Este curso apresenta os principais conceitos do controle de sistemas e mostra suas vantagens e importância para a sociedade moderna. Você vai entender o que é o controle de sistemas e como o controle com realimentação funciona, e passará a perceber a sua presença em diversas situações em seu dia-a-dia, na natureza, no corpo humano e em diversos dispositivos, desde os mais simples até os mais complexos. Você vai perceber a necessidade de modelos teóricos para a análise e o projeto do controle de sistemas e aprenderá como verificar se um sistema atende a determinados requisitos de desempenho. Você também aprenderá como projetar um controle simples de modo a obter o melhor desempenho possível de um sistema de controle. Este é apenas o primeiro passo em direção a um vasto campo do conhecimento e lhe dará a base e a segurança necessárias para avançar em seus estudos no maravilhoso mundo do controle de sistemas.
O critério de Routh-Hurwitz para a Estabilidade
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle de Sistemas
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Na lição
Estabilidade e Erro em Regime
Estabilidade. Critério de Routh-Hurwitz. Vantagens da Realimentação. Erro em Regime.
Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
[MÚSICA] [MÚSICA] Após esse vídeo,
dada a Função de Transferência de sistema,
você será capaz de verificar se o sistema é ou não BIBO estável,
sem a necessidade de calcular ou explicitar os polos.
Como vimos, a BIBO estabilidade de sistema é determinada pela parte
real de seus polos, que são as raízes do denominador da Função de Transferência.
Para que o sistema seja BIBO estável todos os polos devem ter parte real negativa.
Uma forma bastante simples de determinar se sistema é ou não BIBO estável
seria calcular todos os polos e verificar se todos têm parte real negativa.
Mas não haveria modo mais eficiente ou menos trabalhoso de fazer isso?
Sim existe e ele é chamado de Método ou Critério de Routh-Hurwitz,
às vezes abreviado para Método ou Critério de Routh ou simplesmente RH.
Primeiro vou exemplificar o método com denominadores mais simples.
de segunda, terceira e até quarta ordem e depois generalizarei o método.
Se o denominador for de primeira ordem o polo já está evidente no denominador
e é fácil verificar se ele tem parte real negativa ou não.
Lembre-se que os fatores são s menos o polo então s mais 1 corresponde a polo
menos 1 e s menos 1 corresponde a polo mais 1.
Se a Função de Transferência de segunda ordem denominador do
segundo grau já estiver fatorada também só precisa precisamos
verificar o sinal dos fatores, todos devem ser positivos.
Se o denominador da Função de Transferência não estiver fatorado,
podemos usar a fórmula de Bhaskara para calcular os polos, ou podemos verificar
se todos os polos têm parte real negativa construindo a Tabela de Routh.
A Tabela de Routh tem n mais 1 linhas onde n é o grau do polinômio do
denominador ou a ordem do sistema, nesse caso n é igual a 2 e temos 3 linhas.
As duas primeiras linhas são preenchidas com os coeficientes do polinômio da
esquerda para a direita, alternando entre as linha e começando com a primeira linha.
Nesse caso colocamos o coeficiente 1 de s ao quadrado na
primeira linha depois o coeficiente 3 de s na segunda
linha e o coeficiente 2 de s elevado a 0 na primeira linha novamente.
Quando o grau do polinômio for maior continuamos alternando entre as
linhas até que todos os coeficientes tenham sido usados.
Agora para preencher a linha s0 usamos as duas linhas anteriores.
Fazemos uma multiplicação cruzada e dividimos pelo primeiro
elemento da linha s1 que chamamos, carinhosamente, de pivô.
Os elementos inexistentes são considerados 0.
O Critério de Routh-Hurwitz nos diz que se todos os elementos da
primeira coluna da tabela tiverem o mesmo sinal, isto é, se todos forem positivos ou
se todos forem negativos, todas as raízes do polinômio tem parte real negativa.
Nesse caso temos 1, 3 e 2, todos os positivos e o polinômio é Hurwitz,
isto é, todas as suas raízes têm parte real negativa e se ele for
o denominador de uma Função de Transferência o sistema é BIBO estável.
Vamos ver outro exemplo mas desta vez eu já vou mostrar a tabela construída.
Coeficientes 1, 1 e menos 2, elemento da linha s0 igual a menos 2.
Nesse caso temos uma troca de sinal e o polinômio não é Hurwitz,
o sistema não é estável.
Vamos ver exemplo literal: a construção da tabela é a mesma,
coeficientes 1, a e b e na primeira coluna temos 1,
a e b e para que o polinômio seja Hurwitz precisamo ter
a maior que 0 e b maior que 0.
