В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях. Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем. Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями. Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.
Лекция 1.7. Теорема взаимности
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Переходные процессы в электрических цепях
3 classificações
Na lição
Электромагнитная индукция
Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Относительный характер электрического и магнитного полей. Коэффициенты само- и взаимоиндукции. Теорема взаимности. Магнитная энергия и её локализация в пространстве. Энергетический метод вычисления сил в магнитном поле.
Conheça os instrutores
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
А теперь вот мы с вами рассмотрим применение закона сохранения энергии в
системе, в которой есть магнитная энергия.
Ну вот давайте мы нарисуем какую-то условную схему.
Я вот прямо здесь её нарисую, вот здесь.
Значит, представим себе, что у нас есть ну вот какая-то катушка.
Значит, здесь источник, батарея постоянного тока есть.
Ну есть резистер, на котором, возможно, происходит выделение джоулевого тепла.
Ну вот такая вот система.
Значит, есть магнитная энергия в этой катушке, есть,
при протекании тока выделяется джоулевое тепло, работает батарея.
Ну и, кроме всего прочего, мы предположим, что здесь есть какая-то, какой-то элемент,
способный перемещаться, и при этом магнитное поле совершает работу.
Ну вот, например, я нарисовал такую схему, но,
вообще говоря, возможны и другие схемы.
Это просто некая условная схема, чтоб вы имели перед глазами.
И тогда вот мы с вами писали вот следующие выражения.
Значит вот, P на dt.
Это работа батареи.
Мы рассматривали некоторый интервал времени dt.
И вот P на dt — это есть работа батареи за это время dt.
Ну вот, дальше такое определение.
Q на dt — это джоулевое тепло, выделяющееся на резистере или
на многих резистерах, которые там есть в этой схеме, тоже за время dt.
Значит, в баланс энергий, конечно, включить нужно вот эти вот величины.
Следующие выражения, следующий момент вот такой вот.
dAмех.
Если в системе происходит какое-то механическое перемещение, например,
перемещается этот стержень магнитный внутрь катушки,
тогда вот совершается механическая работа.
Очевидно, магнитные силы совершают работу.
[КАШЛЯЕТ] Очевидно, этот член тоже в баланс энергий нужно включить.
И наконец, конечно, мы должны ещё учесть изменение магнитной энергии,
запасённой в этой системе.
Значит вот, мы обозначим так — dWm — это вот изменение магнитной
энергии в этом процессе, который мы рассматриваем.
И тогда закон сохранения энергии записывается для такой системы, в которой,
обращаю внимание, нет электростатического поля, нет конденсаторов,
и энергию электростатического поля мы не включаем в баланс энергий.
Вот закон сохранения энергии запишется так: (P − Q) на dt,
то есть это работа батарей за вычетом джоулевого тепла вот как
раз равняется изменению магнитной энергии и плюс свершенная механическая работа.
Вот это есть, это выражение, это и есть закон сохранения энергии.
Записанный для подобных систем, в которых как бы
отсутствует электростатическое поле, мы его здесь не рассматриваем.
Ну я бы хотел, прежде чем переходить дальше,
вот немножко по-другому записать вот это выражение.
Значит, что такое работа батареи?
Это нужно умножить ЭДС батареи на заряд,
который протекает через батарею за время dt, да?
Это работа батареи.
Значит, а что такое джоулевое тепло?
Для того чтобы понять, что такое джоулевое тепло,
мы должны нарисовать условную эквивалентную схему.
Эквивалентная схема такая.
Вот у нас эта батарея, которую у на здесь включена, это внешний источник постоянного
тока А кроме всего прочего, если в схеме происходят какие-то там перемещения,
то возникают ЭДС самоиндукции,
и мы должны эту ЭДС самоиндукции тоже включить в эту схему и
вот нарисовать вот такую эквивалентную схему.
Это вот R.
Следовательно, как же записать джоулевое тепло, выделяющееся за время dt?
Ну вот я ещё раз напишу,
что P на dt = E на I на dt, наверное, да?
