[MÚSICA] Após
esse vídeo você será capaz de projetar
controle proporcional para atender requisito de overshoot.
Muito bem.
Finalmente chegamos ao projeto do controlador proporcional.
Seja a seguinte função de transferência de sistema malha aberta: 1 sobre s s mais 1,
e digamos que queremos sistema malha fechada com a maior
rejeição a perturbações possível e overshoot de no máximo 10%.
Qual deve ser o ganho k utilizado para atendermos esses requisitos de desempenho?
Lembrando que a função de transferência malha fechada para o controle
proporcional é T de s é igual a kG sobre 1 mais kG ou T de s
é k numerador de G sobre denominador de G mais k numerador de G,
temos: T de s igual a k sobre s quadrado mais s mais k.
Usando a parametrização de 2ª ordem, temos: ômega n quadrado igual a k,
ou seja, ômega n é a raiz quadrada de k e 2 csi ômega n
igual a 1 ou csi é meio sobre raiz quadrada de k.
Lembre que quanto maior o ganho k,
maior a rejeição a distúrbios e quanto menor o valor de csi,
maior é o overshoot, já que o sistema fica menos amortecido.
Então precisamos encontrar o valor de ganho
k que corresponde a 10% de overshoot.
Se usarmos valor maior que esse, teremos overshoot maior do que 10%,
e se usarmos valor menor do que esse, teremos menos rejeição a perturbações.
Podemos chutar valores de csi até encontrarmos o csi que corresponde
ao valor de 10% ou podemos inverter a equação de overshoot função de csi.
Temos que o overshoot é a exponencial de menos csi pi sobre
a raiz de 1 menos csi ao quadrado.
Tiramos o logaritmo natural dos 2 lados e temos: logaritmo
no overshoot é igual a menos csi pi sobre raiz quadrada de 1 menos csi quadrado.
Elevamos ao quadrado para nos livrarmos da raiz, multiplicamos por 1
menos csi ao quadrado, isolamos o csi e tiramos a raiz.
Temos então que o csi vai ser a raiz quadrada do log do overshoot
ao quadrado dividido por pi ao quadrado mais o log do overshoot ao quadrado.
Usando 0,1 no lugar do overshoot, obtemos csi igual a 0 5 9.
Dica importante: o overshoot na fórmula é número entre 0 e 1.
É preciso converter a porcentagem número real, ou seja,
tem que dividir a porcentagem por 100.
Uma sugestão: monte uma tabela com os principais
valores de csi e de overshoot, assim você não precisará usar a fórmula.
Alguns valores interessantes de overshoot são 5%,
10%, 15%, 20% e 25%.
E alguns valores interessantes de csi são 0 4,
0 4 5, 0 5, 0 6 e 0 7.
Então 0,59 vai ser igual a 0 5 sobre
a raiz quadrada de k ou o k vai ser 0 5 dividido por 0
5 9 ao quadrado e temos k igual a 0,718.
Nossa função de transferência malha fechada fica T de s igual
0,718 sobre s quadrado mais s mais 0,718.
Simulando a resposta ao degrau desse sistema,
obtemos overshoot de aproximadamente 10% como desejado.
Podemos fazer projeto literal considerando que nossa função de transferência malha
aberta seja uma função de 2ª ordem do tipo 1, isto é, ela tem 1 polo na origem.
Desse modo, sua resposta ao degrau terá erro nulo regime permanente.
G de s é então dado por 1 sobre s s mais a e
a função de transferência malha fechada será T de s é igual a kG
sobre 1 mais kG ou k numerador sobre denominador mais k numerador.
Temos então T de s igual a k sobre s ao quadrado mais a s mais k.
Usando nossa parametrização, nós temos ômega n quadrado igual a k,
ou seja, ômega n é a raiz quadrada de k e 2 csi ômega n igual
a a ou csi igual a a sobre 2 vezes a raiz de k.
Podemos escrever k função de csi como k
igual a a ao quadrado dividido por 4 csi ao quadrado.
E dado requisito de overshoot, podemos usar a fórmula: csi
é a raiz quadrada do logaritmo natural do overshoot ao quadrado dividido por pi
ao quadrado mais o logaritmo natural do overshoot ao quadrado,
ou podemos pegar o valor de csi direto de uma tabela.
Mas note que vamos precisar de csi ao quadrado e não de csi para calcular k.
Então podemos usar csi ao quadrado vai ser igual ao logaritmo natural do
overshoot ao quadrado dividido por pi ao quadrado
mais o logaritmo natural do overshoot ao quadrado e
podemos substituir essa expressão de csi ao quadrado na fórmula de k.
Então, dado sistema do tipo 1 malha aberta e requisito de overshoot,
podemos facilmente determinar o ganho k para atender a esse requisito.
E agora você já deve ser capaz de projetar
controle proporcional para atender a requisito de overshoot.
[MÚSICA] [RUÍDO]
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
