上一堂课我们引进了电场强度 和叠加原理,因此呢让大家学会
如何来知道已知电荷分布求电场 那么用的一个办法就是微元法
这个微元法在静电学里,就是在电学,电磁学里
是非常基本的一个方法,大家学过高等数学了,所以要 在学了高等数学的基础上把微元法吃透
我相信好多同学在力学里求转动惯量已经用过微元法 所以这套东西对你们来讲不陌生的,同样
高斯定理我们刚才说了它不能够 从高斯定理去反推出库仑定律,也就是说
知道了通量和圆的关系,不一定知道场强 但是有一点如果你的场是有对称性的
那么我们呢也可以利用它来在有些特殊的情况下求到一些场
求到一些场,那么在这里边我们可以看到除了它的高斯定理的理论地位以外
其实它也提供了求带电体周围的电场的方法 这个方法呢跟微元法是不同的
这个微元法呢它是要通过取微元积分
并边界条件来求出带电体在空间某一处的场
而这个Gauss定理应用呢它提供了一种特殊的方法,那么我们下面呢
就可以来介绍一下,来介绍一下,这个,这个方法的列举
我们书上的例子都是很简单的,这里边呢它主要提供了几种场
一个是球对称场,一个是轴对称电场
还有一个是无限大带电平面的电场,也就是面对称
你可以看到它提供的几种场都是有非常严格的对称性 非常严格的对称性。那么这些场
这三个场我们都有典型的例子,所以我们呢就来介绍一下在这三种
有很强对称性的场当中如何运用高斯定理去求出电场强度
那么首先我们看球对称电场 求均匀带电球壳内外的场强
均匀带电的球壳,这球壳就是一薄层 那么这个电荷带电怎么带的?它没告诉你
可能是个导体壳,也可能就是个介质壳。所以在第一章
里说真空中的电场其实是不告诉你这电荷如何来的
就告诉你一个电荷分布,那么周围什么东西也没有,其实就是说把电荷
的分布告诉你了,不考虑它和周围物质的相互作用,也就是可以把它
周围看成是真空的。那么这样的一个均匀 带电正的带正电的球壳内外的场强
假设球壳所带总电量是Q,半径是R 那么如果你要用那个微元法来做
该怎么做呢?内外场强
比如说这一点这一点,那么我们呢可能要给它分个
我会把这球壳切成一片一片的
那么每一片就是一个环了,再利用我们上次上课上堂课讲的环
那么到中心的距离对吧,那么求这一点的 求这一点的都可以,然后从积分从这积到这
对不对?那么你们可以去试试看,这个积分还蛮
就是蛮不好积的,就是说做起来挺啰嗦的 是一个比较复杂的微元法的求解
有的书上也讲过这个例子,就是说 求场强求电势都可以这么做,是微元法
但是我们说呢如何用高斯定理来做,那么就可以充分地利用它的对称性
为什么呢?首先它的电荷是球对称分布的,所谓对称性其实是由什么来决定的呢?
是由电荷分布来决定的,因为场是由电荷 分布提供的嘛,对吧?所以现在这电荷分布是球对称的
那么当然球对称的,那么过去我可以告诉你球对称的电荷
产生的场一定是球对称。那么赵凯华先生这个新概念
电磁学它提供了一种对称性分析的办法
那么他提供了这对称性分析的办法呢其实呢就是利用
对称分析来看 电荷分布是球对称的,场一定是球对称的。所以咱们学会这个办法也是
挺有好处的。啊我过去,以前我们不用这个办法呢就告诉你是对称的
那么现在用了这办法有好多同学学会了以后,有的很复杂问题,它利用这对称性
能分析地非常清楚,这是一种思维方式。首先 我们说我们要在球坐标下来分析这个对称性
那么如果说 这个在空间就是某一点的场p
那么我们说呢在球坐标下呢它应该有三个分量,一个是r
因为三个即使嘛,一个是r,一个是θ,一个是φ
应该如果是一般情况下,那么这三个分量都应该有
都应该有。那么现在呢问题就是说我的球壳
电荷是均匀分布在球面上,对吧?所以呢
按电荷分布来讲,我这电荷分布不会因为我这个球转动
而改变,是不是啊?所以我让任何一个 直径转动,电荷分布是不变的
那么应,应该说电荷分布不变,场应该不变,是吧? 那么因此我们就看假设这三个
分量都存在的话,我让某一个直径我旋转 那么Eθ和Eφ都会变
那么按照反正反,啊这个思路是这样,按照反正反
你球电荷分布是均匀的,球对称的,我按照轴转,电荷分布没有变
按对应的场应该不变,但是现在我有三个分量,我绕任何一个轴转动
有两个分量会转,会变,那么会变的场应该呢没有
是0,它是这样一种思维方式,这是反正反。假如有
