Продолжим наши игры в динамически симметричное твердое тело.
Вообще говоря, уравнение Эйлера,
которое мы с вами писали в прошлый раз или несколько прошлых разов,
они достаточно хорошо упрощаются для динамически симметричного твердого тела.
Но сегодня мы напишем другие уравнение для динамически симметричного твердого тела,
которые еще лучше, чем динамические уравнения Эйлера.
Мы напишем уравнения в наблюдаемых переменных.
То есть когда мы имеем дело с уравнениями Эйлера, мы, как вы помните, привлекаем
к интерпретации движения геометрию — у нас была интерпретация Пуансо
или Мак- Кулага, которые помогали нам представить, что же происходит с телом.
А тут уравнения сразу должны быть выведены в наблюдаемых переменных,
то есть интерпретации не потребуется.
Ну давайте посмотрим, как это получается.
Итак, уравнение
для динамически
симметричного твердого
тела в наблюдаемых переменных,
переменных.
Пускай у нас есть неподвижный базис i1, i2, i3,
в нем рассматривается движение твердого тела с неподвижной точкой.
Пусть оно вот так схематично изображается.
С твердым телом связан базис e — e3,
e2, e1.
И мы говорим, что тело обладает динамической симметрией,
если два из трех его моментов инерции равны друг другу.
Это будут моменты инерции относительно осей e1 и e2.
Да, e1, e2,
e3 будут главными осями инерции для твердого тела в неподвижной точке.
Итак, вот есть динамическая симметрия.
И давайте смотреть, что мы можем с этим сделать.
Для начала у нас есть та же теорема об изменении момента количества
движения K с точкой относительно неподвижной точки — O мы ее
назовем — = момент внешних сил.
Дальше.
Давайте, чтобы не носить за собой этот индекс,
орт e3 переобозначим — будем просто его называть буквой e.
Итак, по обозначению орт e3 у нас переименован в e.
И поскольку это орт и модуль его не меняется, e с точкой
— это у нас ω * e векторно,
где ω — угловая скорость твердого тела, с которым мы занимаемся.
Идем дальше.
Вектор K — это у нас тензор,
построенный в неподвижной точке, * ω.
Тензор.
Мы сразу договорились, что у нас оси e — это главные оси инерции,
поэтому тензор диагонален.
То есть (A,
A и C, 0, 0) * ω.
По диагонали — A, A и C, все остальные элементы — нулевые.
Эту матрицу мы можем взять и представить в виде суммы двух матриц.
Одна матрица будет единичная матрица * коэффициент A,
ну или вот так ее можно написать: (A,
A, A, все нули) * ω +.
А вторая матрица, чтобы равенство сошлось
— это (0, 0, C,
−A) * ω.
Тогда я получаю A * ω в первом слагаемом,
и во втором слагаемом C − A — это будет третья компонента ω,
то есть вектор будет направлен вдоль e3 или вдоль e,
как мы договорились его называть.
+ (C − A) * r * e.
И тут я сейчас себе еще введу обозначения:
A * ω я оставил + C
я отсюда вынесу, получу (1 − A /
C) * Cre.
И вот это вот C * r — это проекция момента импульса на ось динамической симметрии,
на ось e3 — мы будем называть буквой H и говорить, что это собственный
кинетический момент тела, собственный
кинетический момент.
Так, ну и из последней формулы мы имеем полное
право выразить ω через все остальные буквы.
Получим мы тогда вот что.
Угловая скорость: на A я
разделю — это K / A.
И вот это слагаемое нужно перенести в другую сторону, налево.
Получу я здесь тогда: H у меня остается, e остается.
И в этой сумме, если я на A разделю,
будет 1 / A и 1 /
C, H и e.
Вот такая промежуточная формула.
То есть в случае динамической симметрии для твердого тела у нас угловая
скорость выражается через вектор момента импульса, ну и, собственно,
кинетический момент — тоже.
Это один интересный факт.
Вот этот интересный факт мы возьмем да и подставим в формулу,
в силу которой мы дифференцировали орт e.
e с точкой, ω * e — если я вместо ω подставлю вот это выражение, понятно,
e * e пропадает, и остается у меня e с точкой
= 1 /
A * кинетический момент * e.
И это уравнение я дополню тем,
что мне было известно про K с точкой,
K с точкой относительно неподвижного полюса — это момент,
момент внешних сил относительно неподвижной точки,
которая зависит, вообще говоря, от времени, от углов,
от угловых скоростей, которые у нас у тела есть.
Это уже вполне себе замкнутая хорошая система дифференциальных уравнений.
Вот это одна форма тех уравнений, о которых мы говорили,
и ее можно переписать в другом виде, что я сейчас сделаю.
Давайте для этого поступим вот как.
Во-первых, давайте продифференцируем первое из двух уравнений,
которое мы написали.
