[MÚSICA] Após
esse vídeo você será capaz de citar e aplicar as
fórmulas da resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem.
Nossa função de transferência de segunda ordem,
devidamente parametrizada, tem a forma ômega n ao quadrado sobre s ao
quadrado mais 2 csi ômega n s mais ômega n ao quadrado.
E temos que o y de t é 1 menos a exponencial de menos sigma
t sobre a raiz de 1 menos csi quadrado vezes o seno de ômega dt mais
fi onde sigma é csi ômega n e ômega d é ômega n raiz quadrada
de 1 menos csi quadrado e o fi é o arco cuja tangente é
a raiz quadrada de 1 menos csi ao quadrado sobre csi.
E no quê isso nos ajuda?
Você pode apenas acreditar no que eu vou falar ou pode verificar
se isso realmente é verdade efetuando os cálculos.
Se derivarmos a expressão de y de t relação ao tempo e igualarmos
essa derivada a zero, encontraremos os instantes de máximos e mínimos da saída.
E o primeiro instante de máximo ou o primeiro valor de t que zerar essa
derivada é instante de pico.
E fazendo essa derivada literal e igualando ela a 0,
obtemos tp igual a pi sobre ômega d ou
tp igual a pi sobre ômega n raiz quadrada de 1 menos csi quadrado.
Substituindo esse valor de tp na fórmula de y de t,
obtemos o valor de pico da reposta ao degrau.
Subtraindo o valor final deste valor de pico e dividindo o resultado pelo valor
final, obtemos o valor do overshoot função de nossos parâmetros e temos mp
igual a exponencial de menos csi pi sobre raiz quadrada de 1 menos csi quadrado.
E note que o overshoot só depende de csi.
O parâmetro csi recebe o nome de fator de amortecimento.
Se o fator de amortecimento for muito pequeno, próximo de 0,
o sistema é pouco amortecido e temos overshoot grande,
mas se o fator de amortecimento for grande, próximo de 1,
o sistema é muito amortecido, apresentando overshoot pequeno.
Se csi for menor que 0, não temos mais uma resposta subamortecida,
teremos uma resposta que diverge, já que os pólos terão parte real positiva.
E se csi for maior do que 1, teremos uma resposta superamortecida.
Já que, ao invés de pólos complexos conjugados, teremos par de pólos reais.
Então, o fator de amortecimento csi para sistemas subamortecidos fica entre 0 e 1.
Quanto mais próximo de 1, mais amortecida a resposta e menor é o overshoot.
No limite, quando csi igual a 1,
temos sistema criticamente amortecido, sem overshoot.
Quanto mais próximo de 0 menor é o amortecimento e maior é o overshoot.
No limite, quando csi igual a 0, temos sistema não amortecido e
a resposta ao degrau apresenta uma oscilação que não diminui com o tempo.
Note que, para csi igual a 0 temos
par de pólos complexos conjugados com parte real nula.
Continuando, se igualarmos y de t ao valor final, que no nosso caso é 1,
o primeiro valor de t para o qual s igualdade é válida é o tempo de subida de
0 a 100% e obtemos tr de 0 a 100% igual a pi menos beta sobre ômega d,
onde beta é o arco cujo cosseno é csi, que também é o arco cuja
tangente é raiz quadrada de 1 menos csi quadrado sobre csi,
ou seja, o beta é igual ao fi que nós vimos antes.
Até hoje, não entendi por que usamos beta na fórmula do tempo de subida
e fi na expressão de y de t, já que os dois são a mesma coisa.
Eu acho que é por que, caso, estamos falando de uma diferença de fase no seno,
o fi, e no outro, estamos falando de ângulo no plano complexo,
no caso de beta, mas eu não tenho certeza.
Se você souber, com certeza, por favor me avise.
A fórmula de tempo de acomodação
não é exata como as 3 fórmulas que já foram apresentadas,
ela é uma aproximação e leva conta a envoltória da oscilação.
Note que na expressão de y de t,
temos seno multiplicando uma exponencial decrescente.
Para a fórmula do tempo de acomodação, usamos apenas o valor da exponencial como
se a saída fosse apenas essa exponencial, ao invés de ser seno multiplicando ela.
Quando o valor da exponencial chegar a determinado valor percentual,
a oscilação do seno estará confinada a este valor percentual.
E, garantidamente, o valor da saída não oscilará além desse valor,
desse instante diante.
Então, a fórmula de tempo de acomodação é uma fórmula pessimista.
No pior caso, o tempo de acomodação será o tempo calculado com a fórmula, mas,
normalmente, o tempo de acomodação real será menor que o calculado e a fórmula
para o tempo de acomodação para 5% do valor final é 3 sobre sigma.
Então, dada a função de transferência de segunda ordem, 25 sobre
s ao quadrado mais 4s mais 25, vamos calcular o overshoot, o instante de pico,
o tempo de subida de 0 a 100% e o tempo de acomodação para 5% do valor final.
Temos a0 igual a 25 e a1 igual a 4, então o nosso ômega n,
que é a raiz quadrada do a0, é a raiz quadrada de 25,
que é 5 e o csi é 4 dividido por 2 vezes 5 que é 0,4.
Lembrando que o valor de pi é 3,141592.
3,14 para a gente tá muito bom, parcimonioso.
O overshoot então vai ser a exponencial
de menos 0,4 vezes 3,14 dividido por 1 menos
0,4 ao quadrado que dá 25,4%.
O instante de pico será 3,14
dividido por 5 vezes a raiz quadrada de 1 menos 0,4
elevado ao quadrado, o que dá 0,69 segundos.
O tempo de subida de 0 a 100% vai ser: 3,14
menos arcocosseno 0,4 dividido por 5 vezes a raiz
quadrada de 1 menos 0,4 ao quadrado, o que dá 0,43 segundos.
Aqui, uma observação, o ângulo beta deve ser usado radianos.
E, finalmente, o tempo de acomodação vai ser 3 sobre 2, que dá 1,5 segundos.
Que são exatamente os valores que obtemos
simulando a resposta ao degrau desse sistema.
Você já sabe que o csi é o fator de amortecimento
do sistema e que ele varia de 0, menos amortecido, a 1, mais amortecido.
Csi pode ser chamado também de coeficiente de amortecimento ou até de
razão de amortecimento.
Vamos dar nomes aos outros 3 parâmetros da função de transferência de segunda
ordem: ômega n, ômega d e sigma.
Ômega n é a frequência natural não amortecida.
Pois seria frequência da saída senoidal do sistema,
se ele não tivesse amortecimento, ou seja, se o csi fosse 0.
Ômega d é a frequência amortecida,
pois é a frequência das oscilações com fator de amortecimento maior do que 0.
E sigma é o decaimento exponencial,
por determinar o decaimento da amplitude de oscilação.
Agora você já deve ser capaz de citar e aplicar as
fórmulas da resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem.
[MÚSICA] [SOM]
[SOM]
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
