Для того чтобы лучше понять концепцию условного математического ожидания, разберём простой пример. Давайте ещё раз подчеркнём, что s и r — это у нас случайные величины. Мы разберём для начала скалярный пример. Соответственно, математическое ожидание от s — это константа, математическое ожидание от r — это константа, а математическое ожидание от s при условии r — это случайная величина. Ну и давайте посчитаем её на простом примере. Но прежде всего надо понимать, к какой категории относится объект, который мы считаем. s и r — это случайные величины, E(s|r) — это тоже случайная величина. Поехали. Зададим совместное распределение пары s и r. К примеру, r принимает значения 1 и 2, а s принимает значения 0 и 10. Всего возможно четыре варианта, и вероятности каждого из четырёх вариантов занесены в табличку: 0,25, 0,25, 0,2 и 0,3. Естественно, сумма всех вероятностей равна единице: 0,25, 0,25, 0,2, 0,3. Соответственно, происходит один из четырёх исходов, и мы в каждом их четырёх исходов знаем значение s и r. И нам нужно найти E(s|r). Ну и давайте также найдём, чтобы поупражняться, E от s-квадрат при известном r. У нас есть определение условного математического ожидания, но оно, к сожалению, неоперационное, им неудобно работать, чтобы находить в каждом конкретном случае условное математическое ожидание. Поэтому мы воспользуемся сформулированным результатом, что E от s при условии r — это такая случайная величина, которая принимает значение E от s при условии, что r = 1, если r = 1, и E от s при условии r = 2, если r = 2. Ну были бы другие значения у r, у нас был бы здесь продолжен список потенциальных значений случайной величины E(s|r). Сначала мы перезапишем нашу пару случайных величин в таблицу другого вида. Мы в строчку расположим все возможные исходы и их вероятности. Значит, у нас случайная величина s принимает значения... Какие у нас возможны сочетания? s может быть равняться 0, а r может равняться 1, s может равняться 0, а r может равняться 2, s может равняться 10, а r может равняться 1 и s может равняться 10, а r может равняться 2. И вероятности каждого из этих четырёх исходов: 0, 1 происходит с вероятностью 0,25; 0, 2 происходит с вероятностью 0,2; 10, 1 происходит с вероятностью 0,25; и 10, 2 происходит с вероятностью 0,3. Вот мы записали это в такую табличку. Давайте сначала первым шагом, соответственно, посчитаем E от s при условии, что r равно единичке. То есть что происходит? Мы знаем, что r оказалось равно единичке. Но если мы знаем, что r равно единичке, то у нас появляются так называемые условные вероятности. Вот это — это безусловные вероятности, до наличия какой-либо информации о результатах эксперимента. А если я знаю, что выпал случай r, равной единице, то вероятности каждого из этих четырёх исходов меняются. То есть у меня появятся условные вероятности, вероятности тех же самых четырёх исходов при условии, что r равно единичке. Но если r равно единичке, то, естественно, вероятность того, что r равно двум, равна нулю. Эти два варианта автоматом исключаются информацией о том, что r равно единичке. Ну а дальше нам надо расставить тут числа так, чтобы, конечно, сумма у них равнялась одному, — сумма вероятностей должна давать один, вот эта строчка с вероятностями и эта строчка с вероятностями, — а с другой стороны, пропорции старые должны сохраниться. Ну, соответственно, нам надо написать два числа, которые в сумме дают один, а пропорции такие же: 0,25, 0,25. Ну эти два числа, как можно догадаться, это 0,5 и 0,5. Ну более формально можно сказать, что я 0,25 делю на сумму этих чисел, на 0,25 + 0,25. Вот я получил условные вероятности. Ну и, соответственно, теперь я считаю обычно и условные матожидания. Вот это условное матожидание, где здесь находится событие, вот это будет константа, и она будет равна. Значение s, здесь значение s 0 *0,5, + 10 * 0,5 = 5. Отлично, почти половина работы сделана. И теперь находим E от s при условии, что r равно двум. Поступаем точно так же. Сюда в табличку записываем новые условные вероятности, вероятности при условии, что r = 2. Если мы знаем, что r = 2, то это означает, что исход r, равный единице, точно не произошёл, здесь вероятности должны равняться нулю. А дальше нам надо написать вероятности так, чтобы сумма