На примере следующей задачи давайте познакомимся с регулярной прецессией.
Задача следующая.
Есть осесимметричный космический аппарат, моменты инерции известны,
вращается космический аппарат вокруг продольной оси с угловой скоростью ω.
Метеорит летит со скоростью v и врезается в спутник в точку D,
причем точка D на оси симметрии и находится на расстоянии d от центра
инерции спутника, то есть расстояние PD = d.
Необходимо описать дальнейшее движение системы «спутник + метеорит»,
считая, что масса метеорита пренебрежимо мала с массой спутника.
В этой системе, что у нас есть?
У нас внешние силы отсутствуют.
То есть момент внешних сил относительно центра инерции = 0.
Тело осесимметричное, а это означает, что у нас случай Эйлера плюс динамически
симметричное тело, а это означает, что у нас регулярная прецессия в случае Эйлера.
Давайте выпишем параметры этой регулярной прецессии.
Для начала давайте выпишем, чему будет равен момент импульса для системы,
подсчитанный для точки P.
Момент импульса будет складываться из момента импульса
спутника плюс момента импульса метеорита.
Чтобы выписать в системе координат какой-то, можно ввести ось z по оси
симметрии спутника, и оси ξ и η в плоскости,
перпендикулярной оси z, например, таким образом.
η против скорости метеорита, и ось ξ в этом случае на нас.
Тогда момент импульса спутника будет выписываться как 0,
0, Cω, и к нему добавится момент импульса от метеорита,
который будет равен mvd, 0, 0.
В сумме получим, что момент импульса
равен mvd, 0, Cω.
Метеорит когда врезается в спутник, он
влияет на моменты инерции спутника, причем только на A и B, C остается неизменным.
По условию сказано, что масса метеорита много меньше, чем масса спутника.
Если б мы не пренебрегали массой метеорита,
то что бы происходило в нашей задаче?
Центр масс бы сдвинулся, моменты инерции пришлось бы пересчитывать,
но так как по условию массой метеорита можно пренебречь, поэтому давайте считать,
что моменты инерции не изменятся и центр масс останется на месте,
пренебрежем этим смещением.
Далее, параметры регулярной прецессии, как их получить.
На лекции вам доказывали, что угловая скорость прецессии равна модуль
момента импульса разделить на момент инерции A,
в нашей задаче это будет √(C²ω²
+ m²v²d²) / A.
Косинус угла нутации равен:
cos Θ = Cr /
модуль момента импульса, в этой точке посчитанный.
Cr — это Cω / модуль, мы его уже выписывали,
это √C² ω² + m²v²d².
И осталось выписать угловую скорость собственного вращения.
φ с точкой = ((A
− C) / A) * r.
Вместо r подставляем ω
и остается ((A − C) / A) * ω.
Таким образом мы нашли параметр регулярной прецессии.
Прецессия будет происходить с угловой скоростью прецессии,
равной вот этой величине.
С угловой скоростью собственного вращения, равной вот этой величине,
и угол между осью прецессии и осью собственного вращения будет вычисляться
по формуле следующей и равен вот этой величине.
Давайте теперь нарисуем оси для ψ с точкой, φ с точкой, и угол между ними.
Что мы знаем?
Что момент импульса в случае движения по инерции — это постоянный в пространстве
вектор.
Это Kp.
Ось собственного вращения
вдоль оси спутника, φ с точкой.
Ось прецессии вдоль вектора Kp,
ψ с точкой, и угол между ними равен θ.
Теперь задача решена.
Спасибо за внимание.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
