[MÚSICA] Após esse vídeo, dada a função de transferência de sistema com ou mais parâmetros indeterminados, você será capaz de determinar que condições o sistema será BIBO estável. Como já vimos, a estabilidade de sistema é determinada pela parte real de seus polos, que são as raízes do denominador da função de transferência. Caso tenhamos o denominador de uma função de transferência, podemos verificar a estabilidade usando o critério de Routh-Hurwitz. Mas e se o denominador da função de transferência tiver algum parâmetro que pode ser modificado? Ganho, por exemplo? Saber para que valores do parâmetro nosso sistema é estável é uma informação muito útil. Com isso podemos podemos projetar o nosso controlador de modo a ficar longe da instabilidade e caso seja necessário testar o sistema real, saberemos que valores evitar para não termos problemas. Mas voltando ao assunto desse vídeo, podemos construir a tabela de Routh como se o parâmetro variável fosse número real e impor condições sobre os valores desse parâmetro para que o sistema seja estável, como fizemos nos exemplos literais de segunda e terceira ordem. Por exemplo, coeficientes 1, 6, 11 e 6 mais k, multiplicação cruzada das duas linhas anteriores dividida pelo pivô e podemos copiar diretamente o último elemento da linha para a anterior. Os elementos da primeira coluna são 1, 6, 60 k dividido por 6 e 6 mais k e para que o sistema seja estável precisamos ter k menor que 60 e k maior que menos 6. O que acontece quando k é igual a 60 e k é igual a menos 6? Para k igual a 60 o polinômio fica s ao cubo mais 6s ao quadrado mais 11s mais 60 e as raízes são menos 6 e mais ou menos raiz de 11 vezes i. Podemos verificar fazendo o produto quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. O quadrado da raiz quadrada é o próprio número e i ao quadrado é menos 1. E fazendo o produto final, chegamos ao nosso polinômio que tem par de polos complexos conjugados sobre o eixo imaginário e o sistema portanto é instável. Para k igual a menos 6, o polinômio fica s ao cubo mais 6s ao quadrado mais 11s e podemos colocar s evidência e verificamos facilmente que uma das raízes é zero e o sistema também é instável. Se k for maior que 60 a primeira coluna da tabela de Routh tem duas trocas de sinal e o polinômio tem duas raízes com parte real positiva. Se k for menor do que menos 6 a tabela de Routh tem uma troca de sinal e o polinômio tem uma raiz positiva. No vídeo passado eu disse que uma das vantagens da realimentação é poder estabilizar sistema instável malha aberta, mas eu também disse que uma desvantagem é a possibilidade de instabilizar sistema estável malha aberta e alguns casos ganho adequado pode estabilizar sistema instável malha aberta e ganho inadequado pode voltar a instabilizá-lo. Vamos ver esses três exemplos usando Routh-Hurwitz. Por exemplo, vamos usar G de s igual a 1 sobre s ao quadrado mais 2s menos 3. Os polos são 1 e menos 3 e o sistema é instável malha aberta. E ganho malha aberta não modifica os polos, não alterando a estabilidade. A função de transferência malha fechada será k sobre s ao quadrado mais 2s menos 3 mais k. Podemos usar a Fórmula de Bhaskara para escrever as raízes do denominador função de k, mas é mais simples usarmos Routh-Hurwitz. Construindo a tabela de Routh temos 1, 2 e menos 3 mais k e para que o sistema seja estável, precisamos ter k maior que 3. Quando k for igual a 3, temos polo na origem e para k menor que 3 temos polo positivo. Este é então exemplo de sistema instável malha aberta que pode ser estabilizado com controle proporcional malha fechada, desde que o ganho seja maior do que 3. Para nosso segundo exemplo temos: G de s é igual a 10 sobre s ao cubo mais 8s ao quadrado mais 12s mais 10. Malha fechada temos 10k sobre