Mas acho que você já sabia disso, se todas as raízes do polinômio tiverem
parte real negativa, todos os coeficientes precisam ser positivos.
Vamos para exemplo de terceira ordem.
Você pode usar o Método de Cardano Tartaglia para achar as raízes mas
vamos ver como a análise fica simples usando Routh-Hurwitz.
Terceira ordem, 4 linhas, de s ao cubo até s a 0,
coeficientes 1, 6, 11 e 6,
multiplicação cruzada das duas linhas anteriores dividido pelo pivô,
para calcular o elemento da linha s0 usamos as duas linhas anteriores, s1
e s2 e novamente fazemos a multiplicação cruzada e dividimos pelo pivô.
Os elementos da primeira coluna são 1, 6,
10 e 6, todos positivos e o polinômio é Hurwitz.
Outro exemplo de terceira ordem: vamos mudar apenas o último coeficiente.
Duas primeiras linhas da tabela de Routh só copiar os coeficientes,
multiplicação cruzada das duas linhas anteriores dividido pelo pivô e novamente
fazemos a multiplicação cruzada e dividimos pelo novo pivô.
Os elementos da primeira coluna são 1, 6, -1 e 72.
Temos troca de sinal e o polinômio não é Hurwitz, ou seja se esse polinômio for o
denominador de uma Função de Transferência o sistema não é BIBO estável.
Podemos fazer exemplo literal de terceira ordem também,
duas primeiras linhas copiar os coeficientes, multiplicação cruzada e
dividir pelo pivô, multiplicar novamente e dividir pelo novo pivô.
E para que o polinômio seja Hurwitz precisamos ter a maior que 0,
c maior que 0 e a vezes b maior do que c.
Só mais exemplo de quarta ordem antes de generalizarmos
a análise via Routh-Hurwitz.
Quarta ordem, 5 linhas, de s à quarta até s a 0.
Copiamos os coeficientes nas duas primeiras linhas,
começando pela primeira linha e alternando as linhas.
Obtemos os elementos da linha s2
fazendo a multiplicação cruzada e dividindo pelo pivô.
Aqui detalhe muito importante:
a multiplicação cruzada é sempre os elementos da primeira
coluna e os elementos da coluna seguinte ao elemento que estamos calculando e o
pivô é sempre o elemento da primeira coluna.
O mesmo procedimento para a linha s1, multiplicação cruzada entre os
elementos da primeira coluna e da coluna seguinte das duas linhas anteriores
e divisão pelo pivô, que é o elemento da primeira coluna da linha anterior.
E para a linha s0 os elementos da primeira coluna são 1,
2, menos 1, 20 e 5 e o polinômio não é Hurwitz.
Além disso podemos afirmar que ele possui duas raízes com parte real positiva.
Calcule as raízes e confirme isso.
Muito bem, os exemplos que vimos até agora devem ter te dado
uma boa ideia de como construir a Tabela de Routh.
Vamos agora generalizar essa construção usando coeficientes literais.
A Tabela de Routh terá n mais uma linhas, de s elevado a n a s elevado a 0.
Copiamos os coeficientes do polinômio nas duas primeiras linhas
começando com a linha s elevado a n e alternando entre as linhas.
Se n for ímpar o coeficiente 0 fica na segunda linha,
se n for par o coeficiente 0 fica na primeira linha.
O raciocínio é exatamente o mesmo
para os dois casos mais vamos usar o caso de n par.
Por comodismo vamos renomear os elementos da linha s n a1,
a2 a3 e assim por diante até a n sobre 2.
Os elementos da linha s n menos 1 nós renomeamos para b1,
b2, b3 e assim por diante até b n sobre 2 menos 1.
Muito bem, o elemento c1 é calculado como b1
vezes a2 menos a1 vezes b2 sobre o b1.
O elemento c2 é calculado como
b1 vezes a3 menos a1 vezes b3 sobre b1.
Note que usamos sempre os elementos a1 e b1 para calcular os elementos c.
O elemento c3 é calculado como b1 vezes a4 menos a1 vezes b4 sobre b1.
Novamente note que sempre estamos usando os elementos da
primeira coluna e os elementos das duas linhas anteriores.
E assim por diante até que c n sobre 2 menos 2
seja igual a b1 vezes a n sobre 2 menos 1 menos a1
vezes b n sobre 2 menos 1, isso tudo sobre b1.
