Este curso apresenta os principais conceitos do controle de sistemas e mostra suas vantagens e importância para a sociedade moderna. Você vai entender o que é o controle de sistemas e como o controle com realimentação funciona, e passará a perceber a sua presença em diversas situações em seu dia-a-dia, na natureza, no corpo humano e em diversos dispositivos, desde os mais simples até os mais complexos. Você vai perceber a necessidade de modelos teóricos para a análise e o projeto do controle de sistemas e aprenderá como verificar se um sistema atende a determinados requisitos de desempenho. Você também aprenderá como projetar um controle simples de modo a obter o melhor desempenho possível de um sistema de controle. Este é apenas o primeiro passo em direção a um vasto campo do conhecimento e lhe dará a base e a segurança necessárias para avançar em seus estudos no maravilhoso mundo do controle de sistemas.
Restrições sobre parâmetros para a estabilidade
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle de Sistemas
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Na lição
Estabilidade e Erro em Regime
Estabilidade. Critério de Routh-Hurwitz. Vantagens da Realimentação. Erro em Regime.
Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
[MÚSICA] Após esse vídeo,
dada a função de transferência de sistema com ou mais parâmetros indeterminados,
você será capaz de determinar que condições o sistema será BIBO estável.
Como já vimos, a estabilidade de sistema é determinada pela parte real de seus polos,
que são as raízes do denominador da função de transferência.
Caso tenhamos o denominador de uma função de transferência,
podemos verificar a estabilidade usando o critério de Routh-Hurwitz.
Mas e se o denominador da função de transferência tiver algum parâmetro que
pode ser modificado?
Ganho, por exemplo?
Saber para que valores do parâmetro nosso sistema é estável é uma informação
muito útil.
Com isso podemos podemos projetar o nosso controlador de modo a ficar longe da
instabilidade e caso seja necessário testar o sistema real,
saberemos que valores evitar para não termos problemas.
Mas voltando ao assunto desse vídeo, podemos construir a tabela de
Routh como se o parâmetro variável fosse número real e impor condições
sobre os valores desse parâmetro para que o sistema seja estável,
como fizemos nos exemplos literais de segunda e terceira ordem.
Por exemplo, coeficientes 1, 6,
11 e 6 mais k, multiplicação cruzada das duas linhas anteriores dividida
pelo pivô e podemos copiar diretamente o último elemento da linha para a anterior.
Os elementos da primeira coluna são 1, 6,
60 k dividido por 6 e 6 mais k e para que o sistema seja estável
precisamos ter k menor que 60 e k maior que menos 6.
O que acontece quando k é igual a 60 e k é igual a menos 6?
Para k igual a 60 o polinômio fica s ao cubo
mais 6s ao quadrado mais 11s mais 60 e as raízes
são menos 6 e mais ou menos raiz de 11 vezes i.
Podemos verificar fazendo o produto quadrado do primeiro menos
o quadrado do segundo.
O quadrado da raiz quadrada é o próprio número e i ao quadrado é menos 1.
E fazendo o produto final,
chegamos ao nosso polinômio que tem par de polos complexos
conjugados sobre o eixo imaginário e o sistema portanto é instável.
Para k igual a menos 6, o polinômio fica s ao cubo mais 6s ao
quadrado mais 11s e podemos colocar s evidência e verificamos
facilmente que uma das raízes é zero e o sistema também é instável.
Se k for maior que 60 a primeira coluna da tabela de Routh tem duas
trocas de sinal e o polinômio tem duas raízes com parte real positiva.
Se k for menor do que menos 6 a tabela de Routh tem uma troca
de sinal e o polinômio tem uma raiz positiva.
No vídeo passado eu disse que uma das vantagens da realimentação é
poder estabilizar sistema instável malha aberta,
mas eu também disse que uma desvantagem é a possibilidade de instabilizar sistema
estável malha aberta e alguns casos ganho adequado pode estabilizar
sistema instável malha aberta e ganho inadequado pode voltar a instabilizá-lo.
Vamos ver esses três exemplos usando Routh-Hurwitz.
Por exemplo, vamos usar G de s igual a 1 sobre s ao quadrado mais 2s menos 3.
Os polos são 1 e menos 3 e o sistema é instável malha aberta.
E ganho malha aberta não modifica os polos, não alterando a estabilidade.
A função de transferência malha fechada será k
sobre s ao quadrado mais 2s menos 3 mais k.
Podemos usar a Fórmula de Bhaskara para escrever as raízes do denominador
função de k, mas é mais simples usarmos Routh-Hurwitz.
