Este curso apresenta os principais conceitos do controle de sistemas e mostra suas vantagens e importância para a sociedade moderna. Você vai entender o que é o controle de sistemas e como o controle com realimentação funciona, e passará a perceber a sua presença em diversas situações em seu dia-a-dia, na natureza, no corpo humano e em diversos dispositivos, desde os mais simples até os mais complexos. Você vai perceber a necessidade de modelos teóricos para a análise e o projeto do controle de sistemas e aprenderá como verificar se um sistema atende a determinados requisitos de desempenho. Você também aprenderá como projetar um controle simples de modo a obter o melhor desempenho possível de um sistema de controle. Este é apenas o primeiro passo em direção a um vasto campo do conhecimento e lhe dará a base e a segurança necessárias para avançar em seus estudos no maravilhoso mundo do controle de sistemas.
Erro em Regime em malha fechada
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle de Sistemas
490 classificações
Na lição
Estabilidade e Erro em Regime
Estabilidade. Critério de Routh-Hurwitz. Vantagens da Realimentação. Erro em Regime.
Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
[MÚSICA] [MÚSICA] Após esse vídeo,
dada a Função de Transferência do sistema malha aberta,
você será capaz de calcular o erro regime permanente para entradas degrau,
rampa e parábola para sistema malha fechada,
sem a necessidade de calcular a Função de Transferência malha fechada.
No vídeo anterior você aprendeu como calcular o erro regime para entradas
degrau, rampa e parábola a partir da Função de Transferência do sistema.
Mas você fez isso considerando que o sistema estava malha aberta ou
outras palavras que o degrau,
a rampa ou a parábola eram as entradas do sistema malha aberta.
Na verdade, isso não é problema tão grande já que a malha aberta e
a malha fechada são conceitos relativos.
Se você considerar que a entrada do sistema é R de s e a saída é Y de s,
T de s é a Função de Transferência malha aberta de R para Y.
Então se você já tiver o T de s você já sabe como calcular o
erro regime para as entradas mais comuns.
Mas é possível, e até mais fácil, calcular o erro regime de T
de s para entradas degrau, rampa e parábola sem ter que obter T de s.
Nesse vídeo veremos então como calcular o erro
regime malha fechada a partir da Função de Transferência malha aberta.
Para isso então lembre que com controlo proporcional,
isso é ganho k, a Função de Transferência malha fechada fica T de s
igual a kG de s sobre 1 mais kG de s.
Por comodidade vamos definir novo elemento: a Função de Transferência
de malha denotada por L de s, que no nosso caso é simplesmente kG de s.
No momento a Função de Transferência de malha não parece ser muito útil,
mas no futuro, quando você usar controladores mais elaborados que o ganho
k, você verá que ela pode facilitar muito as coisas.
Parte do controle remoto, lembra?
Então, a expressão do erro que é R
menos Y função da Função de Transferência de malha fica R de s
menos L de s sobre 1 mais L de s vezes R de s.
Fazendo a subtração chegamos à conclusão que a Transformada de Laplace do
erro é dada por R de s vezes 1 sobre 1 mais L de s e podemos
usar o Teorema do Valor Final para obter o erro regime.
Se a entrada for degrau unitário, R de s é igual a 1 sobre s,
a expressão do erro fica: e de infinito igual a 1 sobre 1
mais limite quando s tende a 0 de L de s.
Então se o limite de L de s quando s tende a 0 existir e o erro realmente convergir
para valor constante, o erro regime para a entrada degrau é dado
por 1 sobre 1 mais esse limite e esse limite é definido como sendo a constante
de erro de posição do sistema, a qual denotamos por kp e podemos escrever
que o erro regime para uma entrada degrau é simplesmente 1 sobre 1 mais kp.
Podemos fazer a mesma coisa para uma entrada rampa,
com R de s igual a 1 sobre s ao quadrado.
A diferença é que ficamos apenas com o limite s L de s quando s tende
a 0 no denominador já que o limite de s quando s tende a 0 é 0.
E definindo a constante de erro de velocidade kv como esse limite,
o erro regime para uma entrada rampa, se ele existir fica 1 sobre kv.
Podemos fazer a mesma coisa para a entrada parábola e definimos
ka como o limite de s ao quadrado L de s quando s tende a 0.
