Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
7.1.5. Логит-модель [+доска]
Loading...
Do curso por National Research University Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
320 classificações
National Research University Higher School of Economics
320 classificações
Na lição
Метод максимального правдоподобия. Модели бинарного выбора
Или о том, что делать, если зависимая переменная принимает всего два значения
Conheça os instrutores
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Мы будем оценивать логит и пробит-
модели именно с помощью метода максимального правдоподобия.
Что такое логит и пробит-модели?
В этих моделях мы пытаемся объяснить некую бинарную переменную, то есть переменную,
которая принимает значения: либо 0, либо 1.
Каждое наблюдение, каждое y_i — это либо 0, либо 1.
Соответственно, мы предполагаем, что существует некая
невидимая нами, скрытая, ненаблюдаемая переменная y_i*.
И y_i = 1, когда y_i* > 0.
И y_i = 0, когда скрытая переменная отрицательна.
И модель строится не для y_i, которое либо 0, либо 1,
а именно для скрытой ненаблюдаемой переменной y_i*.
Модель имеет вид: β₁ + β₂ x_i + ε_i.
Разница логит и пробит-моделей состоит в спецификации случайной составляющей ε_i.
А именно в пробит-модели ε_i предполагается стандартными нормальными
случайными величинами с матожиданием 0 и дисперсией 1,
а в логит-модели ε_i, предполагается, имеет специальное логистическое распределение.
Кто не знаком с логистическим распределением,
пока временно может представлять себе, что оно похоже на нормальное распределение с
математическим ожиданием 0 и дисперсией, равной 1,6 в квадрате.
Давайте попробуем, чтобы лучше почувствовать логистическую модель,
посчитать в ней вероятность того, что y_i, конкретное наблюдение, примет значение 1.
С одной стороны, это вероятность того, что скрытая переменная неотрицательна,
поскольку скрытая переменная β₁ + β₂ x_i + ε_i, мы получаем,
что вероятность того, что y_i = 1,
можно свести к некой вероятности на ε_i.
То есть у нас получается вероятность того, что ε_i < либо = β₁ + β₂ x_i,
и это есть значение функции распределения в точке β₁ + β₂ x_i.
Из теории вероятности мы знаем,
что значение функции распределения — это есть некий интеграл от функции плотности.
И теперь мы посчитаем с вами,
чему же равна конкретно эта вероятность для логит-модели.
Функция плотности логистической случайной величины f(u) имеет следующий вид — это
e в степени (−u) делить на (1 + e в степени (−u)) в квадрате.
Если домножить на e в степени 2u числитель и знаменатель,
то получится в числителе e в степени u делить на 1 + e в степени u в квадрате.
И отсюда получается, что функция четная в точке u и в точке (−u).
Она принимает одинаковые значения.
И ее график, если построить его, то окажется, что он выглядит
очень похоже на привычную кривую плотности для нормального распределения.
То есть центр на нуле, там же максимум,
и кривая плавно убывает к плюс и минус бесконечности.
И отличие логистического распределения от нормального состоит в том,
что функцию распределения, я напомню,
что функция распределения F(t) — это вероятность того,
что, соответственно, случайная составляющая < либо = t.
Вот эту функцию у логистического распределения можно посчитать в
явном виде.
У нормального, к сожалению, это остается интегралом, который в явном виде не
берется, а у логистического распределения без проблем можно посчитать,
что мы сейчас быстренько и сделаем.
Соответственно, это есть интеграл от минус бесконечности до t,
f(u)du, то есть на картинке функция
распределения в точке t, это, значит,
у нас u, это f(u), и вот это,
эта площадь закрашенная, это F(t).
Соответственно, этот интеграл, к счастью, легко берется.
Мы берем интеграл от минус бесконечности до t,
e в степени u делить на 1 + e в степени u в квадрате du,
e эту вносим под знак дифференциала,
получаем ∫ от минус бесконечности до t,
de в степени u делить на 1 + e в степени u в квадрате,
получается как будто e в степени u — это x, а тут 1 + x в квадрате.
Соответственно, интеграл — это (−1), деленное на 1 + x,
ну в роли икса выступает e в степени u.
И мы меняем здесь u от минус бесконечности до t.
Подставляем t,
получаем (−1) делить на 1 + e в степени t.
И когда подставляем u равное минус бесконечности,
e в степени минус бесконечность в пределе дает 0, получаем (−1).
Но его надо вычесть.
Поэтому получаем +1, и, соответственно, если привести к общему знаменателю,
получим: 1 + e в степени t − 1, делить на 1 + e в степени t,
и получается e в степени t делить на 1 + e в степени t.
И, соответственно, мы установили такой факт, что для логистического
распределения, функция распределения в большой F(t) имеет вот такой простой вид.
График ее, естественно,
является возрастающим графиком от 0 до 1,
то есть это вот какая-то вот такая функция.
Но в отличии от нормальной, для графика,
соответствующего для нормальной случайной величины, здесь явный простой вид.
И, соответственно, мы можем применить это к нашей логит-модели.
В логит-модели вероятность того, что y_i = 1,
это есть значение функции распределения в точке (β₁ + β₂ помножить на x_i).
То есть, согласно нашей формуле,
это есть e в степени β₁ + β₂ x_i,
делить на 1 + e в степени β₁ + β₂ x_i.
И также очень компактную формулу имеет так называемое
логарифмическое отношение шансов.
То есть, если я возьму логарифм отношения вероятности того,
что y = 1 к вероятности того, что y = 0,
ну если я временно величину β₁ +
β₂x_i обозначу за t,
то у меня получится, что это есть
e в степени t делить, логарифм,
e в степени t делить на 1 + e в степени t,
а в знаменателе надо посчитать вероятность того, что y_i = 0.
Но если вероятность того, что y_i = 1 считается по такой формуле,
то поскольку вероятность того, что y_i = 1 и вероятность того, что y_i = 0,
дают в сумме 1, то соответственно, вероятность того,
что y_i = 0, должна = 1 делить на 1 + e в степени t.
И в нашем случае это выйдет: 1 делить на 1+ e в степени t.
1+ e в степени t благополучно сократится,
логарифм от экспоненты — благополучно останется только t.
И останется β₁ + β₂ x_i.
И соответственно, мы получили для логит-модели
интерпретацию величины β₁ + β₂ x_i.
Оказывается, это логарифм отношения шансов того,
что y окажется равным 1, деленное на вероятность того, что y_i равно 0.
Таким образом мы получили, что в логистической модели вероятность того,
что y_i равно 1, определяется как 1 деленное на 1 + экспонента в
точке −β₁ + β₂ x_i, а очень красиво выглядит логарифмическое отношение шансов.
То есть логарифм отношения вероятности того, что y_i = 1 к вероятности того,
что y_i = 0, принимает красивый вид β₁ + β₂ x_i.
Это, к сожалению или к счастью, верно только для логит-модели, для пробит-модели
интегралы в явном виде не берутся и таких наглядных формул не существует.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
