Для того чтобы лучше
понять концепцию условного математического ожидания, разберём простой пример.
Давайте ещё раз подчеркнём,
что s и r — это у нас случайные величины.
Мы разберём для начала скалярный пример.
Соответственно, математическое ожидание от s — это константа,
математическое ожидание от r — это константа,
а математическое ожидание от s при условии r — это случайная величина.
Ну и давайте посчитаем её на простом примере.
Но прежде всего надо понимать, к какой категории относится объект,
который мы считаем.
s и r — это случайные величины, E(s|r) — это тоже случайная величина.
Поехали.
Зададим совместное распределение пары s и r.
К примеру, r принимает значения 1 и 2, а s принимает значения 0 и 10.
Всего возможно четыре варианта, и вероятности каждого из четырёх
вариантов занесены в табличку: 0,25, 0,25, 0,2 и 0,3.
Естественно, сумма всех вероятностей равна единице: 0,25, 0,25, 0,2, 0,3.
Соответственно, происходит один из четырёх исходов,
и мы в каждом их четырёх исходов знаем значение s и r.
И нам нужно найти E(s|r).
Ну и давайте также найдём, чтобы поупражняться,
E от s-квадрат при известном r.
У нас есть определение условного математического ожидания,
но оно, к сожалению, неоперационное, им неудобно работать,
чтобы находить в каждом конкретном случае условное математическое ожидание.
Поэтому мы воспользуемся сформулированным результатом,
что E от s при условии r — это такая случайная величина, которая принимает
значение E от s при условии, что r = 1, если r = 1,
и E от s при условии r = 2, если r = 2.
Ну были бы другие значения у r, у нас был бы здесь
продолжен список потенциальных значений случайной величины E(s|r).
Сначала мы
перезапишем нашу пару случайных величин в таблицу другого вида.
Мы в строчку расположим все возможные исходы и их вероятности.
Значит, у нас случайная величина s принимает значения...
Какие у нас возможны сочетания?
s может быть равняться 0, а r может равняться 1,
s может равняться 0, а r может равняться 2, s может равняться 10,
а r может равняться 1 и s может равняться 10, а r может равняться 2.
И вероятности каждого из этих четырёх исходов: 0,
1 происходит с вероятностью 0,25; 0,
2 происходит с вероятностью 0,2; 10, 1 происходит с вероятностью 0,25; и 10,
2 происходит с вероятностью 0,3.
Вот мы записали это в такую табличку.
Давайте сначала первым шагом, соответственно,
посчитаем E от s при условии, что r равно единичке.
То есть что происходит?
Мы знаем, что r оказалось равно единичке.
Но если мы знаем, что r равно единичке,
то у нас появляются так называемые условные вероятности.
Вот это — это безусловные вероятности,
до наличия какой-либо информации о результатах эксперимента.
А если я знаю, что выпал случай r, равной единице,
то вероятности каждого из этих четырёх исходов меняются.
То есть у меня появятся условные вероятности,
вероятности тех же самых четырёх исходов при условии, что r равно единичке.
Но если r равно единичке, то, естественно, вероятность того, что r равно двум,
равна нулю.
Эти два варианта автоматом исключаются информацией о том, что r равно единичке.
Ну а дальше нам надо расставить тут числа так, чтобы, конечно,
сумма у них равнялась одному, — сумма вероятностей должна давать один,
вот эта строчка с вероятностями и эта строчка с вероятностями,
— а с другой стороны, пропорции старые должны сохраниться.
Ну, соответственно, нам надо написать два числа, которые в сумме дают один,
а пропорции такие же: 0,25, 0,25.
Ну эти два числа, как можно догадаться, это 0,5 и 0,5.
Ну более формально можно сказать, что я 0,25
делю на сумму этих чисел, на 0,25 + 0,25.
Вот я получил условные вероятности.
Ну и, соответственно, теперь я считаю обычно и условные матожидания.
Вот это условное матожидание, где здесь находится событие,
вот это будет константа, и она будет равна.
Значение s, здесь значение s 0 *0,5,
+ 10 * 0,5 = 5.
Отлично, почти половина работы сделана.
И теперь находим E от s при условии, что r равно двум.
Поступаем точно так же.
Сюда в табличку записываем новые условные вероятности,
вероятности при условии, что r = 2.
Если мы знаем, что r = 2, то это означает, что исход r,
равный единице, точно не произошёл, здесь вероятности должны равняться нулю.
А дальше нам надо написать вероятности так, чтобы сумма равнялась единице,
а пропорция сохранилась.
