Теперь давайте проиллюстрируем теорему об изменении кинетического момента
в случае удара.
Задача такая.
Есть два шкива радиуса r1 и r2,
вращаются вокруг параллельных осей с угловыми скоростями ω1 и ω2.
При этом выполняется следующее соотношение: то есть линейная
скорость на первом шкиве больше, чем линейная скорость точек на втором шкиве.
И на шкивы намотана ненатянутая лента.
В начальный момент времени она показана пунктирной линией.
И в некоторый момент лента натягивается ― это сплошная линия,
вследствие чего происходит удар.
Требуется определить послеударные угловые скорости Ω1 и
Ω2 шкивов и величину I ― ударного импульса силы натяжения ленты.
При этом можно считать, что после удара лента остается натянутой.
Моменты инерции шкивов относительно их оси и вращения известны.
Давайте применим теорему об изменении кинетического момента.
Для этого давайте отобразим на рисунке направление ударных импульсов.
Ударный импульс на второй шкив I,
на первый шкив −I.
То есть ударные импульсы равны по модулю и противоположны по направлению.
Давайте выпишем теорему об изменении кинетического момента относительно оси
вращения для каждого из шкивов.
При этом обратите внимание на то,
что ударные импульсы реакции связей не будут производить момента на ось вращения,
поэтому их мы не учитываем, мы учитываем только ударные импульсы от ленты.
Получаем: момент инерции первого шкива умножить на послеударную угловую
скорость минус доударная угловая скорость — это изменение кинетического момента,
равняется −I * плечо, то есть на радиус шкива.
Аналогично для второго.
I2 * (Ω2 − ω2)
= I * r2.
Кроме того, давайте добавим условие, что лента остается натянутой.
Что это значит?
Что Ω1 * r1, то есть линейная скорость точек на ленте, касающихся первого шкива,
равно линейной скорости точек на ленте, касающихся второго шкива.
Мы получили три уравнения, из которых путем
алгебраических выкладок можем найти величину ударного импульса.
Ударный импульс будет равен: произведение моментов инерции относительно
осей умножить на (ω1 * r1 − ω2 * r2),
омеги маленькие, и разделить
на момент инерции относительно первой оси на (r2)²
плюс момент инерции относительно второй оси на (r1)².
Таким образом, мы нашли величину ударного импульса.
Теперь давайте еще обратим внимание на то, чему равно следующее соотношение.
Чему равняется Ω2 / r1, которое равно, в свою очередь, Ω1 / r2.
Опять же, аналогично проведя алгебраические выкладки, можно получить,
что эта величина равняется: I1 * r2 *
* ω1 + I2 * * r1 * ω2.
И знаменатель точно такой же, как и для ударного импульса.
То есть I1 * (r2)² + I2 * * (r1)².
Обратите внимание, что если шкивы изначально вращаются в противоположных
направлениях, то можно подобрать такие параметры для момента инерции
и радиуса диска и для начальных угловых скоростей, чтобы занулить числитель.
А это будет означать,
что при натягивании ленты у нас оба шкива одновременно останавливаются.
Что мы в результате получили?
Мы воспользовались теоремой об изменении кинетического момента в случае удара,
получили величину ударного импульса и нашли,
при каких условиях при натяжении ленты шкивы одновременно остановятся.
Спасибо за внимание, задача решена!
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