равнялась единице, а пропорция сохранилась. Ну тут отношение два к трём, это числа 2/5 и 3/5, тогда в сумме будет один. Ну если формально считать, то как я вот здесь нахожу число? Это 0,2 делить на их сумму 0,2 + 0,3. Это, соответственно, 2/5. Значит, здесь получается 2/5, здесь получается 3/5. Соответственно, эти два числа в сумме дают один, однако сохраняют пропорцию меж тем, что могло произойти. И математическое ожидание от s стало быть равняется: 0 * 2/5 + 10 * 3/5 И, получается, равняется шести. И теперь мы можем записать наш итоговый результат. E от s при условии r равняется 5, если r равняется 1. И 6, если r равняется 2. Вот мы получили условное математическое ожидание. Это случайная величина. Почему? Потому что r случайна, соответственно, когда выпадает r и мы узнаём r, то мы можем посчитать E от s при условии r. И в зависимости от r оно примет своё значение. Ну вместо такой длинной записи списком значений «если», можно поступить несколько компактнее. Давайте заметим, что наша случайная величина r принимает всего два значения. И мы отложим здесь вот r, а здесь отложим E от s, по вертикали, при условии r. Значит, если r = 1, то 5, а если r = 2, то 6. И вместо вот этого длинного условия можно взять абсолютно любую функцию: линейную, нелинейную, которая бы проходила через эти точки. Ну самая простая функция, которая проходит через две точки, это, конечно же, линейная, хотя можно было бы взять какой-нибудь квадрат вот так провести. Но мы возьмём самую простую, линейную. Уравнение этой прямой, которая бы проходила через (1, 5) и (2, 6), наклон у неё должен быть единичный, за единичку, — она прошла по вертикали единичку, а в точке ноль она, соответственно, должна равняться четырём. Ну ещё единичку отступим, значит, еще единичку от пяти надо убрать. И получится, что эту пару точек можно записать ещё проще: E(s|r) = 4 коэффициент пересечения с вертикальной осью, + r. Соответственно, вот эта простая формула — она на самом деле подменяет собой вот это длинное условие. Ну, действительно, если r = 1, получится 5, если r = 2, получится 6. И вот в такой постановке совершенно уже понятно, что E(s|r) — это функция от r, да, давайте обратим внимание, это функция от r, и кроме того это действительно случайная величина. Точно таким же образом можно посчитать E от s-квадрат при условии r. Что поменяется в наших вычислениях, если мы попробуем посчитать математическое ожидание s-квадрат при известном r? Ну, собственно, надо добавить строчку с s-квадратом в табличку. Если s принимает значения 0, 0, 10, 10, то s-квадрат, естественно, принимает значения 0, 0, 100, 100. Условные вероятности никоим образом не поменяются. Поменяются только вот эти вот условные математические ожидания при конкретных значениях r. E от s-квадрат при условии r равно единичке будет в 10 раз больше. Тут будет 0, тут будет 100. Будет, стало быть, 50. E от s-квадрат при условии r равно двоечке тоже увеличится в 10 раз, будет 60. Ну и, соответственно, мы получим, что всё просто увеличилось в 10 раз. И в данном конкретном случае, это, конечно, не всегда так, но в данном конкретном случае E от s-квадрат при условии r — это не что иное, как 40 плюс 10 помножить на r. Это тоже случайная величина, которая зависит от r. И в качестве маленького наблюдения можно заметить такой любопытный факт. Если я посчитаю математическое ожидание от (4 + r), я получу 4 плюс математическое ожидание от r. Это будет 4 плюс... Математическое ожидание от r у нас выходит: 1 * 0,5, + 2 * 0,5, ну поскольку r равновероятно принимает значения 1 и 2. И, стало быть, это будет 4 + 1,5 это будет 5,5. А с другой стороны, если я возьму математическое ожидание от s, то математическое ожидание от s равняется... s принимает значение либо 0, либо 10. Ноль, вероятность нуля 0,45. Вероятность десятки 0,55. И получится тоже 5,5. Таким образом, мы на примере проиллюстрировали такое важное свойство условного математического ожидания, а именно: если s с тильдочкой — это условное математическое ожидание при известном r, ну в нашем случае s с тильдочкой мы нашли, что это просто 4 + r, — то оказывается, что математическое ожидание от s с тильдой равняется математическому ожиданию от s. И так будет всегда, это не просто случайное совпадение в данном примере.
