В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Эквивалентные системы сил. Понятие равнодействующей. Динамический винт
Loading...
Do curso por Moscow Institute of Physics and Technology
Динамика
9 classificações
Na lição
Основные теоремы динамики
Conheça os instrutores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
А теперь давайте немного отвлечемся от дифференциальных
уравнений для механических систем в сторону терминологии.
Нам нужно прояснить некоторые вопросы и поговорить о системах сил.
Давайте вот что сделаем: давайте рассмотрим какое-нибудь
твердое тело под действием множества сил,
вот они как-то на него действуют, их очень много,
приложены в самых неожиданных местах, и голова идет кругом от их количества.
Вот, есть твердое тело, на него действует система сил, как говорят.
И давайте вспомним,
что нам по поводу твердого тела могут сообщить основные теоремы динамики.
Итак, мы договорились, что количество движения меняется,
потому что есть внешние силы.
Их главный вектор определяет изменение количества движения.
Мы договорились, что момент количества движения меняется,
потому что есть главный момент внешних сил, приложенных к твердому телу.
И еще одно слагаемое тут есть, я его не пишу — сразу считаем,
что полюс мы выбрали как-то хорошо.
И кинетическая энергия — кинетическая энергия у нас меняется,
потому что совершают работу над этим телом силы,
сразу внешние и внутренние — я опять же тут не пишу два слагаемых.
И вот давайте вспомним, чему у нас была равна элементарная работа системы сил,
приложенных к твердому телу.
А вот чему: главный вектор системы
сил * скорость некоторого полюса,
в этом теле выбранного, * dt + главный момент
этой системы сил относительно того
же полюса * угловую скорость твердого тела и опять же * dt.
Таким образом, мы видим, что вся динамика тела в силу вот
этих самых теорем определяется двумя вещами:
главным вектором и главным моментом системы сил
относительно какого-то полюса, ну, O или A, как придется.
Вот эти две ключевые вещи все для динамики этого тела под действием системы
сил определяют.
И тогда давайте скажем,
что нам не нужна такая сложная система сил, где сил так много.
Мы хотим заменить эту систему на что-нибудь попроще.
Может быть, эта система заменится на какую-нибудь одну силу, или две, или три.
Чтобы не гадать, давайте дадим определение.
Будем считать две системы сил эквивалентными,
если у них одинаковый главный вектор, то есть их векторная сумма,
и одинаковый главный момент относительно какого-либо полюса.
Итак, по определению две системы сил,
две системы сил эквивалентны,
если у
них [ШУМ]
одинаковы главный вектор и главный момент относительно некоторого полюса.
Идем дальше.
Что мы знаем про главный момент системы сил?
Главный момент относительно некоторого полюса
A — это сумма по всем точкам
приложения сил, rAi * Fi.
Пишем точно такое же определение для полюса B:
сумма по всем
точкам rBi * Fi.
Вычитаем одно из другого, и, как мы это уже
делали с моментом количества движения, получаем формулу для переноса полюса.
Главный момент относительно полюса B — это главный момент относительно
полюса A + главный вектор * AB.
Что для нас в этой формуле важно?
То, что структурно это снова та же самая формула Эйлера,
которая была в кинематике для скоростей линейных и скорости угловой.
А значит, мы с ней можем провести те же самые манипуляции,
который проводили с формулой Эйлера, когда говорили о кинематическом винте.
Если помните, когда речь шла о кинематическом винте,
мы говорили, что вот поле скоростей — а в данном случае это будет
как будто поле моментов — описывается у нас тремя вещами.
Там это была угловая скорость, здесь будет главный вектор.
Мы скажем: чтобы знать главные моменты
некоторой системы сил, хорошо иметь главный вектор.
Дальше мы умножим эту формулу скалярно на главный вектор R, вот это слагаемое уйдет,
и получим, что MB *
R = MA * R.
То есть получим,
что такое скалярное произведение есть некоторый пространственный инвариант.
Какой бы полюс не взяли, должны получить одно и то же, а значит,
можно ввести по аналогии с кинематическим винтом вот такой инвариант,
скажем, MB * R / модуль главного вектора,
и это будет минимальный момент,
который только может быть относительно какого-то полюса у этой системы сил.
Опять же потому что если найдется какой-то полюс,
относительно которого момент меньше, то он не сможет дать такую проекцию,
которая должна быть равна для всех полюсов.
