[MÚSICA] [MÚSICA] Nesta aula,
nós vamos mostrar vários exemplos de teste de
hipóteses individuais usando a estatística t, que derivamos na aula anterior.
Relembrando que precisamos derivar a distribuição de probabilidades no nosso
estimador para poder calcular a estatística t,
e essa estatística vai ter uma distribuição t de Student,
que é uma distribuição padronizada e tabelada vários livros de estatítica.
Vimos então que adicionando a hipótese sobre a distribuição dos
erros condicionais a x, nós conseguimos derivar a distribuição do nosso estimador.
A distribuição de probabilidades do nosso estimador beta chapéu j condicional a x
terá então uma distribuição normal com média beta j e variância sigma 2
dividido por R chapéu e j quadrado.
O primeiro teste que veremos é o teste que chamamos de bicaudal.
O nosso objetivo é testar determinado valor para o beta j,
que é o efeito de xj sobre y.
Essa hipótese, chamaremos de hipótese nula e identificamos por h com zerinho embaixo.
Assim, podemos testar que o nosso beta j seja igual a A, uma constante qualquer.
A hipótese ou hipótese alternativa, testa então que esse parâmetro
não tem esse valor específico, ou seja, que beta j é diferente de a.
Usando então o teorema da estatística t, que vimos na aula anterior,
podemos escrever a estatística do teste apenas substituindo o
beta j pelo valor do beta j sob h0, ou seja, a.
Assim, a nossa estatística, a qual chamaremos de tj será igual ao beta
chapéu j menos a dividido pelo erro padrão do nosso estimador.
Nós vamos rejeitar a hipótese nula quando a nossa estatística tj for,
módulo, maior do que o valor crítico desse teste.
Nessa tabela, nós temos vários valores para t,
que tem uma distribuição de t de Student, e diferentes graus de liberdade.
Se desejamos alfa, o nível de tolerância é igual a cinco por cento e temos 1000
observações, veja que o valor crítico do teste é igual a vírgula noventa e seis.
Ou seja, para uma variável que tem uma distribuição t de Student,
95 por cento da distribuição se concentra entre
menos vírgula noventa e seis e mais vírgula noventa e seis.
Isso significa que, valores da estatística maiores que
vírgula noventa e seis ou menores que menos vírgula noventa e seis representam,
conjuntamente, cinco por cento.
Como a distribuição t é uma distribuição simétrica,
nós podemos distribuir esses cinco por cento igualmente dos dois lados, ou seja,
dois e meio por cento são os valores da t maiores que vírgula noventa e seis
e dois e meio por cento são os valores da t menores que vírgula noventa e seis.
Ou seja, esses valores são possíveis, mas com uma chance muito baixa.
Veremos exemplo deste teste para a elasticidade e venda da carne usando
dados da pesquisa de orçamento familiares do IBGE de 2009, ou seja,
o logarítmo da quantidade consumida de carne função do logarítmo da
renda dos consumidores, nós obtemos o seguinte modelo.
Lembre-se que no modelo log log, o parâmetro que acompanha o
x é exatamente a elasticidade entre o consumo de carne e a renda.
Assim, a elasticidade renda estimada aqui é de zero vírgula dez.
A cada por cento a mais de renda,
aumenta-se o consumo de carne zero vírgula dez por cento.
Podemos, por exemplo, testar a hipótese de que a verdadeira elasticidade
renda seja zero contra a hipótese que ela seja diferente de zero.
A estatística t desse caso será, então,
0,1021 menos zero de beta j sobre h0,
dividido por 0,0584,
que é o erro padrão do nosso beta chapéu ou seja,
a estatística t é igual a vírgula setenta e cinco.
Nós temos, então, N 431 observações e dois parâmetros estimados,
ou seja, o número de graus de liberdade deste modelo é de 429.
Se desejamos erro de cinco por cento,
nós podemos usar aquele vírgula noventa e seis que vimos na tabela anterior.
O gráfico que mostramos agora compara o valor da estatística t que
encontramos de vírgula setenta e cinco com o valor de
vírgula noventa e seis e menos vírgula noventa e seis.
Como o valor de vírgula setenta e cinco é menor que vírgula noventa e seis,
nós temos que a estatística t está dentro da área de não
rejeição da hipótese nula, ou seja, não podemos dizer que
a elasticidade renda da carne para os brasileiros seja diferente de zero.
Poderíamos usar o mesmo modelo para testar se essa elasticidade renda é
igual a por exemplo.
Bens com elasticidades renda maior que são considerados bens de luxo,
ou seja, para cada por cento a mais de renda,
as pessoas consomem mais de por cento daquele produto.