s ao cubo mais 8s ao quadrado mais 12s mais 10 mais 10k. Vamos verificar o denominador da função de transferência malha aberta: s ao cubo mais 8 s ao quadrado mais 12s mais 10. Construindo a tabela de Routh, verificamos que não há troca de sinal na primeira coluna e o sistema é estável malha aberta. Verificamos agora o denominador da função de transferência malha fechada: s ao cubo mais 8s ao quadrado mais 12s mais 10 mais 10k. Construindo a tabela de Routh, verificamos que para k maior ou igual a 8,6 o sistema é instável. Então este é exemplo de sistema estável malha aberta que pode ficar instável malha fechada se usarmos ganho inadequado. Nesse caso ganho maior ou igual a 8,6. Para nosso terceiro exemplo temos: G de s igual a 10 sobre s ao cubo mais 11s ao quadrado mais 8s menos 20 e o denominador malha fechada será s ao cubo mais 11s ao quadrado mais 8s menos 20 mais 10k. Nem precisamos verificar o sistema malha aberta, a presença de sinal negativo indica que há pelo menos uma raiz com parte real positiva. Construímos a tabela de Routh para a malha fechada e verificamos que o sistema será estável para k maior que 2 e k menos que 10,8. Note que para k igual a 0 o sistema é instável e com k igual a 0 o denominador do sistema malha fechada coincide com o denominador do sistema malha aberta. Este é então exemplo de sistema instável malha aberta que pode ficar estável malha fechada, mas apenas para uma determinada faixa de ganhos. E se a função de transferência tiver mais de parâmetro variável? Ganho e ajuste de mais algum componente do sistema, resistor e circuito ou amortecedor de sistema mecânico por exemplo. Construímos a tabela de Routh normalmente carregando as variáveis literais e ao final impomos que todos os elementos da primeira coluna tenham o mesmo sinal, isto é, sejam todos positivos ou todos negativos. Por exemplo se a função de transferência do sistema malha fechada for k sobre s ao quadrado menos s menos 2 mais k t s mais k, construímos a tabela de Routh e verificamos que nesse caso precisamos ter k t maior que 1 e k maior que 2, para que o sistema seja estável. Seja agora T de s igual a as mais b sobre s ao cubo mais 3s quadrado mais 2s menos 1 mais as mais b. Construímos a tabela de Routh e verificamos que nesse caso precisamos ter b maior que 1 e a maior que b menos 7 dividido por 3. Ou seja, diferente do caso anterior, a escolha de uma das variáveis afeta a escolha da outra. Último exemplo: T de s é igual a k s mais a sobre s ao cubo mais 3s ao quadrado mais 2s mais k s mais a. Construímos a tabela de Routh e verificamos que nesse caso precisamos ter ka maior que 0 e 3k menos ka maior que menos 6. Novamente dos valores afeta o outro. Se tivermos por exemplo a igual a 2, precisamos ter k maior que 0 para garantir a estabilidade, mas se a for igual a 4 precisaremos ter k entre 0 e 6. Então não tem segredo nenhum para achar as condições de estabilidade. No caso de uma única variável, montamos a tabela de Routh e impondo que todos os elementos da primeira coluna tenham o mesmo sinal, descobrimos para que valores da variável o sistema é estável. Se tivermos mais de uma variável no denominador da função de transferência de interesse, o procedimento é o mesmo. Ao impormos que todos os elementos da primeira coluna tenham o mesmo sinal, obteremos restrições sobre as variáveis isoladamente ou conjunto. Convém notar que nem sempre é possível estabilizar o sistema. Por exemplo, tente achar o valor de k que deixe o seguinte sistema estável: T de s igual a k sobre s ao quadrado menos s menos 6 mais ks menos 1. Muito bem. Agora dada a função de transferência de sistema com ou mais parâmetros indeterminados, você já deve ser capaz de determinar que condições o sistema será estável. [MÚSICA] [SOM] [SOM]
