[MÚSICA] Após esse vídeo você
será capaz de aplicar a parametrização com csi ômega n a sistemas de segunda ordem.
Muito bem, agora você já sabe quais
são as características da resposta subamortecida ao degrau.
Muitas vezes os requisitos de desempenho são dados função dessas características,
outras vezes elas são traduzidas da linguagem do usuário para essas
características.
Por exemplo: quando alguém diz que quer uma resposta rápida e confortável,
esse rápido deve ser traduzido tempo de subida ou instante de pico ou tempo de
acomodação máxima e o confortável deve ser traduzido overshoot máximo.
Se a resposta do sistema tiver tempo menor ou igual ao estipulado
e overshoot menor ou igual ao estipulado, ele atende aos requisitos de desempenho.
Precisamos agora relacionar essas características marcantes da resposta ao
degrau com características de uma função de transferência de segunda ordem.
Vamos usar uma função de transferência de segunda ordem sem zeros e que
apresente erro regime nulo para entrada degrau.
Outros cursos você poderá aprender o que acontece de diferente quando a função de
transferência tem zeros.
E se o erro regime não for nulo, não muda muita coisa,
uma vez que as características de resposta ao degrau são relativas ao valor
final e o nosso sistema é linear.
Nós usamos o erro nulo mais por conforto visual.
Nossa função de transferência literal tem a forma a0
sobre s ao quadrado mais a1s mais a0 e a transformada
de Laplace da resposta ao degrau é Y de s igual a a0 sobre s,
s ao quadrado mais a1s mais a 0.
A transformada inversa a Y de s, y de t,
é essa coisa aí que eu nem vou me entrever a falar, aprecie com moderação.
Não parece muito promissora, não?
Bom, por causa disso é que fazemos uma prametrização da função
de transferência da segunda ordem.
Ao invés de usar os coeficiente de s à primeira e sa0,
nós fazemos uma pequena mudança de variáveis: o coeficiente de sa0,
que é o a0, será ômega n ao quadrado e o coeficiente de s1,
que é o a1, será duas vezes csi vezes ômega n.
Então, nossa função de transferência de segunda ordem fica ômega n ao quadrado
sobre s ao quadrado mais 2 csi ômega n s mais ômega n quadrado,
onde ômega n é a raíz quadrada de a 0
e o csi é a1 sobre duas vezes a raiz quadrada de a0.
Com isso, a expressão para a saída fica pouco mais tratável,
[SEM ÁUDIO] mais ainda não está legal.
Mas se definirmos novas variáveis função dos parámetros csi e ômega n,
nós temos y de t igual a 1 menos exponencial de menos sigma t sobre a raiz
quadrada de 1 menos csi ao quadrado, vezes o seno de ômega d t mais fi,
onde sigma é csi vezes ômega n e ômega d é ômega n vezes
a raíz quadrada de 1 menos csi quadrado e o fi é o arco cuja tangente
é a raíz quadrada de 1 menos csi ao quadrado sobre csi.
Melhorou, mas não resolveu muita coisa, não é?
No próximo vídeo você verá que essa parametrização
facilita muito a determinação das características da resposta ao degrau
a partir da função de transferência.
Por enquanto, note que podemos descrever a função de transferência usando
sigma e ômega d no lugar de csi e ômega n.
A função de transferência fica sigma ao quadrado mais ômega d quadrado dividido
por s ao quadrado mais 2 sigma s mais sigma ao quadrado mais ômega d
quadrado e podemos verificar que a parte real dos polos complexos conjugados é
menos sigma e a parte imaginária é mais ou menos ômega d vezes i.
Ou seja, os polos são menos sigma mais ou menos ômega d i e podemos descrever
a função de transferência como sigma ao quadrado mais ômega d ao quadrado
sobre s mais sigma menos ômega d i vezes s mais sigma mais ômega d i.
Não acredita?
Use a fórmula de Bhaskara para calcular os polos
função de sigma e ômega d ou efetue a multiplicação dos fatores ao denominador.
Bem, agora você já deve ser capaz de aplicar a parametrização com
csi ômega n a sistemas de segunda ordem, embora ainda não saiba porque fazer.
[MÚSICA] [SOM]
[SOM]
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
