［音乐］ Hi，欢迎回来，下面我们来看看
这个函数之间，如何去变换，一个，一些新函数 如何被产生出来，这就是函数的合成的运算。
那么假设呢，f是X到Y的函数
g是Y到Z的函数，那显然，因为关系的合成呢，就需要说
左边的陪域等于右边的前域，所以呢，它必须首先满足这样的一个性质 那么作为关系的合成，f和g的合成
它是一个X到Z的一个函数 而当然作为一个合成它肯定是没问题，只要是二元关系
它的这个，左边的陪域等于右边的前域的话，它总是能够合成的。
但是作为函数，它是一个特殊的关系， 那么它作为关系合成了之后，那么它仍然
会，会不会仍然是一个函数呢？
这个呢，就是我们需要证明的，但是这个并不是说它天然就能这样，而是需要去证明。
那么证明呢，我们就从函数的两个特性下手。
第一呢，是它的这个前域等于定义域。
也就是Dom的f和g的合成等于这个X，等于
这个前域，那么当然，这个 Dom，就是它的定义域，这个合成之后的这个定义域显然是这个
X的一个子集，这个显然是它的子集，那么我们只需要反过来证明
任意的X当中，任意的一个元素小x，它都属于它的定义域
如果能证明这一点，那么就证明就完成了，这个 第一个特性的证明，我们说任意一个小x属于大X
那么一定会有这个小y属于大Y，使得这个xy是属于 这个f的，因为f是一个函数嘛，所以必然会有这个。
那么对于这个y而言，它们也一定会有一个z属于大Z
使得yz属于g，因为g是一个函数，对吧？而这个y呢，
大Y是g的这个前域，也就是它的定义域嘛，所以呢肯定会有 这么一个z而存在。
因此呢，根据函数的合成， 那么肯定会有xz是属于f和g的合成的
那么所以呢，也就是说，任意的x都会有xz属于这个
f和g的合成，所以呢，x是属于这个f和g的这个定义域的。
所以，我们首先呢，就证明了f和g的合成它的定义域是等于前域x的。
接下来再证明，f和g合成的单值性
那么单值性呢，我们假设这个x，一个x会有两个z1、 z2跟它对应
xz1是属于f和g的合成，xz2也属于f和g的合成
如果我们最终能够证明z1等于z2的话，那么就证明了它的单值性。
那么既然x有z1z2使得后面这个 这个成立，那么也就是说，它会有y1y2
使得呢，xy1属于f 然后呢，y1z1属于g，因为它，f和g合成嘛
那么另外呢，同时当然也会有xy2属于f，y2z2属于g
那么因为呢，f是一个函数 有xy1属于f，xy2属于f
f是一个函数，所以呢，y1是等于y2的 那既然y1等于y2，那么我们就统称都叫作y吧
yz1的属于g，然后yz2也属于g，而g呢 是一个函数，所以呢，z1也跟z2是相等的。
那这样呢，我们就证明了f和g合成，它的单值性。
那么函数合成呢，因为函数，我们习惯上
会把这个fx，因为函数呢记为fx和gx
那么如果再写这个合成，f和g呢加上一圈 而这个合成呢，我们先是基于映射的吧。
那么，两个合成，那必然是说先 经过这个f的映射，然后再经过g的映射
所以呢，我们按照函数的习惯的记法，会记成gfx
那这个合成呢，就跟关系的合成，正好是顺序是颠倒的，所以呢 我们说函数的合成，也会按照关系合成的相反的次序来记成
g一圈f，那么但是呢，我们首先就一定要记住
说这个，这是f和g的合成，而不是反过来的，因为我们知道 这个合成，关系合成这个运算，它是不满足交换律的，对吧
那么对于合成运算来讲，它满足结合律，但是不满足交换律
那么我们，而且呢我们也可以把，f的n次跟自身的n次合成
也就是n次迭代记成，是一个幂函数， f的n次幂这样的一个性质。
那么当然 f和这个x上的相等关系
以及呢，y上的相等关系和f的合成都等于f。
那么，如果说f的两次幂、
2次幂，f2自身的合成等于f的话，那么我们这时候呢就把f称作为一种
等幂函数，当然等幂函数的第一个例子呢，就是Ea，或者叫 IA，就是恒等函数，它显然是一个等幂函数。
陈斌副教授