Мы получим e с двумя точками.
A сразу унесем налево,
к e с двумя точками, то есть A * e с двумя точками = K
с точкой * e
+ K * e с точкой.
Вместо K с точкой мы подставим момент внешних сил в силу второго уравнения.
Вместо e с точкой мы подставим снова первое уравнение.
И тогда мы получим: A * e с двумя точками
= момент внешних сил * e
+ 1 / A,
так, * K * — и теперь вместо e с
точкой — K * e.
И вот эту вот последнюю формулу,
двойное векторное произведение, раскроем как «бац» минус «цап».
Наверное, я это просто отдельно здесь подпишу.
Тут получается 1 / A, K,
B * (K, e) скалярное произведение
− e * K квадрат.
И где-то надо закрыть скобки.
Вот так вот.
Ну заметьте, K * e — это проекция момента импульса на ось динамической симметрии,
это то, что мы называем собственным кинетическим моментом.
А с e * K квадрат мы будем как-нибудь бороться.
Ну давайте, например, бороться так.
Давайте возьмем и умножим предыдущую формулу слева на e векторно.
Так, слева.
Слева умножаем на e, получаем: A e *
e с двумя точками =.
Здесь получается двойное векторное произведение,
которое придется опять раскрыть по «бац» минус «цап»,
получится момент в чистом виде −
e (M,
e) и +
e * вот это.
Это получается + 1
/ A *
векторно e * K и * H.
Давайте сразу напишу здесь H / A.
И здесь получается e * K.
e * K — это −e с точкой, точнее,
это − A * e с точкой.
Вот так вот.
И теперь все, кроме момента внешних сил, я уношу в левую сторону от знака равенства,
получаю: A * e * e с двумя точками
+ H
* e с точкой.
Давайте посмотрим сюда, что у нас тут получается.
Тут получается + во-первых,
e, и в скалярном произведении момент умножается на e.
А момент умножается на e — ну это фактически H с точкой.
Это производная и спроецированная на третью ось.
И все это равно M0.
Вот такое уравнение.
Или в проекциях на оси, связанные с телом,
в проекциях на оси, связанные с телом,
[ШУМ] мы
получим вот что.
Ну во-первых, мы получим,
что в проекциях на ось e вот только это останется — это слагаемое,
если мы будем проецировать это уравнение на ось e слева.
То есть мы получим H с точкой = проекция
момента * e3, давайте я так напишу.
И все остальное у нас спроецируется на плоскость, перпендикулярную e3.
То есть A * e * e
с двумя точками +
H * e с точкой
= проекция момента * e1 * e2.
Вот те уравнения, которые я хотел получить.
Это у нас уравнение для динамически симметричного тела в наблюдаемых
переменных.
Вот, смотрите, тут все переменные, которые есть — орт динамической оси,
собственный кинетический момент, — все они наблюдаемые, то
есть вот если мы их решим, мы получим вот описание движения тела в тех переменных,
которые можно легко видеть, как они у тела устроены и что с телом происходит.
Ну и давайте заодно посмотрим,
как эти уравнения у нас работают в случае Эйлера, про который мы уже все знаем.
Итак, случай Эйлера — динамически симметричное твердое тело.
[ШУМ]
[ШУМ] Тот самый случай,
для которого мы уже доказали, что будет регулярная прецессия.
Что у нас здесь?
Ну по-прежнему, момент равен 0,
по-прежнему вектор K — константа,
по-прежнему H — константа.
H — это у нас
K * cosθ,
то есть cosθ — константа.
Посмотрим на угловую скорость.
Угловая скорость состоит у нас из двух
слагаемых: K / A + (1 /
C − 1 / A) * H * e.
Вот, раз, слагаемое и, два, слагаемое.
Причем вот
это слагаемое по модулю постоянно и вот это слагаемое по модулю постоянно.
А это слагаемое еще и по направлению постоянно.
То есть получается что?
У угловой скорости есть некоторая составляющая вдоль
вектора K и плюс есть некоторая составляющая
K / A вдоль вектора e,
e * вот этот коэффициент постоянный.
И e с точкой — это у нас K / A * e.
То есть получается, что вот эта компонента угловой скорости,
будучи постоянной по модулю, описывает коническую поверхность вокруг вектора K.
То есть K / A — это у нас угловая скорость прецессии постоянная.
Вот это — это у нас угловая скорость собственного вращения постоянная.
Если поставить H C * r, то получится ровно то выражение,
которое мы получали для угловой скорости собственного вращения,
когда говорили про случай Эйлера для динамически симметричного твердого тела.
То есть, действительно, эти уравнения у нас дают ровно то же самое,
что мы в случае Эйлера уже видели.
Ну а теперь давайте посмотрим на то,
что происходит с динамически симметричными телами на практических занятиях.
