［音乐］ 嗨，欢迎回来。
那么在谈过了这个关系的基本运算之后
我们来看看，有一些特殊性质的一些关系
我们把这些关系呢，提出来看看它们会有一些什么样的作用
那么，A上的一些特殊性质的二元关系
也就是说，它是有限集合A 自身，A自身，A到A的一些二元关系
那我们看看有哪些特殊的性质 首先第一个呢，是称之为自反关系
那么自反关系呢，它的定义是，任意的x 只要x属于A，就必然会有xRx
那么这种的关系，它在关系图上的这种反映呢，就是
每一个节点，因为我们这呢，是前域和陪域都相同的这种关系图
所以呢，它的每一个节点上都有到自身的一个圈，都有一个环 这样的一个关系图。
那么体现在关系矩阵上呢 就是它的对角线全都是一，对角线全是一
第二种呢，是称作为反自反
那么反自反，它的定义呢，是任意的x，x属于A，然后蕴含着
非xRx，非xRx 那正好呢，跟上面呢，它的定义呢，是相反的
那么这样呢，体现在关系图上，就是每一个节点都没有环
就是不可以有任何一个节点，它带有自身的环 而上面的这个自反呢，是每一个节点都要有
那么反自反关系体现在关系矩阵上 就是对角线正好相反，它是全是零，它是全是零
这样，第三个呢是对称关系 对称关系呢，它的定义为任意的x任意的y
xy呢都属于A，并且呢如果有 xRy的话，那么一定就会有yRx
那么在关系图上呢，就体现为 两个节点之间，它如果有边的话，那么就有
反向的边，就是说如果有去，一定也要有回 这就叫对称。
那么对称呢，在关系矩阵上 它就体现为，它是一个对称矩阵，对称矩阵
第四个呢，是反对称，反对称的意思是说，任意的x，任意的y
xy呢都属于A，那么如果有xRy，并且
有yRx的话，那么就意味着x等于y 那么这个是什么意思呢，就是说在关系图上来看
你这个两个节点之间，它只能有一条单向边，也就是说 如果有边，那么过去，就不能够有回来
就不能有回来，这就叫反对称，那么反对称呢体现在关系矩阵上是说，如果
在i不等于j的情况下，那么除掉对角线啊
那么Cij如果等于1，那么Cji，它的对称，它就必须要等于0
就不能够是两边都是1，不能两边都是1 最后一个特殊的性质呢
是称之为传递的关系，这一类关系呢，它所谓的传递性是指说
任意的xyz，这个xyz呢都来自于A
如果有xRy，又有yRz的话，就必定会有xRz
那么在关系图上就体现为 类似于像这个合成，那样的一个布局
如果有边v1到v2有边，v2到v3有边
那么一定会有v1到v3的边，那么 肯定也还可以再继续往前推
v1，v2，v3一直到vn减1，vn如果都有边的话，那么就必定会有v1到vn的边
这就称为传递性，那么传递性的例子，比如 说，A是1，2，3，三个元素组成的集合
那么R呢是A上的二元关系，那么这样的一个R
那么，1，1；1，3；2，2；3，3，那么这个呢，它就是自反的
因为它1，1；2，2；3，3，都有，所以呢它是一个自反关系 那像1，3；3，1
那么它就是一个反自反，因为它不包含有任何的1，1；2，2；3，3，但是呢，它
不是自反，它并不是自反 那么如果是1，1，只包含有这一个二元组的话
那么它就既不是自反，因为它还不够，因为没有它并没有包含2，2；3，3，所以它不是自反
那么它也不是反自反，因为它包含了一个1，1
对，所以这样的话呢，只包含有1，1的这样，它就既不是自反也不是反自反
还有一些别的例子，像特殊的这个空关系
一个有限集合A上的一个空关系 空关系呢，它就是反自反的，但是呢它不是自反的，因为空关系
对于有包含有，有限个元素的这个A来说
所有的自反的关系，它就必须要在每一个节点上
都有一个圈，但是呢，如果说A本身是一个空集的话，就
是说关系图上，空空如也，什么都没有，那么也就 无所谓什么有到自身的环，那么这样呢，A上的空关系
那反倒，它也还是可以满足自反的这个性质，同时呢，当然它也是反自反的
那为什么呢，是因为按照定义，那个谓词前面有一个前件
那么只要是A等于空的话，那么x属于A，那么它都始终是为假
因为没有任何一个x，使得这个x属于A成立，对吧 那么A，这样的R，1，3；3，1
1，2；1，1，这四个元素构成的 那么它不是对称的，因为它有1，2，但是没有2，1，所以它不是对称
那么也不是反对称，因为它有1，3，同时又有3，1了，所以它也不满足
反对称的这个性质，那么这个1，2；2，1，那么它显然它就是一个对称的
1，2；3，1，那么显然它是一个反对称的
那么A上的这个相等关系EA 相等关系我们知道，如果按照关系图来说，那么
就是每一个这个节点上都有到自己的一个环 那么按照关系矩阵来说呢，那么它就是对角线全是一，其他呢
都是零，那么这样的一个相等关系，二元关系，相等关系，那么
它就显然既是对称的，那么又是反对称，又是反对称
像这样，1，2；2，3
1，3；3，3，我们来看看，它是否满足传递性 那么我们看到它有1，2；有2，3
然后呢，因为1，2；2，3，然后它有一个桥了，过去了，所以它同时又有1，3
那么这个呢，就说明它是传递的，但是如果把这个1，3去掉的话
那么它这个传递性就被破坏了，所以它把1，3去掉就不传递
那么空关系，本身是传递的 而且呢，像1，2；1，3，这也是传递
因为它们使得这个传递定义的前件为假，传递的前件是说有xyz
有xRy，然后同时呢又有yRz 那么，在空关系里头，没有任何的二元组，所以它前件为假
那么像在1，2；1，3，这里头，它并没有，它并不存在这三个要素说有x
Ry，然后yRz，所以呢，它也使得前件为假，所以它 们也都满足这个传递这个性质
那么如果是对于一个非空集合A来说 那么空关系呢，它都是反自反、
对称、 反对称、 传递，那么唯独呢 不满足这个自反的性质，因为它是一个非空集合
但是全关系，它就满足自反、 对称和传递，它并不满足反自反和反对称
在相等关系而言呢，它就满足自反 对称、
反对称和传递 那么如果从数论上说，这个整数集合啊
整数集合上的一个整除关系，我们知道这是一个二元关系
那么整除关系呢，就是自反的，因为每一个数呢，都可以被自己所整除
那么它是反对称的，也就是说，一个数它能够整除一个数A吧
A能整除B，那么反过来是不存在的，不成立的，B就是不能够整除A，所以它是反对称的
那么，传递性呢，也是很显然 如果A能整除B，B能整除C，那么A肯定也能够整除C。
所以 整除这个关系来说，它是传递的
而像我们在几何学当中学到的，像图形的这个相似啊、 全等
比如说三角形的相似关系、 全等关系，那么它都满足自反、
对称和传递 因为我们知道两个三角形，只要是
三角形，它跟自身肯定都是相似的，也跟自身全等 那么对称的话，A和B相似，那B和A也相似
A和B全等，B和A也全等，那么传递而言，也是这样
A和B，三角形A和B相似，B和C相似，那么A和C也会相似，那么全等来说呢，就更- 不用说了
陈斌副教授
