В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Задача о равнодействующей
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Динамика
10 classificações
Na lição
Задача о движении точки в центральном поле. Элементы небесной механики
Conheça os instrutores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Решим следующую задачу.
Есть однородный стержень длины 2l,
который притягивается по закону всемирного тяготения к центру O.
Центр O находится на очень большом расстоянии OC от стержня,
а длина стержня много меньше, чем это расстояние.
Необходимо найти точку приложения равнодействующих сил гравитации.
Для этого давайте вычислим главный вектор гравитационных сил.
Напомню, что орбитальная система координат это следующее: z по локальной вертикали,
y по моменту импульса и x перпендикулярно так, чтобы составлять правую тройку.
В данном случае y направлен на нас, мы его рисовать не будем.
Давайте выпишем силу гравитационную,
действующую на элемент массы dm на стержень.
Сила гравитационная в этом случае равна
−γM * dm *
r вектор / длину r в кубе.
Вектор r — это радиус-вектор от точки O до элемента массы dm.
Его можно выписать, как R + ρ, где R — это вектор OC,
а ρ — это вектор по стержню от центра масс до элемента массы dm.
Теперь в этой системе координат вектор r выглядит,
как 0 0 R + xyz,
где xyz соответствует вектору ρ.
В этом случае r²
= R² +
2Rz + ρ².
И отсюда длина вектора r
= R√ (1 +
2z/R + (ρ / R)²).
Зачем мы это делали?
Давайте вспомним о том, что стержень находится на расстоянии много большем,
чем длина стержня, поэтому ρ / R — это малая величина.
Поэтому, если мы разложим ряд Тейлора,
1 / r в кубе, то получим, что от 1 / R в кубе *
(1 − 3z / R).
Сделано это все с точностью до o от r²…
В скобочках выражение разложено с точностью до o (ρ² / R²).
Дальше будем поддерживать такую же точность при всех приближениях.
Тогда главный вектор сил
гравитации — это сумма по всему
телу элементарных гравитационных сил.
Подставим вместо ρ… Вместо r R + ρ,
вместо R в кубе поставим полученное выражение и
получим следующее.
−γM / R в кубе dm
(R + ρ)
* (1 − 3z / R).
Если вы вычислите этот интеграл и
оставите точность o (ρ² / r²),
то получите, что этот интеграл приблизительно равен
−γM / R в кубе
* R и на массу тела.
То есть главный вектор сил гравитации такой же,
как если бы вы всю массу стержня сосредоточили бы в центре масс.
Теперь давайте найдем точку приложения для силы гравитации?
Для равнодействующей силы гравитации.
Почему в данном случае существует равнодействующая?
Все силы dF лежат в одной плоскости, соответственно,
все моменты перпендикулярны плоскости, в которой находится стержень и ось z к нему.
Соответственно, скалярное произведение момента на силу равно 0,
поэтому существует равнодействующая.
Давайте найдем… Чтобы найти, куда приложена равнодействующая,
давайте вычислим момент гравитационных сил.
Mc — это интеграл по всему телу,
вектор ρ умножить векторно на элемент силы,
действующей на тело в точке, отстоящей на расстоянии ρ от центра масс.
Мы уже получали, что df
— это −γM / r в кубе dm * r.
Соответственно, если вместо r
подставить R + ρ, то получится,
что от интеграла достаточно вычислить только −ρ векторно умножить на
γM / r в кубе * dm
* R.
Теперь опять же r в кубе… 1 / r в кубе — это
1 / R в кубе *
(1 − 3z / R).
И если мы подставим все эти выражения в выражение для момента относительно центра
масс, вычислим векторное произведение, проинтегрируем по длине тела.
При интегрировании давайте воспользуемся сферической системой координат и выпишем
координаты для стержня в следующем виде.
Координата x для элемента массы dm на расстоянии ρ — ξ
* sinψ * cosφ,
где ψ — это отклонение стержня от вертикали.
Координата y — это ξ * sinψ * sinφ.
И координата z — это ξ * cosψ,
где ξ — это элемент длины… Это расстояние до элемента длины по стержню.
То есть по сути это длина вектора ρ.
Если подставить посчитанное векторное произведение, то получим,
что проекция момента относительно центра масс на ось x равна
γM * m l²
/ R в кубе * sinψ cosψ sinφ.
Аналогичным образом, если вычислим для y,
получим, что это −γMml² / R в
кубе sinψ cosψ cosφ.
Тогда длина вектора момента сил,
посчитанного в центре масс,
равна γMml²
/ R в кубе * sinψ cosψ.
И теперь, чтобы найти
плечо для равнодействующей, что нам нужно сделать?
Нам нужно длину момента разделить на модуль силы.
Модуль силы равен
γM *
m / R².
После подстановки в выражение получим,
что h = l² /
R sinψ cosψ.
Но это мы нашли плечо.
То есть вот стержень, вот ось z,
угол между стержнем и осью z — ψ,
главный вектор в этой точке.
Плечо мы вычислили.
И тогда, если нам нужно найти расстояние по стержню от центра масс до точки
приложения равнодействующей нам, сталось h поделить на sinψ,
то есть на косинус вот этого угла.
В результате расстояние OA получается
равным (l² / R) * cosψ.
Что эта сила гравитационная делает?
Она стремится развернуть стержень вдоль по местной вертикали.
И этот принцип используется в системах гравитационной стабилизации для спутников.
Что мы сделали?
Мы вывели формулу для главного вектора гравитационных сил,
посчитали момент для случая, когда у нас тело обладает определенной формой,
а именно стержень, и нашли точку приложения равнодействующей.
Задача решена.
Спасибо за внимание.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2019 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