I на dt — это заряд, протекший через батарею.
А если мы хотим узнать джоулевое тепло, то как, что нужно сделать?
То нужно вот написать такую...
А это вот E индукции, Eинд.
Значит, мы напишем, что Q на dt =
( E + Eинд )
на I, вот здесь ток написать нужно, и тоже на dt.
Вот это и есть джоулевое тепло, которое выделится в схеме за это время.
Поэтому, если мы возьмем такую разницу,
вот здесь я напишу ( P − Q ) на dt,
то оказывается, что вот работа батареи за вычетом джоулевого тепла
равняется минус Eинд на I и на dt.
Вот эта замечательная формула, которая показывает,
что работа батареи за вычетом джоулевого тепла,
равняется работе ЭДС индукции, взятой со знаком «минус».
Вот эта формула нам потребуется в дальнейшем,
ну вот она такая вот, имеет такой вид.
Ну хорошо, а теперь вот мы с вами попробуем доказать теорему взаимности.
Что для этого нужно сделать?
Раз идет речь о взаимо-магнитном взаимодействии, то, очевидно,
нужно рассмотреть два тока, два контура, две катушки, которые находятся вблизи,
недалеко друг от друга, так что есть магнитная связь.
Ну и вот, так сказать, мы применим закон сохранения энергии к такой системе.
Значит, вот давайте попробуем нарисовать такую картину.
Значит, допустим у нас есть один какой-то ток.
Ну например, вот он так течет, это первый наш контур.
В этом контуре действует, есть токи.
Ну давайте напишем здесь I1, да?
Ну наверно, есть какая-то ЭДС внешнего
источника и какие-то, в общем это даже не важно, что там включено.
Вот есть ток, и этот ток нас в первую очередь интересует.
И есть второй контур.
Это катушка, которую мы условно рисуем в виде кольца.
В ней, возможно, протекает ток I2.
Они как-то друг относительно друга сориентированы, И вот мы должны записать,
конечная наша цель — написать выражение для магнитной
энергии такой пары взаимодействующих катушек.
Каждая из этих катушек характеризуется своим значением
коэффициента самоиндукции — L1, здесь будет L2.
Ну и вот теперь давайте, мы вот поступим следующим образом.
Мы попробуем применить закон сохранения энергии вот к такому процессу.
Предположим сначала, что контур первый находится на своём месте,
а контур второй приближается издалека,
и потом мы его поместим на своё место.
И вот мы применим закон сохранения энергии вот к
какому-то элементарному перемещению этого второго
контура из бесконечности, когда взаимодействие магнитное отсутствует,
вот к своему собственному месту.
Но где-то по дороге мы рассмотрим интервал времени dt.
И вот попробуем применить...
За это время dt контур 2 как-то переместился, а, стало быть,
магнитный поток от магнитного поля первого контура тоже изменился.
Почему должны мы применить к этому процессу элементарному закон
сохранения энергии?
Ну, мы напишем вот такое соотношение.
Мы просто используем вот это выражение, вот мы сначала напишем вот это выражение.
Значит, очевидно, для каждого контура мы должны написать
вот такое соотношение, а потом просуммировать левые и правые части.
Поэтому если под P, если под P понимать P1 + P2,
ну и под Q понимать Q1 + Q2,
ну P1 + P2 — это мощности источников в первом и втором контуре, да?
Q1 и Q2 — это мощности джоулевых потерь.
Тоже в первом и втором контуре.
Тогда вот соответствующий закон сохранения энергии запишется следующим
образом: ( P минус Q) — это уже здесь входит суммарное,
вот если умножить на dt, это суммарная работа батареи,
минус суммарное джоулевое тепло, которое выделяется в обоих контурах.
Это будет равно следующему, это будет, значит,
−Eинд в первом контуре
на I1 на dt
− Eинд во втором контуре на I2
на dt.Теперь я должен сделать одну оговорку.