Construindo a tabela de Routh temos 1, 2 e menos
3 mais k e para que o sistema seja estável, precisamos ter k maior que 3.
Quando k for igual a 3,
temos polo na origem e para k menor que 3 temos polo positivo.
Este é então exemplo de sistema instável malha aberta que pode ser estabilizado
com controle proporcional malha fechada, desde que o ganho seja maior do que 3.
Para nosso segundo exemplo temos: G de s é igual a 10
sobre s ao cubo mais 8s ao quadrado mais 12s mais 10.
Malha fechada temos 10k sobre s ao
cubo mais 8s ao quadrado mais 12s mais 10 mais 10k.
Vamos verificar o denominador da função de transferência
malha aberta: s ao cubo mais 8 s ao quadrado mais 12s mais 10.
Construindo a tabela de Routh, verificamos que não há troca de sinal na
primeira coluna e o sistema é estável malha aberta.
Verificamos agora o denominador da função de transferência malha fechada:
s ao cubo mais 8s ao quadrado mais 12s mais 10 mais 10k.
Construindo a tabela de Routh,
verificamos que para k maior ou igual a 8,6 o sistema é instável.
Então este é exemplo de sistema estável malha aberta que
pode ficar instável malha fechada se usarmos ganho inadequado.
Nesse caso ganho maior ou igual a 8,6.
Para nosso terceiro exemplo temos: G de s igual a 10
sobre s ao cubo mais 11s ao quadrado mais 8s menos 20 e o denominador
malha fechada será s ao cubo mais 11s ao quadrado mais 8s menos 20 mais 10k.
Nem precisamos verificar o sistema malha aberta, a presença de sinal
negativo indica que há pelo menos uma raiz com parte real positiva.
Construímos a tabela de Routh para a malha fechada e verificamos que
o sistema será estável para k maior que 2 e k menos que 10,8.
Note que para k igual a 0 o sistema é instável e com k igual a 0 o denominador
do sistema malha fechada coincide com o denominador do sistema malha aberta.
Este é então exemplo de sistema instável malha aberta que pode
ficar estável malha fechada, mas apenas para uma determinada faixa de ganhos.
E se a função de transferência tiver mais de parâmetro variável?
Ganho e ajuste de mais algum componente do sistema,
resistor e circuito ou amortecedor de sistema mecânico por exemplo.
Construímos a tabela de Routh normalmente carregando as variáveis
literais e ao final impomos que todos os elementos da primeira coluna
tenham o mesmo sinal, isto é, sejam todos positivos ou todos negativos.
Por exemplo se a função de transferência do sistema malha fechada for
k sobre s ao quadrado menos s menos 2 mais k t s mais k,
construímos a tabela de Routh e verificamos que nesse caso
precisamos ter k t maior que 1 e k maior que 2, para que o sistema seja estável.
Seja agora T de s igual a as mais
b sobre s ao cubo mais 3s quadrado mais 2s menos 1 mais as mais b.
Construímos a tabela de Routh e verificamos que nesse caso
precisamos ter b maior que 1 e a maior que b menos 7 dividido por 3.
Ou seja, diferente do caso anterior,
a escolha de uma das variáveis afeta a escolha da outra.
Último exemplo: T de s é igual a k s mais a sobre s ao
cubo mais 3s ao quadrado mais 2s mais k s mais a.
Construímos a tabela de Routh e verificamos que nesse caso
precisamos ter ka maior que 0 e 3k menos ka maior que menos 6.
Novamente dos valores afeta o outro.
Se tivermos por exemplo a igual a 2,
precisamos ter k maior que 0 para garantir a estabilidade, mas se a for
igual a 4 precisaremos ter k entre 0 e 6.
Então não tem segredo nenhum para achar as condições de estabilidade.
No caso de uma única variável, montamos a tabela de Routh e impondo que todos os
elementos da primeira coluna tenham o mesmo sinal,
descobrimos para que valores da variável o sistema é estável.
Se tivermos mais de uma variável no denominador da função de transferência de
interesse, o procedimento é o mesmo.
Ao impormos que todos os elementos da primeira coluna tenham o mesmo sinal,
obteremos restrições sobre as variáveis isoladamente ou conjunto.
Convém notar que nem sempre é possível estabilizar o sistema.
Por exemplo, tente achar o valor de k que deixe o seguinte sistema estável:
T de s igual a k sobre s ao quadrado menos s menos 6 mais ks menos 1.
Muito bem.
Agora dada a função de transferência de
sistema com ou mais parâmetros indeterminados,
você já deve ser capaz de determinar que condições o sistema será estável.
[MÚSICA] [SOM]
[SOM]
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