[音乐] 嗨,欢迎回来
接下来呢,我们来讨论一种,另一些特殊的关系
这一类呢,特殊的关系叫作函数,而函数呢,我们已经非常熟悉了
它确实呢,是最重要的这个数学工具之一 那么我们从中学,甚至从小学开始
到大学,不同的这个阶段,当然学习到的函数的概念,显然是不一样的
那么我们最开始呢,可能会学到,所谓的自变量,因变量这样的函数
也就是说随着自变量的取值,然后变化的话,那么因变量的取值也会发生变化
那么这种函数呢,我们可能会,大部分会写成像y
等于x加5,这样的一种算术表达式的形式 那么,这个呢,就可以看出来,当x发生变化的时候
那么经过这个算术表达式的计算,那么y也相应的发生变化,那么这个呢,就称之为函数
那么后来呢,可能在高等数学里面,那么函数呢,又变成说一种映射
就是它是从定义域到值域的一种对应的关系 那么这种对应的关系呢,它未必能够写成算术表达式的形式,而是呢
可以写成更加普遍的一种形式,就是写成y等于fx
也就是说,y呢是x的一种对应 x,一个x对应一个y,一个x对应一个y
那么我们在集合论当中,所讨论的函数,是把这个函数呢,看作一种
特殊的关系,那么,把这个函数呢,归结为集合,归结为关系来进行研究
我们重点呢,还是介绍离散对象之间的一种函数关系
所以呢,这函数的定义是这样的,如果X到Y,一个集合X
到Y的一个二元关系,那么所以呢,它是一个 从X到Y的这么一个二元关系,f
它显然呢,是X和Y的笛卡尔积的一个子集
如果说,对于每一个小x,都有唯一的一个小y
使得呢,xy是属于f的,那么就称作为这个f是X到Y的一个函数
记成是,f:X→Y,这样的一个形式
那么这里头的核心呢,就是每一个x都有唯一的一个y跟它对应
那么,当X是一个x1到xn的一个笛卡尔积的时候
那么就把这个函数呢,就称作为是一个n元函数 它是一个n元组,到y的一个对应,到一个唯一的y的一个对应
那么所以呢,我们有时候呢,把函数也称作为映射,叫作mapping,或者叫作变换 transformation
那么所以,综合起来,函数它是一种特殊的一种关系
那么特殊呢,就在于两点,第一点呢是根据它的定义,因为每一个
x都有y跟它对应,所以呢,它的前域和定义域是重合的 也就是在前域当中没有任何一个元素落下
然后,所以,定义域呢,是等于前域 第二呢,是它的单值性,单值性又表现在于
如果有xy是属于f,然后xy'是属于f的话,那么就意味着y是等于y'的
那么这个呢,跟它的定义里头,每一个x都有唯一的一个y跟它对应
这是相符合的,所以,函数呢,特殊的关系,就表现为特殊在两个方面
第一个呢,它是不会遗漏任何一个前域的一个元素,就是前域等于定义域
第二个呢,是它的单值性,所以呢,我们将来要讨论一个关系是不是函数的时候
就用这两个性质去套它就可以了 那么因为函数的单值性
所以呢,我们可以把函数表示成y等于fx这样的形式,f呢
就是一个函数,那么我们会把x呢称之为自变量,y 呢,会称之为函数在x处的一个值
或者呢,会把y呢称之为x的像点,而把 x呢,称之为y的一个源点,那么源和像
就是基于映射的,那么如果不是函数,能不能用这种表示法呢
我们说不满足单值性的这种关系呢,都不合适这样的表示法 假设说xy1和xy2都是属于关系R
那么但是呢,y1不等于y2的话,那么如果我们也把y1 等于Rx这样的表示法,来表示y1的话
那么就会引起混淆,因为同样的,然后y2也等于Rx,虽然它右边都是Rx,可是左边
呢,却不一样,所以这样呢就无法区分,所以我们说,如果不满足单值性的这种关系
就不能够用y等于fx这样的形式来表述了 我们来看几个函数的例子
首先呢,任意集合A上的相等关系,它显然是一个函数 它满足前域等于定义域和单值性,这两个性质
那么把这种函数呢,称之为恒等函数,当然也表示为IA
那么所谓的恒等呢,就是identical,identical
自然数集合上的两倍关系,它也是一个函数,它是由自然数到自然数的一个函数
那么可以表示为y等于2x,这样的一个形式 而且正整数集合上的整除关系,那么它就不是函数
因为,2和4相对应,2整除4吧,但是2 同时呢也整除8,所以呢,2唯一的一个,有一个2,它
并不是有一个唯一的一个整数跟这个2来对应 这个整除关系,所以呢,它不满足单值性,所以它不是函数
当X不等于空集的时候,那么空关系就不是函数,因为它不满足
前域等于定义域的这种性质,但是呢,当X等于空集的时候,那么空关系呢,就是一个函数了
那么称之为空函数,自然数的加法NxN到N的一个函数
那么它显然呢是一个二元函数,我们可以写成y=x1+x2,这样的形式
那么它是一个二元的,是两个x对应一个y,这样的形式
那么函数的规定方法,那么它作为集合,它作为
关系,那么都可以用它们的相应的定义的方法
