[音乐] 嗨!欢迎回来,下面我们来看看一些特殊的函数
首先呢是叫作单射函数 单射函数是说如果有任意的x
不等于,x₁≠x₂,那么一定会有f(x₁)≠f(x₂) 那么这个呢,也称之为一对一的函数
也就是只要它的这个元不相同,那么像肯定也不相同
这种叫做单射函数,那么如果说f和g都是单射函数的话,那么它们的
合成,f合成g,这里要注意这个g°f实际上是一个f合成于g
f和g合成,因为它跟关系的合成 和记号正好相反,对吧,f和g的合成也是一个单射函数
那么也就是说我们这个可以用来这样的证明 x₁≠x₂,那么就意味着f(x₁)≠f(x₂)
那么它的合成呢,再跟g合成上,因为g也是一个单射
所以呢,f(x₁)≠f(x₂) 的话,那么g(f(x₁))也不会等于g(f(x₂))
所以呢,这个就证明了说f和g是单射 那么它的合成,f和g的合成也是单射函数
那反过来如果说,反过来说 如果f和g的合成是一个单射函数的话
那么它的这个合成的第一个,左边的这个,那个f就一定要是一个单射函数
那么这个可以用反证法来证明 也就是说如果假设f不是单射的话
那么它和任何一个函数g的合成 那么它肯定也不会是单射,也不会是单射,因为如果是说
x₁≠x₂,在f当中就映射到同一个这个
像点的话,那么经过了下一个函数 只要是,只要是同一个,经过下一个函数,无论是什么样的函数,它肯定也映射到
同一个像,下一个像,所以它也不会是
这个单射,所以呢,f和g的合成是单射,那么f一定是单射函数
第二种特殊的函数就是称之为满射函数 也就是说,满射是说如果任意的y都有
x使得这个y=f(x),也就是说这个f的这个值域是等于这个陪域
重叠的话,那么就叫做满射函数,也称之为映上的 也就是说在陪域当中也没有一个被落下
本来函数就是前域等于定义域,那么如果再加上 值域等于陪域,那么这就是满射函数
那么也可以证明f和g都是满射,那么它的合成呢,也是满射函数
那么反过来也是一样,如果f和g合成是满射
那么后边这个,合成的第二个函数g它一定要是满射函数
当然这也可以通过反证法来证明,这个很简单不管f是一个什么函数 只要它合成的第二个,这个g它不是满射的话
那么最终f和g的合成,它肯定也不会是满射 所以这个呢是满射函数的性质
如果f,一个函数f即是单射又是满射,那么我们就把这个函数称之为双射函数
双射函数就称之为一一对应 也就是说每一个x都有一个y跟它对应,每一个y
也会有一个x跟它对应,而且它们都不同
只要x不同,那么y也不同,那么反过来也是一样的,只要y不同x也是不同的
那么双射函数就有一个很好的性质 如果f和g都是双射函数,那么它的合成,也是,肯定是双射函数
那么如果f和g的合成是双射函数
那么至少肯定是f是一个单射,然后g呢是一个满射函数
那么这些 定理的证明都很容易由前面的,关于单射和关于满射的定理
它的证明来一起综合一下,就很容易能够得到双射函数的性质了
那么关于这些特殊函数类,实际上我们可以来做一个图来表示它们之间的关系
所有的x到y的函数,那么就是一个全集的话,就是y到x的证明这样一个全集的话
那么单射函数是有一些,满射函数是有另外一些 然后中间它们的交集就称之为双射函数
所以呢它们之间是这么一个关系 那么函数作为关系,关系是可以求逆的
但是呢,函数能不能求逆了以后,当然函数肯定也可以求逆
只不过说现在问题是说,函数的逆f~,这函数的逆它是不是一个函数呢
这个很难说了,首先如果f不是一个单射函数的话
那么f的逆,它逆过来就没有办法满足这个单值性 如果f不是一个满射函数的话
那么也就是说f的逆呢,它的值域不会等于这个y,也就是它不会是一个函数
所以呢,我们说f既要是单射又要是满射
也就是说只要双射函数它才存在逆函数,双射函数的逆仍然还是一个函数
那么我们就把双射函数的这个逆函数记做f¯¹这样的形式
那么它显然呢,它也是一个双射函数,那么我们同时把这个f就称之为是一个可逆的
逆函数呢有一些性质,比如说 求两次逆就等于它自己,这个跟关系的逆是一样的
还有呢f和它的逆合成了以后就等于x上的这个
恒等函数,因为f是x到y,f的逆是y到x,两个一合成还是x到x
它是一个x上的恒等函数
那么f的逆和f进行合成,那么它也等于恒等函数,但是它是y项的恒等函数
那么两个可逆函数f,g的合成 它跟这个合成和
逆之间的关系是这样的,f和g的合成求逆 它是等于g求逆再跟f的逆函数进行合成
那么对于非双射函数 也存在着,但是虽然它并不完美,不完美
但是也存在着类似于逆函数这样的一个对应的函数
比如说叫作左逆函数,左逆函数是说如果f和g的合成 等于x
上的恒等函数的话,那么就把g呢,就称之为f 的
左逆函数,那么f具有左逆函数当且仅当f是一个单射,首先它是一个单射
那么相应的也有右逆函数,右逆函数就是说如果g和f合成
等于y上的这个恒等函数的话,那么就把g就称之为f的右逆函数
那么f具有右逆函数就当且仅当f它本身是一个满射函数
只要满射函数完了以后,它最后才能够满足这个
前域等于定义域这样的一个性质 所以呢,f可逆呢当且仅当说f既有左逆函数
又有右逆函数,而且呢左逆函数和右逆函数是相等的情况下
f呢才是可逆的,然后这个时候呢就才能够称之为它是一个 它具有逆函数