Значит, что должны мы Зафиксировать в процессе
перемещения второго контура из бесконечности к своему месту.
Мы должны какие-то параметры считать неизменными.
Так вот давайте договоримся, что в этом процессе мы будем считать неизменными I1,
I2 – это токи, каким-то образом стабилизируются,
независимо от того, что там появляется ds индукции,
то мы отслеживаем это и токи константы.
И второе предположение, что поддерживаются неизменными L1 и L2.
А это означает, что сами контура, сами катушки не деформируются,
они не меняют своей формы.
То есть их собственные коэффициенты самоиндукции остаются постоянными.
А что ж там меняется?
Ну а меняется, очевидно...
Очевидно меняются коэффициенты взаимоиндукции,
вот меняются L12, L21.
Они могут меняться как-то по дороге, по мере перемещения второго контура.
Вот мы это и предположим.
Вот теперь давайте посмотрим, чему же равняется ну, например, Eинд2...
Это я нехорошо написал.
Ну, скажем, вот возьмём Eинд2 * dt.
Что это такое?
Давайте попробуем расписать при тех условиях, которые мы сформулировали.
Значит, Eинд2 = Что это такое?
Это −1 / C по определению,
а здесь будет dΦ12 / dt, да?
То есть это только может быть ЭДС взаимоиндукции,
самоиндукции нет при нашем предположении.
Ну вот, а что такое Φ12?
А Φ12 = ( L12
/ C ) * I1 вот, что такое...
Вот, что это такое.
Теперь посмотрите: когда я буду брать эту производную,
dΦ12, то, по нашему предположению, ток I1 сохраняется.
Он неизменен, поэтому его можно за знак производной вытащить и, короче говоря,
вот здесь, если мы это распишем дальше, то у нас окажется,
что это равняется (−1 / C²),
здесь стоять будет ток I1, да?
И * dL12,
вот так запишется результат при условии,
что мы, ещё раз повторяю,
ток в каждом из этих проводников, из этих катушек, остаётся...
Сохраняется постоянным, и сохраняется неизменным конфигурация...
Сохраняются неизменными конфигурации каждой катушки,
и поэтому нет самоиндукции, только взаимоиндукция.
Ну вот так, если теперь мы вот это соотношение подставим вот сюда,
то ну вместо двух минусов появится плюс,
появится произведение токов I1 * I2 * C² * dL12,
вот давайте напишем, я, наверное, вот давайте вот напишем этот второй член,
он будет иметь такой вид: I1*I2 / C²*dL12.
Ну, естественно, в силу полной симметрии, если мы возьмём вот
это выражение, то только индексы нужно поменять, и будет то же самое, да?
Можно записать вот такое выражение, а здесь будет ( I1*I2
/ C² )*dL21,
вот такое выражение – это есть работа батарей
за вычетом джоулевого тепла вот в такой системе,
на таком элементарном участке,
на элементарном перемещении второго контура,
вот получится вот такая вот, такое выражение.
Ну хорошо.
Но мы теперь знаем, что, что такое вот эта разность
между работой источников и джоулевым теплом,
это есть ведь сумма изменения магнитной энергии и свершённой механической работы.
Теперь давайте вспомним, что мы...
Давайте, может быть, ещё раз сформулируем эту задачу.
Что же здесь происходит?
У нас есть первая катушка, по которой течёт ток I1.
Этот ток создаёт магнитное поле.
Этот ток неизменен, поэтому магнитное поле этой первой
катушки неизменно в пространстве.
И вот в этом магнитном поле перемещается второй контур,
в котором протекает ток I2, который тоже не меняется.
Это как раз та задача, которую мы с вами решали ну,
наверное, ну одну лекцию тому назад, да?
Это работа, которую совершают магнитные силы при
перемещении тока в магнитном поле.
И оказалось, что эта работа dAмех, в этом случае,
dAмех выражается такой формулой.
Это есть 1 / C...
То есть...
Прошу прощения, здесь стоит...
