[MÚSICA] Após esse vídeo você será capaz de projetar controle proporcional para atender requisito de overshoot. Muito bem. Finalmente chegamos ao projeto do controlador proporcional. Seja a seguinte função de transferência de sistema malha aberta: 1 sobre s s mais 1, e digamos que queremos sistema malha fechada com a maior rejeição a perturbações possível e overshoot de no máximo 10%. Qual deve ser o ganho k utilizado para atendermos esses requisitos de desempenho? Lembrando que a função de transferência malha fechada para o controle proporcional é T de s é igual a kG sobre 1 mais kG ou T de s é k numerador de G sobre denominador de G mais k numerador de G, temos: T de s igual a k sobre s quadrado mais s mais k. Usando a parametrização de 2ª ordem, temos: ômega n quadrado igual a k, ou seja, ômega n é a raiz quadrada de k e 2 csi ômega n igual a 1 ou csi é meio sobre raiz quadrada de k. Lembre que quanto maior o ganho k, maior a rejeição a distúrbios e quanto menor o valor de csi, maior é o overshoot, já que o sistema fica menos amortecido. Então precisamos encontrar o valor de ganho k que corresponde a 10% de overshoot. Se usarmos valor maior que esse, teremos overshoot maior do que 10%, e se usarmos valor menor do que esse, teremos menos rejeição a perturbações. Podemos chutar valores de csi até encontrarmos o csi que corresponde ao valor de 10% ou podemos inverter a equação de overshoot função de csi. Temos que o overshoot é a exponencial de menos csi pi sobre a raiz de 1 menos csi ao quadrado. Tiramos o logaritmo natural dos 2 lados e temos: logaritmo no overshoot é igual a menos csi pi sobre raiz quadrada de 1 menos csi quadrado. Elevamos ao quadrado para nos livrarmos da raiz, multiplicamos por 1 menos csi ao quadrado, isolamos o csi e tiramos a raiz. Temos então que o csi vai ser a raiz quadrada do log do overshoot ao quadrado dividido por pi ao quadrado mais o log do overshoot ao quadrado. Usando 0,1 no lugar do overshoot, obtemos csi igual a 0 5 9. Dica importante: o overshoot na fórmula é número entre 0 e 1. É preciso converter a porcentagem número real, ou seja, tem que dividir a porcentagem por 100. Uma sugestão: monte uma tabela com os principais valores de csi e de overshoot, assim você não precisará usar a fórmula. Alguns valores interessantes de overshoot são 5%, 10%, 15%, 20% e 25%. E alguns valores interessantes de csi são 0 4, 0 4 5, 0 5, 0 6 e 0 7. Então 0,59 vai ser igual a 0 5 sobre a raiz quadrada de k ou o k vai ser 0 5 dividido por 0 5 9 ao quadrado e temos k igual a 0,718. Nossa função de transferência malha fechada fica T de s igual 0,718 sobre s quadrado mais s mais 0,718. Simulando a resposta ao degrau desse sistema, obtemos overshoot de aproximadamente 10% como desejado. Podemos fazer projeto literal considerando que nossa função de transferência malha aberta seja uma função de 2ª ordem do tipo 1, isto é, ela tem 1 polo na origem. Desse modo, sua resposta ao degrau terá erro nulo regime permanente. G de s é então dado por 1 sobre s s mais a e a função de transferência malha fechada será T de s é igual a kG sobre 1 mais kG ou k numerador sobre denominador mais k numerador. Temos então T de s igual a k sobre s ao quadrado mais a s mais k. Usando nossa parametrização, nós temos ômega n quadrado igual a k, ou seja, ômega n é a raiz quadrada de k e 2 csi ômega n igual a a ou csi igual a a sobre 2 vezes a raiz de k. Podemos escrever k função de csi como k igual a a ao quadrado dividido por 4 csi ao quadrado. E dado requisito de overshoot, podemos usar a fórmula: csi é a raiz quadrada do logaritmo natural do overshoot ao quadrado dividido por pi ao quadrado mais o logaritmo natural do overshoot ao quadrado, ou podemos pegar o valor de csi direto de uma tabela. Mas note que vamos precisar de csi ao quadrado e não de csi para calcular k. Então podemos usar csi ao quadrado vai ser igual ao logaritmo natural do overshoot ao quadrado dividido por pi ao quadrado mais o logaritmo natural do overshoot ao quadrado e podemos substituir essa expressão de csi ao quadrado na fórmula de k. Então, dado sistema do tipo 1 malha aberta e requisito de overshoot, podemos facilmente determinar o ganho k para atender a esse requisito. E agora você já deve ser capaz de projetar controle proporcional para atender a requisito de overshoot. [MÚSICA] [RUÍDO]