转了的结果得到了不正确的结论,那么说明前提
是错误的,这是物理学里面经常会用到的反正反
这种思想方法是很有效的,所以我们就可以看到
这三个分量θ和φ只有是0才合理,否则就不合理
那么因此剩下的只有径向,那么也就是说这个 电荷分布决定了场是径向的
啊是径向的,那么只有径向分量不为0,而r相同的地方呢
Er相同,那就球对称分布。所以对于球对称
它是这么来操作,所以这种旋转叫做对称性操作
你比如说你在这个位置你给它转180度,到那边去了,所以它和φ的方向都变了
对吧?所以我们说就可以看到这两个量应该是没有的 所以是一个球对称分布。那么于是我们知道
球对称分布应该是在相同的r地方 Er相同,而且呢它的场强呢是沿着径向的
那么有了这个结论,我们再去讨论
它的这个根据场的对称性来做高斯面
因为我去算通量一定要先做一个高斯面
那么我强调一下这个高斯面是个什么东西呢?是一个几何面
大家特别要注意,它是一个几何面 是一个几何面
也就是说它是没有厚度的,这是几何上画一个面,球面
所以说我们根据对称性它是球对称的,那么我们会做一个跟对称性相符合的
高斯面。为什么要这么做?我们一会会说。然后来求出通过这个高斯面的通量
那么现在呢这样一个球壳,那么我呢 去在小r场点大于
球壳半径的位置上,我做一个球面,做一个球面
那么这个通量当然就是E.dS,对这个b后面的积分
等于什么呢?等于b后面所包围的变量
就是Q,总电量Q。除以epsilon 0。
对吧?这就是高斯定理。好。
那么我们呢可以看到,因为在这 它是求对称分布,所以在r这个地方场强一定是沿着镜像的。
所以E点dS。E点dS。
dS是什么啊?就是 闭合面上的面圆的法线方向,dS的方向。
这法线方向和E的方向是同方向是吧? 所以E点dS就是E乘dS对吧?
因为cosine theta是多少啊?是1。
因为我怕你们反应不过来,我这些 罗哩罗嗦都给你们说一说。
后面我就不再说了,对吧? 那么这样的话呢,这一积分 点乘就变成了这样的一个积分。
那么再考虑,由于它求对称,我们刚才说了, 距离r相同的地方E相同对吧?
所以我是在这高斯面上的场强r是一样的。
所以E呢,可以提到积分号外面来。
对吧?那么现在对这个球面去积分,它的面积是多少呢? 4 pi r平方,大家都会。
所以我说你们看到这种不用去求二重积分,对吧? 我们利用对称性很容易就算出来。
那么最终,它等于epsilon 0分之Q。
那么得到 外面r粗的场强是4 pi epsilon 0 r平方分之Q。
跟一点电荷的场是一样的。
这就告诉你 我求做高斯面,我为什么不做一个方的呢?
[声音] 我做一个方的高斯面。
这个通量,我照样满足这个关系是吧? 是不是啊?
我做球面的我得到 这一结论。我做方的高斯面能得到这一结论吗?能吗?
能得到通量和它的关系,能不能求出场强? 你看啊,在这个面上,
这个距离、这个距离、这个距离,都不一样对吧? 所以你能
直接,就说,他的法线方向, 和你的场强这是一致的。
这呢,是这样的。对这个面来讲,你这个场呢 是这样的。
面的法线方向是这样的,对不对?所以你去如果做一个方的, 就是,那个那个立方体的高斯面。
那么,肯定没有这一步。
而且呢,这上面各点 的场强是不一样的是吧? 所以也没有这一步。
因此我们应该认识到,利用高斯定理来求
场强,利用它的对称性。你的高斯面一定要符合 对称性。
如果不符合呢,你只能得到这个结果,也不是不可以。
但是你要想得到这个结果就不可能了。
所以这是对,做用高斯定理求场强,你必须 要分析它的对称性。
而且要按照对称性来取高斯面。
这是非常重要的一点。
那么再看,小于R 在,比如说这长点是在闭合面内,
那么因为它是一个均匀分布的球场, 前面都一样,里边包围的电量是0。
因此内部场强是0。
那么你把这种做的办法去跟它比较, 那个容易啊?当然这个容易。
对吧?这两步就出来了。
这个你积分,你得一个一个 环写出来,写了微元然后你还求算。
要在求坐标下去。
把这个结果写出来。
所以我们说呢,在有对称性的 情况下,用这个办法做呢,就相对的要容易的多。
内, 场强是0。球壳外与点电荷的场相同。
所以我们在这里画一个图。
是这样一个图。
这里边是0。这儿呢,衰竭。