E finalmente se a n sobre 2 menos 1 igual a b1 vezes
a n sobre 2 menos a1 vezes 0 sobre b1, que é o próprio a n sobre 2.
Poderemos até tentar cacular elemento c n sobre 2, mas ele seria 0.
Se você se sentir mais confortável,
pode acabar de preencher a tabela de Routh com zeros,
para que ela fique uma tabela cheia, mas isso realmente não é necessário.
Continuando, agora fazemos exatamente a mesma coisa para alinhar
a c n menos 3, só que ao invés de usar as duas primeiras linhas,
usamos as linhas s n menos 1 e s n menos 2, ou seja, as duas linhas anteriores.
E o pivô agora é o elemento da primeira coluna da linha s n menos 2.
O primeiro elemento é a multiplicação cruzada entre os elementos da primeira
coluna e da segunda coluna das duas linhas anteriores, dividido pelo pivô.
Segundo elemento da linha: multiplicação cruzada da primeira coluna e da
coluna seguinte das duas linhas anteriores, dividido pelo pivô.
Mesma coisa para o elemento d3, até o elemento d n sobre 2 menos 2.
E o elemento d n sobre 2 menos 1 será 0.
Eu prefiro a tabela sem os zeros à direita, assim fica fácil observar que,
de uma linha par para uma linha ímpar, a tabela perde uma coluna.
Note, também, que o último elemento de uma linha par acaba sendo o último
elemento da linha par seguinte.
E assim prosseguimos a construção da tabela de Routh até
chegar à linha s0 e se todos os elementos da primeira coluna forem positivos,
temos o denominador de uma função de transferência BIBO-estável.
O critério de Routh-Hurwitz não nos diz apenas se todas as raízes do polinômio
têm parte real negativa, ele nos diz quantas raízes têm parte real positiva.
O número de raízes com parte real positiva corresponde ao número de trocas de
sinal na primeira coluna da tabela de Routh.
Por isso, se todos os elementos da primeira coluna forem positivos,
não temos troca de sinal e nem polos com parte real positiva.
Se apenas o último ou apenas o primeiro elemento da primeira coluna
tiverem sinal diferente dos demais, temos uma raíz com parte real positiva.
Se tivermos duas trocas de sinal, como no nosso exemplo de quarta ordem,
temos duas raízes com parte real positiva e assim por diante.
Como para ter sistema BIBO-estável precisamos ter
todas as raízes do denominador da função de transferência com parte real negativa,
não podemos ter nenhuma troca de sinal.
Então, caso você esteja interessado apenas verificar a estabilidade e
não na quantidades de polos com parte real positiva e se deparar com uma troca de
sinal na primeira coluna, não precisa continuar construindo a tabela.
Você já pode concluir que o sistema não será BIBO-estável,
uma vez que ele terá pelo menos polo com parte real positiva.
Você deve ter notado que podemos ter problemas na construção da tabela,
caso algum elemento da primeira coluna seja 0,
uma vez que não podemos efetuar uma divisão por 0.
Elemento nulo na primeira coluna da tabela de Routh indica que temos raízes
sobre o eixo imaginário, raíz na origem ou par de raízes complexas conjugadas
com parte real nula ou raízes simétricas com relação ao eixo imaginário, isto é,
raízes com mesma parte imaginária, que pode ser nula, e com parte real oposta.
Por exemplo: +1 e -1, +5 e -5, +10 e -10.
De qualquer forma,
elemento nulo na primeira coluna indica que o sistema não é BIBO-estável.
Então, se ao construirmos a tabela de Routh nos depararmos com elemento
nulo ou com sinal trocado na primeira coluna, podemos concluir imediatamente
que o polinômio não é Hurwitz e o sistema não vai ser BIBO-estável.
No entanto, saiba que há uma maneira de contornar o problema do
elemento 0 na primeira coluna e finalizar a construção da tabela de Routh,
descobrindo, assim, quantas raízes têm parte real positiva, negativa ou nula.
Mas, por enquanto, não precisa se preocupar com isso.
Para esse curso precisamos ter todos os elementos da primeira coluna
positivos ou todos negativos.
Então, se aparecer elemento 0, pode parar a construção da tabela.
Se estiver curioso, você vai encontrar facilmente o tratamento do 0 na
primeira coluna qualquer livro de controle de sistemas lineares.
Agora crie alguns polinômios e exercite a construção da tabela de Routh.
Agora, dada a função de transferência de sistema,
você já é capaz de verificar se o sistema é ou não BIBO-estável sem
a necessidade de calcular ou explicitar os polos.
[MÚSICA] [BARULHO]
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