Итак, главный вектор, минимальный момент.
И ровно так же, как мы делали в кинематике,
если мы начнем искать геометрическое место точек, таких, что относительно
них момент равен = M минимальное, то эти точки будут лежать на прямой.
Ось минимальных моментов.
[ШУМ] То есть
существует такая прямая, относительно которой главный момент системы сил,
о которой мы говорим, он вот этому вот равен.
Это можно показать так же, как мы показывали,
что есть ось кинематического винта — можно написать конкретное уравнение.
Идем дальше.
Пускай у нас есть некоторая система сил.
Мы понимаем, что все для нее определяется вот этими двумя вещами: R — главный
вектор, и скалярное произведение MB
* R — практически минимальный момент.
Я не хочу здесь делить на R, потому что мне придется рассматривать тот случай,
когда R = 0.
А комбинации значений вот этих двух величин могут быть следующими.
Первый случай: R = 0,
и минимальный момент равен 0.
То есть у меня есть некоторая система сил,
я взял, сложил их себе векторно, получил 0.
Ну, тут раз вектор — 0, то и модуль — 0, поэтому я стрелочку не пишу.
Посчитал это скалярное произведение, получил и здесь 0.
Это значит, что — в литературе это называется «уравновешенная система сил».
Вот, такую систему сил, даже если там тысяча сил действует, можно заменить на,
ну, чтобы хоть что-то было, на две силы, которые действуют
вдоль одной прямой, равны друг друг по модулю и противоположны по направлению.
Тогда вот минимальный момент относительно этой прямой — 0,
естественно, и векторная сумма — тоже 0.
Это неинтересный случай.
Уравновешенные системы сил — там по основным теоремам динамики никакой
динамики не наблюдается, сплошные законы сохранения.
Второй случай: R = 0 по-прежнему,
минимальный момент 0 не равен.
Тогда, если у нас такая система сил, для которой мы это посчитали,
ее можно заменить на так называемую пару сил — это две силы,
которые действуют вдоль параллельных прямых,
векторная сумма — 0, но,
однако же, относительно оси перпендикулярной плоскости,
в которой эти параллельные прямые лежат, момент они создают.
И этот момент как раз равен минимальному моменту.
И опять же: сколько бы сил не было в системе, для которой мы посчитали
вот эти характеристики, все равно эта система эквивалентна всего лишь паре сил.
Третий случай: R ≠ 0,
M минимальное = 0.
Раз минимальный момент — 0, а векторная сумма — не 0,
то система эквивалентна одной силе, которая, как вектор,
равна главному вектору и действует вдоль оси минимальных моментов,
уравнение которой можно написать.
Вот в этом случае и только в этом случае говорят,
что система сводится к равнодействующей.
Равнодействующая.
То есть систему можно заменить на одну силу, и эта одна сила будет всей системе
эквивалентна в том смысле, в котором мы написали основные теоремы динамики.
Вот когда у вас в задачах просят найти равнодействующую какой-то системы сил,
имеет в виду, что именно этот случай реализуется.
Ну и самое сложное, что только может быть в какой-то
системе сил — это если R ≠
0 и M минимальное ≠ 0.
Ничего не равно 0.
В этом случае система сил может быть сведена к трем силам — это сила,
которая действует вдоль оси минимальных моментов и равна,
как вектор, главному вектору системы сил.
И в плоскости, которой эта R перпендикулярна, действует еще пара сил.
Итак, пара сил плюс вдоль оси минимальных моментов сила,
равная главному вектору — эта ситуация называется динамический винт,
ну чтобы полная аналогия была с винтом кинематическим.
Динамический винт.
И это самая сложная система,
на которую можно заменить любую другую, то есть сколько бы сил у нас не было,
в худшем случае мы можем заменить ее тремя силами.
Вот эта классификация, она не для классификации написана,
она действительно упрощает работу со сложными системами сил,
то есть понимание того, что любая система сводится к простейшей,
к одному из этих четырех случаев, иногда помогает решать задачи.
Ну а теперь мы перейдем к практическим примерам,
где поработаем и с равнодействующими, и, наверное, с другими случаями.
Explore nosso catálogo
Registre-se gratuitamente e obtenha recomendações, atualizações e ofertas personalizadas.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
