[音乐] 好，欢迎回来。 接下来我们来介绍这个集合的一些基本的概念， 首先我们看什么是集合？那么集合的英文叫 set ， 它呢是作为整体识别的、 确定的相互区别的一些对象的总体。 所以呢 集合是一个总体，是一些对象的总体。 而这里头的几个关键的概念 一个呢是整体识别，所以呢它就不会再被分割。 然后呢，第二个呢是确定也就是说这些对象是 属于或者不属于整体，它是确定的而不是模糊的。 第三呢这些对象是相互区别的。 也就是说这些对象呢它们不会相同，而是呢总会有区别的地方，它能够 以某种形式把它区分开。 那么比如说集合的例子， 比如说北京大学的全体学生，那么就只有可以构成一个集合， 而组成的对象呢就是学生。 比如说全体自然数 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 等等等 一直到后边，那么这个组成的对象呢就是每一个自然数。 那么， 像北京大学的全体学生也可以作为集合的例子，它是组成对象是学生。 全体的自然数 0 ，1 ，2 那么它组成对象就是每一个自然数。 也可以呢是方程 x 平方减 2x 加 1 等于 0 的根， 那么它也可以组成一个集合。 那么这个呢组成的对象 就是 1 ，当然你说这是 1 而不是两个 1 ， 这不是说重根的两个 1 ，因为 1 和 1 之间它是不能区分开， 所以呢它的这个集合的组成对象就是只有一个 1。 还有呢像 x 平方加 x 加 1 等于 0 它的实数根， 那么如果讨论负数的话，那当然这个组成对象呢是两个不同的负数。 如果你讨论实数，那么这个呢就是一个没有任何组成对象的一个集合， 因为这个方程没有实数解， 那么所以呢这种没有任何组成对象的集合呢，我们后面还会看到它是一个特殊的这个集合。 我们把组成集合的对象就称之为成员（member）或者叫做元素。 那么元素呢实际上是可以任何的 可以是任何的具体或者抽象的这些事物，都可以是。 那么当然元素也可以是集合， 那么集合的记号呢用两个花括号给它括在一起，比如说， 一个几个 A ，它的包含的三个自然数 1 ，2 ，3 那么用花括号给它括起来。 或者呢一个集合 S ，它的包含了三个元素， 那么第一个呢是 1 ，第二个呢是 10 ，第三个呢 它是一个由 2 ，3 所构成的集合， 所以呢它有是三个成员，其中两个呢是自然数， 第三个它是一个集合，所以它这是一个混合式的这种集合。 也可以这个花括号里边什么都没有， 也可以定义出一个集合来。 那么这样的元素 和集合之间它存在着一种隶属的关系， 我们说如果对象 a 是集合 A 的成员 的话，那么我们就称之为 a 是属于 A 的。 那么有一个记号像一个 叉子一样的记号 ∈ 对吧？这个 a ∈ A。 那么如果 a 不是集合 A 的成员的时候呢，就称之为 a ∉ A。 那么记作于 a ∈ A 前面加一个否定的词"非"。 当然也可以发明一种新的符号，就是在这个 ∈ 符号上 加一个斜杠啊 ∉。 那么规定集合的方式呢大概来讲有三种， 列举法、 描述法和归纳法。 那么列举法呢是把所有的元素都进行列举， 比如说 1 ，2 ，3 把它列举出来用括号括起来， 比如说 a1 ，a2 一直到 an 那么它有一个下标的也可以把它括起来。 那么描述法呢是把这个集合当中的元素的特征 用一个谓词公式的形式把它描述出来， 那么一般的式子就是这样 A 等于 x | Px ，或者说 x ：P ( x ) ，那么这个就意味着说 的表示说 x ∈ A ，当且仅当 Px 成立的时候 Px 为真，这个时候呢这是符合描述法。 那么第三种呢是归纳法，归纳法呢我们后面 有一个章节专门来说明它。 那么实际上呢我们前面 已经用了归纳法做了一些定义，比如说定义了数理逻辑当中的命题公式啊， 定义了个体项啊这些都是用归纳法。 那个典型的那个三句话，第一句第二句第三句，三句话的那种定义 就称之为归纳定义。 那么 一些集合规定的例子，比如说｛0 ，1 ｝这样的集合 的我们用列举法来描述了，当然我们也可以用 描述法来同时来描述它，可以变成 x ，然后 x 等于 0 吸取上 x 等于 1 ，对吧？像这个自然数集合 你可以用列举法 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 … 那么也可以用描述法 x 然后 x 是自然数。 比如说 I ＋ ，比如说 1 ，2 ，3 … 这个正整数集合也可以用描述法来进行描述。 像这个 Nn 就是前 n 个自然数 0 一直到 n － 1 ， 那么可以用列举法，那么也可以用描述法来描述 x | 然后 x ∈ N ，这个 x 是自然数并且 x 大于等于 0 小于 n ，就是在 0 和 n 之间，但是并不包含 n 这样的一个描述。 那当然前 n 个自然数集合的集合 就是｛0 ｝然后的集合，｛0，1 ｝的集合，｛0 ，1 ，2 ｝的集合，｛0 ，1 ，2 ，3 ｝ 的集合，那么也可以用描述法描述成 x 等于 Nn ， 这个 n 呢是一个下角标，而且 n 呢 ∈ 正整数集合。 