A estatística t, então, para o teste de elasticidade renda
verdadeira ser igual a contra a hipótese que ela
seja diferente de será 0,1021
menos dividido por 0,0584,
o que gera o valor de menos 15,37.
Como temos o mesmo número de graus de liberdade nesse modelo,
nós vamos comparar novamente essa estatística t com os valores críticos
que vimos, a cinco por cento de erro.
Note que o menos 15,37 é muito
inferior ao menos vírgula noventa e seis, que é o valor crítico que consideramos,
ou seja, ele pertence a área de rejeição da hipótese nula.
A partir desse teste, então,
rejeitamos a hipótese nula de uma elasticidade renda igual a.
Usando o mesmo modelo, podemos também fazer teste monocaudal.
O que muda nesse teste é a forma que calculamos o valor crítico do teste.
Exemplo de teste monocaudal para o nosso modelo seria a hipótese nula de
elasticidade renda igual a zero contra uma hipótese alternativa de
elasticidade renda positiva.
O que desejamos responder com esse teste é: "Será que a renda não influencia
no consumo de carne ou será que ela, simplesmente,
influencia positivamente, sem valor específico?".
Note que a estatística t é a mesma estatística t do teste bicaudal para
elasticidade renda igual a zero.
No entanto, agora comparamos essa estatística t com
o valor crítico de vírgula sessenta e quatro cinco,
ou seja, usamos apenas lado da distribuição de probabilidade.
Só que agora compararemos a nossa estatística t com o
valor crítico de menos vírgula sessenta e quatro cinco.
Isso porque jogamos todo o nosso erro para apenas lado da distribuição.
Assim, comparamos com o valor crítico diferente de
vírgula sessenta e quatro cinco.
Note que nós acumulamos todo o nosso erro apenas de lado da distribuição.
A comparação com este valor crítico agora, nos diz que rejeitamos a hipótese nula
favor da hipótese alternativa de que essa elasticidade renda seja positiva.
Além de usar a estatística t para testar hipóteses sobre os nossos parâmetros,
nós podemos também usar a medida de p-valor.
O p-valor mede o menor nível de significância ao
qual a hipótese nula seria rejeitada.
Ou seja, definimos o p-valor da seguinte forma.
Ele vai ser igual a probabilidade do módulo de uma variável T,
que é uma variável aleatória qualquer com a distribuição t de Student,
ser maior que a estatística t que calculamos.
Assim, ao invés de compararmos com o valor crítico da distribuição t,
nós calculamos o valor de alfa linha usando a própria estatística do teste.
Se temos p-valores muito pequenos, nós temos muita evidência contra h0.
Veja que a comparação no gráfico.
Para p-valor muito pequenininho,
isso significa que a estatística t módulo é muito grande, ou seja,
a estatística t estaria na área de rejeição da hipótese nula.
Para p-valor muito grande, nós temos pouca evidência contra a hipótese nula.
Ou seja,
p-valor muito grande é obtido quando temos estatísticas t muito próximas a zero.
Nesse caso, estamos na região de aceitação da hipótese nula,
ou seja, temos pouca evidência contra ela.
Antes de prosseguirmos para a próxima aula, vale a pena discutirmos
pouco como o tamanho da amostra influencia no teste de hipótese.
Note que conforme N cresce, ou seja, o número de observações da
nossa amostra é muito grande, temos que a variância do nosso estimador diminui.
Nesses casos é aconselhável usarmos critério mais rigoroso para nível de erro,
ou seja, alfas menores, torno de por cento.
Outra discussão importante quando falamos de inferência é a diferença
entre a significância econômica e
a significância estatística de determinado parâmetro.
Podemos ter efeito que seja estatisticamente significante,
mas com baixa significância estatística.
Efeito estatísticamente significante é efeito diferente de zero,
ou seja, positivo ou negativo.
Geral, detectamos a significância estatística fazendo
teste bicaudal com hipótese nula de que aquele parâmetro seja zero.
A significância econômica diz respeito ao tamanho do efeito, ou seja,
o tamanho do estimador encontrado.
Ou seja, podemos ter uma elasticidade renda de carne pequena,
mas diferente de zero.
Podemos também ter estimadores bastante altos, mas que não são estatisticamente
significantes, ou seja, não são diferentes de zero, estatisticamente.
Não podemos dizer que aquele parâmetro seja diferente de zero,
pode ser que não haja efeito, mesmo com o estimador de alta magnitude.
É sempre importante considerarmos os resultados dos testes estatísticos
sobre os parâmetros para inferir o efeito de uma variável outra.
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