Muito bem, agora já temos expressões para o erro
regime para as 3 entradas função das constantes de erro,
que por sua vez são funções da Função de Transferência de malha.
Vamos agora tentar descobrir alguma relação entre
a Função de Transferência de malha aberta e essas constantes de erro.
Vamos partir da Função de Transferência malha aberta com o denominador
fatorado e escrever nossas constantes de erro.
Note que se a Função de Transferência malha aberta não tiver
polos na origem temos kp igual a k vezes G de 0,
kv igual a 0 e ka igual a 0.
Se a Função de Transferência malha aberta tiver polo
na origem temos kp igual a infinito e ka igual a 0.
Daqui a pouco voltamos ao kv para esse caso.
Finalmente se a Função de Transferência malha aberta tiver 2 polos
na origem temos kp igual a infinito, kv igual a infinito e podemos calcular ka.
Vamos resumir nossas descobertas uma tabela.
Então se o sistema malha aberta não tem polos na origem kv e
ka são 0 e se o sistema tem 2 polos na origem kp e kv são infinito.
Definimos o que chamamos de tipo numérico do sistema como
a quantidade de polos que a Função de Transferência tem na origem.
Então sistema do tipo 0 não tem nenhum polo na origem,
sistema do tipo 1 tem 1 polo na origem e assim por diante.
Então trocamos a quantidade de polos na origem pelo tipo numérico do sistema
e ao invés dos valores das constantes de erro,
podemos escrever o erro regime permanente para cada entrada,
lembrando que o erro para degrau é 1 sobre 1 mais kp,
o erro para a rampa é sobre kv e o erro para a parábola é 1 sobre ka.
E verificamos que sistema do tipo 0 malha aberta
apresenta erro regime infinito para uma entrada degrau malha fechada,
mas erro que diverge para entradas rampa e parábola.
Sistema do tipo 1 malha aberta apresenta erro
regime nulo para entrada degrau malha fechada,
erro finito para uma entrada rampa e erro que diverge para uma entrada parábola.
Finalmente sistema do tipo 2 malha aberta apresenta erro regime nulo
para entradas degrau e rampa malha fechada e erro finito para entrada parábola.
Se tivermos sistema do tipo 3 ele apresentará erro
regime nulo para a entrada degrau, rampa e parábola malha fechada.
Bem, falta agora vermos como obter kv para sistema do tipo 1 e como obter ka para
sistema do tipo 2 e até mesmo kp para sistema do tipo 0.
Sabemos que kp é k vezes G de 0,
mas como obter esse valor rapidamente?
Isso fica mais fácil se os polinômios do numerador e do denominador estiverem
na forma expandida ou apenas com os polos na origem evidência e
nesse caso G de 0 é apenas b0 sobre a0
e a constante de erro de posição é k vezes b0 sobre a0.
Se o sistema for do tipo 1 não temos o elemento a0 no denominador.
Normalmente o polo na origem fica
evidência e podemos obter facilmente a constante de erro de velocidade.
A constante de erro de aceleração é obtida de forma similar.
Então a construção de nosso atalho pode ter dado algum
trabalho mas agora ficou muito simples calcular o erro
regime permanente a partir da Função de Transferência malha aberta.
Só tome cuidado para usar a coluna correta, verificando quantos polos o
sistema malha aberta tem na origem e certifique-se de que o sinal não diverge.
Além disso, essas fórmulas só valem para o controlo proporcional com realimentação
unitária, o que pode não ser o caso outros cursos e na vida real.
Note também que se aumentarmos o
ganho k estaremos diminuindo o erro regime para a entrada correspondente uma vez que
todas as fórmulas de erro têm o ganho no denominador.
Além disso lembra do vídeo sobre as vantagens da realimentação?
Quanto maior o ganho menor é a sensibilidade do sistema a erros na
modelagem e a perturbações.
Mais lembre também que já vimos alguns casos onde
ganho elevado demais deixa o sistema instável malha fechada,
então não ache que você sempre poderá aumentar o ganho indefinidamente
para rejeitar perturbações e atender requisitos de regime,
você pode acabar deixando o sistema instável.
Muito bem, agora dada a Função de Transferência do sistema
malha aberta você já deve ser capaz de calcular o erro regime
permanente para entradas degrau, rampa e parábola malha fechada,
sem a necessidade de calcular a Função de Transferência malha fechada.
[MÚSICA] [SOM]
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