Ну тут отношение два к трём, это числа 2/5 и 3/5, тогда в сумме будет один.
Ну если формально считать, то как я вот здесь нахожу число?
Это 0,2 делить на их сумму 0,2 + 0,3.
Это, соответственно, 2/5.
Значит, здесь получается 2/5, здесь получается 3/5.
Соответственно, эти два числа в сумме дают один,
однако сохраняют пропорцию меж тем, что могло произойти.
И математическое ожидание от s стало быть
равняется: 0 * 2/5 +
10 * 3/5 И,
получается, равняется шести.
И теперь мы можем записать наш итоговый результат.
E от s при условии r равняется 5,
если r равняется 1.
И 6, если r равняется 2.
Вот мы получили условное математическое ожидание.
Это случайная величина.
Почему? Потому что r случайна, соответственно,
когда выпадает r и мы узнаём r, то мы можем посчитать E от s при условии r.
И в зависимости от r оно примет своё значение.
Ну вместо такой длинной записи списком значений «если»,
можно поступить несколько компактнее.
Давайте заметим, что наша случайная величина r принимает всего два значения.
И мы отложим здесь вот r, а здесь отложим E от s, по вертикали, при условии r.
Значит, если r = 1,
то 5, а если r = 2, то 6.
И вместо
вот этого длинного условия можно взять абсолютно любую функцию: линейную,
нелинейную, которая бы проходила через эти точки.
Ну самая простая функция, которая проходит через две точки, это, конечно же,
линейная, хотя можно было бы взять какой-нибудь квадрат вот так провести.
Но мы возьмём самую простую, линейную.
Уравнение этой прямой, которая бы проходила через (1, 5) и (2,
6), наклон у неё должен быть единичный, за единичку, — она прошла по
вертикали единичку, а в точке ноль она, соответственно, должна равняться четырём.
Ну ещё единичку отступим, значит, еще единичку от пяти надо убрать.
И получится, что эту пару точек можно записать
ещё проще: E(s|r) = 4
коэффициент пересечения с вертикальной осью, + r.
Соответственно, вот эта простая
формула — она на самом деле подменяет собой вот это длинное условие.
Ну, действительно, если r = 1, получится 5, если r = 2, получится 6.
И вот в такой постановке совершенно уже понятно,
что E(s|r) — это функция от r, да, давайте обратим внимание,
это функция от r, и кроме того это действительно случайная величина.
Точно таким же образом можно посчитать
E от s-квадрат при условии r.
Что поменяется в наших вычислениях,
если мы попробуем посчитать математическое ожидание s-квадрат при известном r?
Ну, собственно, надо добавить строчку с s-квадратом в табличку.
Если s принимает значения 0, 0, 10, 10, то s-квадрат,
естественно, принимает значения 0, 0, 100, 100.
Условные вероятности никоим образом не поменяются.
Поменяются только вот эти вот условные математические ожидания
при конкретных значениях r.
E от s-квадрат при условии r равно единичке будет в 10 раз больше.
Тут будет 0, тут будет 100.
Будет, стало быть, 50.
E от s-квадрат при условии r равно двоечке тоже увеличится в 10 раз, будет 60.
Ну и, соответственно, мы получим,
что всё просто увеличилось в 10 раз.
И в данном конкретном случае, это, конечно, не всегда так,
но в данном конкретном случае E от s-квадрат при условии r — это не что иное,
как 40 плюс 10 помножить на r.
Это тоже случайная величина, которая зависит от r.
И в качестве маленького наблюдения можно заметить такой любопытный факт.
Если я посчитаю математическое ожидание от (4 + r),
я получу 4 плюс математическое ожидание от r.
Это будет 4 плюс...
Математическое ожидание от r у нас выходит: 1
* 0,5,
+ 2 * 0,5,
ну поскольку r равновероятно принимает значения 1 и 2.
И, стало быть, это будет 4 + 1,5 это будет 5,5.
А с другой стороны,
если я возьму математическое ожидание от s,
то математическое ожидание от s равняется...
s принимает значение либо 0, либо 10.
Ноль, вероятность нуля 0,45.
Вероятность десятки 0,55.
И получится тоже 5,5.
Таким образом, мы на примере проиллюстрировали такое важное свойство
условного математического ожидания, а именно:
если s с тильдочкой — это условное математическое
ожидание при известном r, ну в нашем случае s с тильдочкой мы нашли,
что это просто 4 + r, — то оказывается, что математическое
ожидание от s с тильдой равняется математическому ожиданию от s.
И так будет всегда, это не просто случайное совпадение в данном примере.
