Теперь давайте решим задачу на импульсный переход.
Задача следующая: есть спутник,
который движется со скоростью v по круговой орбите радиуса R.
Спутнику сообщается импульс торможения,
в результате этого импульса скорость изменяется на величину Δv.
Необходимо найти параметр p,
эксцентриситет e для новой орбиты и угол φ между радиус-вектором в точке
приложения импульса и направлением на перигей для новой орбиты.
В начальный момент времени спутник движется по орбите радиуса R со
скоростью v.
Скорость направлена по касательной, и спутнику сообщается импульс торможения.
Импульс торможения также приложен по касательной,
и он уменьшает скорость на Δv.
В результате новая скорость все так же направлена по касательной в данной точке
траектории.
Но, что происходит с орбитой?
Суммарная энергия спутника уменьшается, поэтому большая полуось орбиты
уменьшается, и мы переходим на эллиптическую орбиту.
У этой эллиптической орбиты — как понять, где у нее перигей, а где апогей?
Так как энергия уменьшилась, то большая полуось стала меньше,
как мы сказали, и поэтому перигей находится на стороне,
противоположной от точки, где мы подавали импульс торможения.
Соответственно, перигей здесь, апогей здесь.
Давайте напомним, как выглядит траектория орбиты.
Расстояние от притягивающего центра до точки, где находится спутник,
вычисляется по формуле: p разделить на 1 + e cos φ.
На круговой орбите, что у нас известно?
Что расстояние всегда равно R, в числителе p для круговой орбиты, разделить на 1.
Так как эксцентриситет будет равен 0.
В результате получаем, что p для круговой орбиты — это просто радиус орбиты.
Теперь, для эллиптической орбиты: можно точно так же подставлять,
но мы знаем, что есть формула, которая позволяет нам вычислить p на орбите.
Вычисляется оно как k0 в квадрате,
где k — это момент импульса, разделить на массу спутника,
разделить на параметр α, который является константой для задачи.
Для эллиптической орбиты: k0 — это масса
в квадрате умножить на R в квадрате *
(V − ΔV) в квадрате (так как k0 — константа,
то мы вычислили его для точки приложения импульса) разделить на mα.
Если этой же самой формулой воспользоваться для круговой орбиты,
то p на круговой орбите, точно так же k0,
только уже для круговой орбиты, разделить на mα.
В этом случае k0 равняется m квадрат на R
квадрат на V в квадрате разделить на mα.
Теперь, для того чтобы избавиться от α и найти p на эллиптической орбите,
давайте поделим просто одно на другое.
Мы знаем, что p на круговой орбите равно R, если мы
поделим p на эллиптической орбите к p на круговой орбите,
то получим следующее: массы сократятся,
радиусы сократятся, останется (V − ΔV) в
квадрате разделить на V в квадрате.
Отсюда, параметр орбиты для новой орбиты эллиптической равен
R (V − ΔV) в квадрате разделить на V в квадрате.
Теперь нам необходимо найти эксцентриситет и угол на перигей.
Про угол на перигей мы уже поговорили.
Перигей орбиты находится с противоположной стороны от точки
приложения импульса, поэтому угол φ равен π.
Теперь давайте подставим это значение для угла φ в формулу для орбиты.
На эллиптической орбите, в тот момент,
когда угол φ равен π, расстояние от притягивающего центра до спутника равно R.
И с другой стороны,
это p на эллиптической орбите разделить на 1 − e.
Отсюда, e равняется
1 −
p на эллиптической орбите разделить на R.
Если мы подставим найденное выражение для p на эллиптической орбите, то получим,
что e равняется ΔV (2V)
минус ΔV разделить на V в квадрате.
Импульсные переходы часто используются для коррекции орбит.
Соответственно, если вам нужно, например, перейти с круговой орбиты одного радиуса
на круговую орбиту другого радиуса, то вы можете воспользоваться таким маневром,
используя промежуточную эллиптическую орбиту.
В таком случае, мы в перигее подадим еще один тормозящий
импульс и перейдем на круговую орбиту меньшего радиуса.
Такой переход при помощи промежуточной эллиптической
орбиты носит название гомановский переход, а эллипс, соответственно, эллипс Гомана.
И оказывается, что в классе двухимпульсных переходов для перехода между двумя
круговыми орбитами, такой переход является оптимальным с точки зрения затрат топлива.
В результате, что мы сделали в этой задаче?
Мы по заданному значению импульса торможения смогли определить параметры
новой орбиты.
Зачем нужна эта новая орбита?
Для того чтобы мы могли, например, перейти на новую круговую орбиту.
Соответственно, если нам известны параметры круговой орбиты,
на которую мы хотим попасть, мы можем соответствующим образом вычислить
импульс торможения новый ΔV2 и соответственным образом вычислить импульс
торможения ΔV для перехода на эллиптическую орбиту.
В результате, задача решена.
Спасибо за внимание!
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
