[MÚSICA] Após esse vídeo você será capaz de citar e aplicar as fórmulas da resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem. Nossa função de transferência de segunda ordem, devidamente parametrizada, tem a forma ômega n ao quadrado sobre s ao quadrado mais 2 csi ômega n s mais ômega n ao quadrado. E temos que o y de t é 1 menos a exponencial de menos sigma t sobre a raiz de 1 menos csi quadrado vezes o seno de ômega dt mais fi onde sigma é csi ômega n e ômega d é ômega n raiz quadrada de 1 menos csi quadrado e o fi é o arco cuja tangente é a raiz quadrada de 1 menos csi ao quadrado sobre csi. E no quê isso nos ajuda? Você pode apenas acreditar no que eu vou falar ou pode verificar se isso realmente é verdade efetuando os cálculos. Se derivarmos a expressão de y de t relação ao tempo e igualarmos essa derivada a zero, encontraremos os instantes de máximos e mínimos da saída. E o primeiro instante de máximo ou o primeiro valor de t que zerar essa derivada é instante de pico. E fazendo essa derivada literal e igualando ela a 0, obtemos tp igual a pi sobre ômega d ou tp igual a pi sobre ômega n raiz quadrada de 1 menos csi quadrado. Substituindo esse valor de tp na fórmula de y de t, obtemos o valor de pico da reposta ao degrau. Subtraindo o valor final deste valor de pico e dividindo o resultado pelo valor final, obtemos o valor do overshoot função de nossos parâmetros e temos mp igual a exponencial de menos csi pi sobre raiz quadrada de 1 menos csi quadrado. E note que o overshoot só depende de csi. O parâmetro csi recebe o nome de fator de amortecimento. Se o fator de amortecimento for muito pequeno, próximo de 0, o sistema é pouco amortecido e temos overshoot grande, mas se o fator de amortecimento for grande, próximo de 1, o sistema é muito amortecido, apresentando overshoot pequeno. Se csi for menor que 0, não temos mais uma resposta subamortecida, teremos uma resposta que diverge, já que os pólos terão parte real positiva. E se csi for maior do que 1, teremos uma resposta superamortecida. Já que, ao invés de pólos complexos conjugados, teremos par de pólos reais. Então, o fator de amortecimento csi para sistemas subamortecidos fica entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, mais amortecida a resposta e menor é o overshoot. No limite, quando csi igual a 1, temos sistema criticamente amortecido, sem overshoot. Quanto mais próximo de 0 menor é o amortecimento e maior é o overshoot. No limite, quando csi igual a 0, temos sistema não amortecido e a resposta ao degrau apresenta uma oscilação que não diminui com o tempo. Note que, para csi igual a 0 temos par de pólos complexos conjugados com parte real nula. Continuando, se igualarmos y de t ao valor final, que no nosso caso é 1, o primeiro valor de t para o qual s igualdade é válida é o tempo de subida de 0 a 100% e obtemos tr de 0 a 100% igual a pi menos beta sobre ômega d, onde beta é o arco cujo cosseno é csi, que também é o arco cuja tangente é raiz quadrada de 1 menos csi quadrado sobre csi, ou seja, o beta é igual ao fi que nós vimos antes. Até hoje, não entendi por que usamos beta na fórmula do tempo de subida e fi na expressão de y de t, já que os dois são a mesma coisa. Eu acho que é por que, caso, estamos falando de uma diferença de fase no seno, o fi, e no outro, estamos falando de ângulo no plano complexo, no caso de beta, mas eu não tenho certeza. Se você souber, com certeza, por favor me avise. A fórmula de tempo de acomodação não é exata como as 3 fórmulas que já foram apresentadas, ela é uma aproximação e leva conta a envoltória da oscilação. Note que na expressão de y de t, temos seno multiplicando uma exponencial decrescente. Para a fórmula do tempo de acomodação, usamos apenas o valor da exponencial como se a saída fosse apenas essa exponencial, ao invés de ser seno multiplicando ela. Quando o valor da exponencial chegar a determinado valor percentual, a oscilação do seno estará confinada a este valor percentual. E, garantidamente, o valor da saída não oscilará além desse valor, desse instante diante. Então, a fórmula de tempo de acomodação é uma fórmula pessimista. No pior caso, o tempo de acomodação será o tempo calculado com a fórmula, mas, normalmente, o tempo de acomodação real será menor que o calculado e a fórmula para o tempo de acomodação para 5% do valor final é 3 sobre sigma. Então, dada a função de transferência de segunda ordem, 25 sobre s ao quadrado mais 4s mais 25, vamos calcular o overshoot, o instante de pico, o tempo de subida de 0 a 100% e o tempo de acomodação para 5% do valor final. Temos a0 igual a 25 e a1 igual a 4, então o nosso ômega n, que é a raiz quadrada do a0, é a raiz quadrada de 25, que é 5 e o csi é 4 dividido por 2 vezes 5 que é 0,4. Lembrando que o valor de pi é 3,141592. 3,14 para a gente tá muito bom, parcimonioso. O overshoot então vai ser a exponencial de menos 0,4 vezes 3,14 dividido por 1 menos 0,4 ao quadrado que dá 25,4%. O instante de pico será 3,14 dividido por 5 vezes a raiz quadrada de 1 menos 0,4 elevado ao quadrado, o que dá 0,69 segundos. O tempo de subida de 0 a 100% vai ser: 3,14 menos arcocosseno 0,4 dividido por 5 vezes a raiz quadrada de 1 menos 0,4 ao quadrado, o que dá 0,43 segundos. Aqui, uma observação, o ângulo beta deve ser usado radianos. E, finalmente, o tempo de acomodação vai ser 3 sobre 2, que dá 1,5 segundos. Que são exatamente os valores que obtemos simulando a resposta ao degrau desse sistema. Você já sabe que o csi é o fator de amortecimento do sistema e que ele varia de 0, menos amortecido, a 1, mais amortecido. Csi pode ser chamado também de coeficiente de amortecimento ou até de razão de amortecimento. Vamos dar nomes aos outros 3 parâmetros da função de transferência de segunda ordem: ômega n, ômega d e sigma. Ômega n é a frequência natural não amortecida. Pois seria frequência da saída senoidal do sistema, se ele não tivesse amortecimento, ou seja, se o csi fosse 0. Ômega d é a frequência amortecida, pois é a frequência das oscilações com fator de amortecimento maior do que 0. E sigma é o decaimento exponencial, por determinar o decaimento da amplitude de oscilação. Agora você já deve ser capaz de citar e aplicar as fórmulas da resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem. [MÚSICA] [SOM] [SOM]
