась некая полость, наверное, это легко сделать.
Вот возьмем какую-либо точку внутри этой полости, она произвольная точка, любая.
Вот я сюда провожу радиус-вектор из точки A и из точки B: два радиуса-вектора.
Пусть вот этот вектор AB, вот это вектор d.
Это rA, а это вектор rB.
Ну вот совершенно ясно,
что rA вот нет,
rA — это есть Что это такое?
Это есть d, rB + d.
Ну или d + rB.
Вот это соотношение, векторное соотношение, оно нам сейчас и пригодится.
Итак, значит, как мы решаем эту задачу.
В этой точке поле формируется — мы,
конечно, полагаем, что у нас вот этот ток, текущий на нас,
полностью заполняет весь этот цилиндрический провод —
мы так и пишем, значит, так и запишем.
А в этой же точке от вот этого правого
провода — в этой же точке, мы полагаем, что полностью
заполненный ток течет с такой же плотностью вот в этом направлении.
Конечно, они друг друга в этой полости уничтожают — это другой вопрос.
Но ведь он, по идее-то, он как бы есть.
Поэтому, правда, они друг друга уничтожают,
поэтому по принципу суперпозиции мы можем это легко записать.
Поле B в точке п — это
есть сумма двух полей: B от A +
B от точки B.
Ну а как мы это запишем?
Ну как?
2π / r векторное произведение j × rA, раз.
Поскольку ток в правом проводе течет в обратном направлении, то,
чтобы мне оставить это j как вот нужно, я напишу знак «минус», лучше перенесу сюда,
и тогда это будет разница такая 2π поделить...
не на r, а на c!
2π / с это есть j × rB.
Теперь как бы вычитаем одно из другого.
Что у нас получается?
2π / c значит, векторное произведение j это общее,
а здесь будет разница этих векторов, запятая.
rA − rB,
и векторное произведение закрывается.
rA − rB — это есть d.
То есть это есть [2π / c] [j × d],
ну, если его признать вектором, направленным вот AB, по существу.
Вот, по существу, ответ.
Величина этого поля — это есть просто 2π
/ c [j × d] Подсчет осуществляется
элементарно: 2π j — это 1000 ампер,
10 10 в 3, амперы, конечно,
надо перевести в Гауссовы единицы,
потому что здесь поле, мы в Гауссовой системе.
Это 3 × 10 в 9 — 1 ампер равен Гауссовых единиц.
Дальше: × 5 см, и здесь 3 × 10 в 10 — скорость света.
Вот мы видим, что тут происходят замечательные сокращения,
10 в 9 и 10 в10 сокращается, Здесь 10 тоже уходит,
здесь 2 возникает, и при подсчете получается 1000π.
1000π, что очевидно,
то есть 3140 Гаусс.
Вот ответ.
Спрашивается, а как же поле-то направлено?
А поле направлено перпендикулярно вектору d.
В силу опять-таки того, что мы написали векторное произведение.
То есть вектор B перпендикулярен d
и направлен вверх в этой картинке.
Поскольку точка, вот эта точка,
в которой мы смотрим в этой полости, она произвольная,
то — абсолютно неважно, лишь бы она была в полости,
— то во всех точках поле В одинаково, и одинаково направлено,
и одинаково по величине, то есть это поле здесь однородно,
как мы получили.
Ну, догадаться, что это правильно, можно еще из других соображений.
Ведь на самом деле здесь тока нет, вот в этой полости.
На самом деле тока нет.
Поэтому поле от токов,
которые бы здесь в этой полости, оно равно 0.
И поэтому поле складывается из токов вот этой
части этой полости и вот этой части помимо этой полости, складывается вот здесь.
То есть можно, не делая даже вот этих выкладок, на самом деле,
просчитать величину этого поля для вот этой точки промежуточной.
Вот здесь вот, да, вот на этом расстоянии.
Это легко, вот точка когда у нас, ну возьмем любую, значит,
будет rA и rB, с тем чтобы они просто по модулю равнялись d.
И догадаться до этого легко и просто.
Ну, тем не менее, мы решили ее аккуратно,
используя вот общее соотношение.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
