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接下来呢我们就进入这个抽象代数的具体的内容。
那么在介绍代数结构之前，那么我们肯定是希望介绍一下
里头最重要的一个概念，就是核心的概念，就是运算， 那么到底什么是运算，我们说这个运算呢是
这个S的n次幂，就是SxS，SxS 那么它到S的一个函数，那么这个
因为是n次幂，所以呢它会称之为一个n元运算。
那么我们经常的用这个*号来表示一个二元运算，
那么所以呢这样的一个函数，那么*（x，y）就比如说这是一个
二元运算嘛，那么*（x，y）呢就通常会，经常会记成x*y这样的形式。
那这样呢，就更像是一个算数的一种表达式，是吧。
那么我们经常的像用△这样子的来表示一元的运算，那么也就 说它是S到S的一个函数。
所以呢从这个角度上来说 运算是一个函数。
那么对于 运算来说，它具有函数的这些一般的这个性质。
那么首先呢它有普遍性，因为我们函数也有 作为一个特殊的关系，那么函数呢满足这个前域等于定义域，所以
作为运算呢，我们来针对这个运算上定义的集合而言，
也就是说它具有这个普遍性，也就是说在S集合上的所有的 元素都可以参加运算，不能够有例外。
所以呢写成这个谓词公式就是任意x，任意y
那么必然会存在一个z，使得x*y=z 所以呢这第一呢是普遍性。
第二呢是单值 性，单值性呢实际上也是从函数这个概念继承过来的。
也就是说相同的元素，它运算的结果也应该相同，而且呢要唯一。
所以呢就是这样一个式子，任意x，任意y，任意x'，任意y'
那么x=x'，y=y'的话，那么就是
x*y必须要等于x'*y' 这是运算的单值性。
那么第三，既然运算呢， 它是一种特殊的函数，是S
n次幂到S的一个函数的话 那么它就会满足封闭性，所谓的封闭性呢就是任何的元素参加运算，
它得到的这个运算结果也是S当中的元素。
所以呢就会有这样，任意x，任意y，必然存在一个z。
x*y=z呢，z肯定是 隶属于S的。
所以呢我们说运算具有普遍性、 有单值性、 和封闭性。
那么对于一个二元运算来说，它可能
会有一些性质，那么其中最重要的一些性质对于我们 非常看重的性质呢就包括第一，结合律。
那么如果说一个二元运算满足说，任意的x，y，z， 那么x，y，z都是属于S的，啊，任意的啊。
那么都会有x*（y*z），也就是说 y*z先做运算，得到的结果再跟x做这个*
那么它会等于x*y做的结果在*z
那么这个呢就是结合律，也就是它的前两个运算的结果跟第三个做运算和
后两个做运算的结果跟第一个再做运算，它是没有关系的，它是相等，就是任意的
这个x，y，z都应该相等。
第二呢是所谓的交换律，如果一个二元 运算它满足说任意x任意y，那么x*y都等于y*x的话
那么这种二元运算呢它就满足交换律。
那当然并不是所有的运算都满足交换律， 正如并不是所有的运算都满足结合律一样的。
那么第三个呢是所谓的分配律。
分配律呢实际上 是*运算，就两个二元运算之间的一种关系。
那么*运算和#运算，#号运算。
那么如果说*运算对#运算满足分配律，那么意思就是说是
x*（y#z），这是两个二元运算了，它应该会等于x*y 然后#（x*z）。
那么这个结合律、 交换律、 分配律，实际上我们 都不陌生，都不陌生。
我们看看几个这个运算的例子。
那么首先比如说加法乘法，我们说自然数集合上定义的加法乘法，那么这些呢都是
这个自然数集合上的二元运算，那么因为它满足普遍性，所有的自然数都可以相加。
那么它满足单值性，相加了以后，相同的自然数相加，那么它
这个得到的这个数也一定会相同，而且也是唯一的。
它也满足封闭性，也就是说加法、 乘 法那么自然数相加、
自然数相乘得到的结果也必然是自然数，所以呢它是二元运算。
那么也有一元运算啊，比如说求负，那么求负呢是
有理数集合上的一个一元运算，就是在数的前面加一个负号，这是一个，使得它
变成了它的相反数，这是一元运算。
但是呢并不是我们熟悉的这些计算的
运算都能够称作严格意义上的运算，比如说减法和除法，
那么它就不是自然数集合上的二元运算，为什么？ 比如说减法，它就不满足这个封闭性。
比如说2-1等于1，这个没问题，但是1-2呢？ 它得到-1，那-1呢就不是自然数集合里边
这个元素，所以呢减法除法它都不满足这个封闭性，所以呢 它不是自然数集合的二元运算。
那么其实除法 的问题最大，除法呢甚至不是有理数、
实数集合上的二元运算， 这主要是因为这个除以0是没有定义的。
所以呢除非说我们从这个有理数集合或者实数集合里头把0给它去掉， 就把0专门给它扣掉，那么剩下的这集合里边，
那么除法呢它就可以称为这个二元运算。
还有呢，加法和乘法它是满足结合律、 交换律的
但是呢减法它不会满足结合律，也不满足交换律。
那么乘法对于加法和减法它都满足分配率。
这些呢都是我们很熟悉的运算的例子，以及运算的性质的这些例子。
那么既然定义了运算之后，我们就可以来严密的定义这个代数结构了，什么是一个代数结构呢？
那么首先它要有一个包含一个非空集合大S， 那么这个S呢就称作为代数结构的载体。
那么S当中的这个对象，都是参与运算的对象。
那么在这个载体S上定义了若干个运算 可以是一元的，也可以是二元的，当然也可以更多元。
那么还有呢一组这个公理，这个公理呢用于 刻画这个载体上各个运算，运算性质的这些公理。
那当然你也可以对这个运算呢列出一个表来，
这就表明说这个运算的结果到底是什么样的，可以直接定义这些 运算或者描述这些运算的性质。
那么代数结构的例子就很多了，实际上我们在
前一个片子里头，实际上前一段视频就已经介绍了很多的这种 代数结构。
比如说，自然数和自然数上定义的加法，它就是一个代数结构。
那么也可以说所有的2*2的实数的矩阵M
的集合，矩阵的集合，然后再加上矩阵的乘法，它也构成了一个代数 结构。
那么在集合当中，集合的运算，我们可以说比如说A的幂集，
一个集合A，它的幂集，也就是所有的子集的集合
再加上这个并，交，补运算，那么它也是一个代数结构，它也满足这个普遍性，
单值性和封闭性。
那么还有呢A上的所有的 划分以及再加上积划分、
和划分的这个运算， 那么也构成一个代数结构。
然后呢A上的这个等价关系， 等价关系之间的交集运算它构成一个代数结构。
那么等价关系我们知道如果是做并集的话，它可能就会不满足封闭性，还好我们引入了一个传- 递闭包，
所以呢如果把并集和传递闭包这两个关系 这个运算合成在一起，成为一个一体的一个运算的话，
那么它也能够称作是等价关系上的一个运算了。
所以这样呢也能够构成一个 代数结构。
那么对于函数而言，比如说x集合上的所有的函数， 那么再加上那个函数合成的运算，它也能够构成一个代数结构。
那么像所有的这个双射函数，我们引入一个一元的 运算，比如说求幂，那么所有的双射函数它都有逆函数。
那逆函数呢再回来，它也可以求幂，那么这样呢，这样也构成立了一个代数 结构。
所以我们说代数结构在数学，在我们的离散数学当中，处处都存在
所以，以至于就是说我们需要去研究这个不同的这个具体的代数结构里头，它
这些运算具有什么样的一些共同的性质。
陈斌副教授