那这样呢就是前 n 个自然数集合的集合， 所有的前 n 个，前一个自然数，前两个自然数，前三个自然数 这个所有的集合所构成的集合，那么当然也可以简单的就写成 Nn ，然后 n 呢是一个正整数。 刚才我们称作在 一个特殊的集合就是花括号里边什么都没有了， 那么我们把这种没有任何元素的这种特殊的集合就称之为空集， 叫做空集。 空集呢有一个特殊的记号就是希腊字母 φ。 那么空集呢，它可以实际上也可以用描述法来定义， 我们只需要把这个谓词公式写成一个矛盾式，也就是一个永假式就可以了。 那么第二个概念呢叫称之为有限集。 那么我们把空集和只含有有限多个元素的集合，就称之为有限集。 那么否则呢就称之为无限集。 当然无限集，什么是无限集这要直接去定义还是 并不容易定义的。 第三个是基数的概念， 我们把有限集合当中成员的个数称之为集合的基数。 当然了只要是有限集合，那么它的这个成员的个数 它肯定是一个自然数对吧？空集成员个数是 0。 那么如果只包含有一个那么它的基数呢 就是 1 ，2 ，3 ，4 ，只要是有限集合那么它的基数呢肯定是一个自然数。 但是呢无线集合的基数那就复杂了，那么这个呢不在我们 这个课程的范围之内，大家如果有兴趣可以找参考书来看一看。 那么集合的基数它有一个记号，就在集合的两边画上 |。 就是 | A | 就叫做 A 的基数。 下面呢是集合论的三大基本的原理， 就是阐述了集合是一个什么样的一个概念，集合的性质是什么？ 那么这三个呢基本的原理称作 为外延公理、 概括公理和正规公理。 那么外延公理呢是表明说两个集合什么 时候才称作为是相等的，是相同的集合。 它是说两个集合 A 和 B 相等 当且仅当它们具有相同的元素，这个时候呢就称为相等。 我们实际上可以用一个谓词公式来记录它来表示它。 也就是说 A 等于 B 就是相等啊， A 等于 B 双向蕴含 任意的 x ，x ∈ A 双向蕴含 x ∈ B。 这个呢就是外延公理的具体的定义。 那当然，在这个定义下，我们就会发现像(0,1)构成的集合和(1,0)构成的集合 那么它是同一个集合，它们是相等的 那实际上都可以用同一个谓词来来描述它，就是x=0 v x=1。 那么，外延公理呢，就是说明了它定义的 所定义的集合相等，就说明了集合元素的一个无序性 它本身是没有排序的，所以呢你是(0,1)还是(1,0)是无关系的 以及呢集合表示形式的一个不唯一性 既然是无序，那当然就是不唯一，那不唯一的同时，你实际上还可以有 其他的这个谓词公式来确定它，只要它们 满足说具有相同的元素就可以了 那么第二个呢是称之为概括公理 概括公理就是说对于任何的个体域U 任何一个谓词公式P，都能够确定任何一个以该域中的对象作为元素的一个集合S 那么把它记为S={xIx∈U ∧P(x)}也就使得P为真，同时呢x也要乘这个U'iii' 这就是一个个体域。 这个概括公理呢就规定了集合成员的一个确定性，确定性 因为谓词公式它有真值的话，真值的它是确定，非真即假，有排中律 那么所以呢，在概括公理之下，我们也 可以给出空集的这个定义，也就是说我们只需要把P(x) 记为永假式，我们就可以得到一个空集 第三个是所谓的正规公理 正规公理是说并不存在一个集合A1,A2,A3，使得说 A1它 的成员是A2，A2的成员是A3，然后以至于无穷 那么直观来说呢就是这个集合是有限可分的 个体域的元素呢就是一个"基本粒子" 个体域当中的元素就不能够在是一个集合，那要不然就无从进 那么正规公理呢确立了这个元素和集合的一个不同层次性 也就是说集合呢不能够是自己的成员 那么也就排除了像A=，然后 {A}作为元素的集合这样的一个"病态"集合 而很多悖论呢都是从这个"病态"集合变出来的 那么康托尔的朴素集合论当中 实际上并没有考虑到个体域的概念 也就是我们刚才说的这个抽象原理，在概括公理当中的这个抽象原理 它呢定义了这个抽象原理是这样的：S={xIP(x)} 那么这个罗素悖论的描述，它实际上可以直接的写成一个谓词 谓词Q(x)，我们定义一个Q(x)定义为x不属于x 当然，这个当然很奇怪，本来呢属于 这个'iii'的这个概念，它的左边应该是一个元素，右边是一个集合 那么现在呢，他把x摆在了同一个位置上 它既摆在元素的层次上，又摆在了集合的层次上 那么就形成了这样的一个谓词 然后我们用这个谓词呢实际上可以定义一个集合B 既然是抽象原理嘛，我们可以定义一个B，B呢就是{xIQ(x} 那么接下来，定义了这一个谓词和相应的集合之后 如果我们来判断Q(B)的真值的话，那么就出现麻烦了 什么麻烦呢？那么Q(B)既然它是一个命题 那么它的真值非真即假，对吧？但是如果说，我们说Q(B)是真的话 那么也就意味着B这个B呢会属于这个集合 因为Q(x)为真，那么这个x呢就会属于这个集合，所以B就会属于B 但是按照Q(x)本身的定义 如果B属于B的话，那么就应该是Q(B)是为假，对吧 从Q(B)为真，推到了Q(B)为假，这就自相矛盾了 那么反过来又怎么样呢？如果Q(B)为假，那么按照 这个集合的定义，那么它就不属于这个集合 不属于集合就是B不属于B，但是B如果属于B你按照谓词的定义来 说，那应该是Q(B)为真，那这样呢就出现了很多的麻烦 所以呢这是悖论产生的这个根源。
