Следующая специальная задача динамики, которую мы должны рассмотреть — это задача удара. Смотрите, что происходит. Вот, допустим, есть у нас какой-нибудь мяч. Он летит себе под действием всяких, разных сил, силы тяжести например, и вдруг влетает в стенку, отскакивает от стенки и летит дальше. Как он летит до стенки, мы понимаем — это задача о движении, ну если оставаться в рамках модели твердого тела, задача о движении твердого тела. Как он летит, после того как отскочил от стенки, тоже понимаем, то же самое — задача о движении твердого тела. А его взаимодействие со стенкой нужно как-то описать по-другому. Вот для этого придумали некоторую специальную технику, которую мы сегодня посмотрим. Мы будем полагать, что вот пока мяч — если мы считаем его твердым телом, то есть остаемся в рамках модели твердого тела, — пока мяч взаимодействует со стенкой, некоторые его точки, те, которыми он соприкасается со стенкой, мгновенно меняют скорости, не изменяя своего положения. Вот ударом мы будем называть ровно такую ситуацию, когда некоторые точки системы мгновенно, под действием каких-то мгновенных сил, как мы будем говорить, не изменяя своего положения, скачком меняют свои скорости. Итак, теория удара. Ударом, еще раз, мы называем ситуацию, при которой некоторые точки системы мгновенно меняют свою скорость, не меняя своего положения. Что у нас при этом происходит? При этом, вероятно, действуют очень большие силы, по сравнению с которыми, всеми остальными силами, мы будем пренебрегать. То есть пока мяч соударяется, взаимодействует со стенкой, силы тяжести мы не рассматриваем. До удара он летит под действием силы тяжести, после — тоже, во время — мы смотрим только большую ударную силу, потому что мы считаем, что она существенно больше, чем все остальное. Дальше. Ну, наверное, мы должны написать — давайте сначала для точки посмотрим. Масса * вторая производная радиус-вектора по-прежнему равняется силе, второй закон Ньютона никто не отменял. И что мы тут понимаем? Мы говорим, что у нас есть такая вещь, как импульс силы. Импульсом силы F мы будем называть интеграл от, от t0 до t0 + τ какого-то Fdt. Ну стандартное обозначение для импульса силы. И теперь если мы попадаем в ситуацию удара, мы будем говорить, что мгновенной силой, или ударной силой, мгновенная сила — это вот что такое. Если у нас так получилось, что вот этот интеграл в пределе при τ, стремящемся к 0, интеграл от t0 до t0 + τ Fdt — если он не только не 0, а еще и равен чему-то хорошему и вполне себе конечному, ну скажем, I мы это назовем, — то такая сила, у которой не 0 такой предел, называется мгновенной, или ударной, а соответственно, I называется «ударный импульс». [ШУМ] Ну и под действием ударного импульса для точки мы будем говорить «изменение m на r с точкой = I». Вот сюда какую-нибудь звездочку поставлю, буду ссылаться. И давайте еще введем обозначение: скажем, все, что до удара будет у нас иметь индекс «−», ну скажем, скорость какой-то точки до удара. А все, что после удара — индекс «+», вот скорость какой-то точки после удара. И в основном мы тут будем говорить, если речь идет о кинематике, о скоростях, потому что положение не меняются точек, как мы договорились. Про ускорение если подумать, ну что? Сила у нас очень большая, раз такой предел ненулевой. Время очень маленькое, мы его стремим к 0. Понятно, что ускорение будет бесконечным. Бесконечное ускорение нам никак внятно не охарактеризует то, что в системе происходит, поэтому в основном мы будем говорить о скорости. Ну и уж раз говорить о скорости, то давайте сформулируем основные теоремы динамики для теории удара. Все тот же набор, но с некоторыми особенностями. Основные теоремы динамики удара. Ну первой пойдет, как обычно, теорема об изменении количества движения. Теорема об изменении количества движения. Тут мы произведение массы на скорость будем называть количеством движения все-таки, как полагается, не будем, как мы иногда допускаем, говорить «импульс» здесь, потому что под импульсом мы вот в этом контексте будем понимать ударный импульс I и ничего больше. Итак, теорема об изменении количества движения. Ну вот давайте смотреть, что у нас тут есть. dQ / dt — это у нас d / dt от Σmi, или лучше написать, лучше написать... Ну ладно, Vi я напишу. d / dt Σ mi * ri с точкой. И все это у нас должно равняться некоторой силе. Ну вот такая у нас была теорема исходная