Вообще формула общая имеет такой вид: dAмех = (I / C) * dΦ,
изменение магнитного потока, пронизывающего этот перемещаемый ток.
Ну в нашем случае, что здесь нужно написать?
То есть перемещается ток номер 2, магнитный поток создаётся током I1,
поэтому мы должны написать вот такую вещь: Значит,
в нашем случае: dAмех = ( I2
/ C ) – это перемещаемый ток, поделённый на C,
*dΦ12.
Ну вот у меня здесь написано, к сожалению...
Да. Ну Φ12 вот здесь написано,
мы по-прежнему считаем, что ток неизменен,
поэтому получится вот что: ( I1*I2 / C² )dL12.
Вот как выражается механическая работа.
Ну и, стало быть, на долю вот этого члена,
который описывает изменение магнитной энергии, что же приходится?
Значит, тогда мы должны вот из написанного выше выражения,
вот из этого вычесть вот это.
Тогда получится вот dWm – изменение магнитной
энергии в этом процессе, оно будет выражаться ну,
как видите, вот здесь просто уйдёт член,
содержащий dL12, останется первый член, да?
Значит при таком вот рассуждении у нас окажется, что изменение
магнитной энергии выражается такой формулой: ( I1*I2 /
C² )dL21 Ну вот вы,
наверное, чувствуете ассиметрию, которая возникла в этом случае.
Мы начали с рассуждения, заранее внеся асимметрию, мы предположили,
что первый контур стоит на месте, а второй перемещается, и получили,
для изменения магнитной энергии мы получили вот такое вот выражение,
куда входит только один из коэффициентов взаимоиндукции.
Но если мы проинтегрируем это выражение, предполагая,
что контур номер 2 из бесконечности, значит,
постепенно приближается и встаёт на своё место,
то мы получим вот такую формулу для магнитной энергии такой системы: Wм =...
Я здесь, наверное...
А, C² есть там, да.
I1*I2 / C²,
а здесь будет L21 + const,
после интегрирования возникнет.
Ну, прежде всего, какой смысл этой константы?
Что она физически означает?
Ну если мы эти два контура разнесём,
а эта константа не зависит от взаимного расположения двух этих катушек.
Значит физически это означает, что это есть магнитная энергия в той...
В том случае, когда эти два контура не взаимодействуют,
то есть далеко расположены друг от друга.
Ну, стало быть, это есть собственная магнитная энергия двух этих катушек.
Значит, вот эта константа просто есть
суммарная энергия двух невзаимодействующих катушек, её можно...
Для каждой катушки можешь записать ну вот по одной из этих формул, да?
Ну хорошо.
Теперь вот следующий шаг нашего рассуждения ну довольно очевиден.
Теперь мы повернём задачу и теперь будем наоборот — сохранять
неизменным положение второго контура,
а из бесконечности к нему при тех же самых вот условиях,
что все эти величины остаются неизменными,
это вот константы какие-то, мы приближаем теперь уже первый контур.
И повторяем все наши рассуждения.
Тогда понятно, что тогда у нас просто
получится вот такое выражение: Wm = (I1*I2
/ C²) * L12 + const.
В этих двух рассуждениях мы в ответ вошли различные коэффициенты взаимоиндукции.
Вот отсюда делается вывод.
Ну поскольку, в конце концов, система,
которую мы создаём, одна и та же, вначале...
Начальное условие было тоже одинаковым, они просто, два контура не
взаимодействовали, то естественно, что результат должен был быть одним и тем же.
Отсюда следует вот из этих выражений, что L12
= L21 = M =...
Ну, в общем, я хотел написать константа, но это неправильно, потому что по дороге,
пока мы один из контуров приближали к неподвижному,
то, конечно, эти коэффициенты менялись.
Коэффициент взаимоиндукции один и тот же,
L12 = L21, и вот это и есть результат, который...
В общем, это утверждение называют теоремой взаимности.
Вот это и есть.
То есть взаимодействие взаимно, магнитные взаимодействия катушек взаимны.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2019 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