比如说像列表法,像图表法,那么图表法呢,可以用
在平面直角坐标系上的一个点的集合来表示函数
那么它也可以用解析法来表示,可以用算术表达式,或
者说其他的命名式来表达这个函数,比如y=sinx
这样的一个形式,当然函数呢,还可以用递归定义的方法来定义它
那么作为递归定义,那么跟归纳定义是有相似之处的
那么作为关系和集合呢,函数也可以用归纳定义的方法来 进行定义,比如说我们第一个呢,基础条款用来定义函数的一些初值
然后呢,在归纳条款里面,定义函数调用自身部分的这些定义 那么这个呢,已经,我们前面做过了一些介绍,关于递归函数
那么比如说字符串长度的这个函数,那么我们就可以定义为len
这个是函数啦,把空串的定义长度,定义为零
那么任意一个,这个非空串的这个字符串,它都可以定义成
len(A),然后定义成substrA逗号 2,也就是说从第二个开始的,截取了一个子串
就是把A的那个最左边,第一个字符给它拿掉,然后 剩下的更短的一个串的这个
字符串的长度再加上一,那么这就是一种 递归定义,或者说归纳定义的函数了
那么函数作为一个对象,它可以有相等或者包含
就是函数之间的一种关系,我们有一个函数f是A到B的,g呢是C到D的,这两个函数,如果
它们的前域和定义域都分别相等,A 等于C,然后呢陪域和值域B等于D,这两个
分别都相等,而且呢,对于每一个x属于A 都会有f(x)=g(x)的话,那么我们就把这个
fg呢称之为相等,f等于g,记作这样 那么如果说A是C的子集,A包含于C
而B=D,并且呢对于每一个x属于A,都会有fx=gx的话
那么就把它称之为函数f包含于g,记作呢,f
包含于g,用子集的这个记号来进行记录
那么在有限集合上呢,这个函数
它们其实个数呢是有限的,也就是说有限集合上 一个有限集到另一个有限集之间,所定义的这个
函数,它的不同的函数的个数是有限的,有这么一个定理 如果X的基数是m,然后Y的基数是n
那么,在X到Y的这么一个函数,它的基数呢,是n的m次幂
也就是说X到Y的函数是有限的,它的个数呢,是
n的m次幂,这么多个,那么实际上从组合数学的角度就可以
用来证明这个定理,也就是它相当于,从这个Y,就是n个元素当中
取m个允许重复的这么一个排列 因为它是每一个X
都有一个唯一的Y跟它对应,所以是从
n个元素当中,取m个允许重复的这么一个排列,每一个排列呢就构成一个函数
那么,这样呢,在组合数学里头,这样的一个取的方法,那么不同的这种排列
就会有n的m次幂这么多个,所以我们说X 到Y的函数的个数是有限的,是n的m次幂
我们把从X到Y的全体的函数的 集合,把这个所有函数都放在一起,成为一个集合
那么它的表示法,可以表示成Y的x次幂 这样的一个方法,这样呢,如果讨论它的基数的时候
正好也对应n的m次幂,这么一个基数 那么我们刚才呢,把X
当中的元素称为原点,把Y当中它的对应的这个Y呢,称之为象点
那如果我们来考虑,在定义域当中的一个子集的话,那么把这个子集
映射到这个Y当中,映射到值域当中,它也肯定会是一个Y的一个子集
那么这样的一个映射,我们就叫作子集的映象 它就不再是点了,它是一个象
这个准确的定义是这样,f呢是X到Y的函数,然后,A呢是X的一个子集
我们把这个f'A称之为这个A这个子集的映象,它就定义为
y然后,存在x,x是属于A的,并且呢y等于f(x)
也就是说,从A当中作为原点出发,它的所有的象点都收集在一起 成为f'A。
那么所以呢,它是 定义域的子集到这个值域的子集的一个映射,所以呢,这个映象函数f'
它就是ρX,ρX就是X的幂集到Y 的幂集的一个函数,它的子集到子集的一个对应。
那么它有这样的一些性质,如果是空集,显然映射到空集,
如果是定义域,它就会被映射到值域, 对吧?那么如果是一个单元的集合f',然后
单个的x,它就映射为这个f(x)单个的集合。
那么另外呢,如果设 这个f是X到Y的函数,那么在X当中取出一个
子集A,然后X当中取出另一个子集B 我们来看看这个映象函数有什么样的特性。
我们首先呢,这两个子集,如果做并集的话,就两个
原,两个原做并集,然后呢再去对应出象,那么它是等于说,两个象
的并集,原的并集的象等于象的并集。
如果是交集呢,就不一样,那么两个原的交集的象,
它是两个象的交集的子集,它是子集。
那么如果是,讨论差集的话,那么也是子集的关系
就是两个集合,两个原的象,它们的差集 会是差集的象的子集。
那么这里头,这两个原因都是,因为存在于 这个x1不等于x2,也就说两个这个原,它 不相同
,但是呢,它会映射到同一个象里边去的话, 那么这个交集和差集呢,它就会缩小,会缩小,所以呢,如果说
x1不等于x2,但是呢,会有f(x1)等于f(x2)的这样的情况发生,
那么就会,它的这个交集的象或者说差集的象就会少一些。