когда-то, что изменение количества движения обусловлено силой, причем внешней, которая действует на элементы системы. Ну вот сейчас мы это все возьмем, да проинтегрируем. Что мы тогда получим? Здесь интеграл, понятное дело, даст разность Q, интеграл будет определенный — от «до удара» до «после удара», то есть Q после удара − Q до удара — изменение количества движения во время удара. А вот здесь этот интеграл он, собственно, будет равен ровно ударному импульсу — I. Причем, как мы помним, в общей теореме, не ударной, здесь главный вектор внешних сил стоит — ровно по тем же причинам здесь будут внешние ударные импульсы. Итак, теорема об изменении количества движения. Количество движения системы материальных точек во время удара изменяется в силу того, что на элементы системы, то есть на точки, действуют внешние ударные импульсы. Точно так же запишется теорема об изменении момента количества движения, ну не точно так же — точно по тем же причинам ее формулировка мало отличается от той теоремы, к которой мы привыкли. Единственное, что слева стоит не производная, а разность того, что у нас до и после удара. Теорема об изменении момента количества движения. Я опущу здесь доказательства, если это можно назвать доказательством. Итак, момент количества движения системы материальных точек во время удара изменяется, потому что к элементам относительно любого подвижного полюса, заметьте — тут не будет слагаемого скоростного, к которому мы привыкли в стандартной теореме. Так вот, момент количества движения изменяется относительно любого подвижного полюса A, потому что справа стоит главный момент внешних ударных импульсов, действующих на элементы системы — rAi * внешние ударные импульсы. Ну вот тоже здесь i. Вот такая теорема, которую вы без труда сможете доказать, если возникнет такое желание. И наконец, теорема об изменении кинетической энергии. Теорема об изменении кинетической энергии. Давайте я напишу формулу. Кинетическая энергия за время удара меняется, потому что есть импульсы ударные внешние вот с таким вот коэффициентом. Так. Vi− / 2. И сюда еще надо сумму поставить. Так, ∑ + такое же слагаемое, но для внутренних ударных импульсов. I внутреннее (Vi+ + Vi−) / 2. Ну тут не так тривиально всё выглядит. Да, под суммой, естественно, стоит вся эта формула. Не так тривиально всё выглядит, поэтому можно попробовать набросать какое-нибудь доказательство. В силу той формулы, которую я в самом начале обозначил звездочкой, мы можем написать, что масса какой-то i-й точки * (Vi+ − Vi−) = сумме внешних и внутренних ударных импульсов. И теперь я могу вот это выражение взять и умножить на Vi+. Скалярно, справа. Ну почему нет? Причем вот здесь в правой части я так Vi+ и оставлю, а слева я захочу представить Vi+ в виде в каком-то вот в таком: 1/2 ((Vi+ + Vi−) так, + (Vi+ − Vi−)). Еще раз закрыл скобку. Ну понятно, что здесь внутри этой скобки всё сворачивается в 2 Vi+. И ничего тут интересного не происходит. Но если я вот ту вот скобку умножу на такое Vi+, то у меня будет 2 слагаемых. В одном слагаемом будет разность квадратов, а в другом — квадрат разности. Там, где будет разность квадратов и еще 1/2, появится ровно та левая часть, которая я хочу, чтобы появилась, — то есть разность кинетических энергий до и после удара. Ну а с квадратом разности эта формула будет жить еще какое-то время. Итак. Вот эта левая часть * Vi+, дает мне T+ − T− = − 1/2 mi (Vi+ − Vi−)² + внешний ударный импульс i-й * Vi+ + i-й внутренний ударный импульс * Vi+. Вот такая формула. И теперь я могу ту же самую первую формулу умножить на Vi−. Причем опять же таким же приемом арифметическим правую часть я умножаю ровно на то, что написал, на Vi со значком «минус», а левую часть... значит нужно сконструировать Vi− как-то так же. И будет она равна 1/2 (Vi+ + Vi−) − (Vi+ − Vi−). Если я подставлю вот такую Vi− в левую часть, сделаю те же преобразования, что первый раз, я получу формулу, которая сильно похожа на вот эту. И дальше я их сложу. Вот ту, которую уже написал, и ту, которая получится, если произвести умножение на Vi− исходной формулы. Вот эта сумма и даст мне ту теорему, которую я обозначил и которую тут хотел доказать. Таким образом, у нас есть все теоремы об изменении количества движения, момента количества движения кинетической энергии для ситуации удара, и я предлагаю посмотреть, как они в практических задачах используются.
