[MÚSICA] [MÚSICA] Após esse vídeo, dada a Função de Transferência do sistema malha aberta, você será capaz de calcular o erro regime permanente para entradas degrau, rampa e parábola para sistema malha fechada, sem a necessidade de calcular a Função de Transferência malha fechada. No vídeo anterior você aprendeu como calcular o erro regime para entradas degrau, rampa e parábola a partir da Função de Transferência do sistema. Mas você fez isso considerando que o sistema estava malha aberta ou outras palavras que o degrau, a rampa ou a parábola eram as entradas do sistema malha aberta. Na verdade, isso não é problema tão grande já que a malha aberta e a malha fechada são conceitos relativos. Se você considerar que a entrada do sistema é R de s e a saída é Y de s, T de s é a Função de Transferência malha aberta de R para Y. Então se você já tiver o T de s você já sabe como calcular o erro regime para as entradas mais comuns. Mas é possível, e até mais fácil, calcular o erro regime de T de s para entradas degrau, rampa e parábola sem ter que obter T de s. Nesse vídeo veremos então como calcular o erro regime malha fechada a partir da Função de Transferência malha aberta. Para isso então lembre que com controlo proporcional, isso é ganho k, a Função de Transferência malha fechada fica T de s igual a kG de s sobre 1 mais kG de s. Por comodidade vamos definir novo elemento: a Função de Transferência de malha denotada por L de s, que no nosso caso é simplesmente kG de s. No momento a Função de Transferência de malha não parece ser muito útil, mas no futuro, quando você usar controladores mais elaborados que o ganho k, você verá que ela pode facilitar muito as coisas. Parte do controle remoto, lembra? Então, a expressão do erro que é R menos Y função da Função de Transferência de malha fica R de s menos L de s sobre 1 mais L de s vezes R de s. Fazendo a subtração chegamos à conclusão que a Transformada de Laplace do erro é dada por R de s vezes 1 sobre 1 mais L de s e podemos usar o Teorema do Valor Final para obter o erro regime. Se a entrada for degrau unitário, R de s é igual a 1 sobre s, a expressão do erro fica: e de infinito igual a 1 sobre 1 mais limite quando s tende a 0 de L de s. Então se o limite de L de s quando s tende a 0 existir e o erro realmente convergir para valor constante, o erro regime para a entrada degrau é dado por 1 sobre 1 mais esse limite e esse limite é definido como sendo a constante de erro de posição do sistema, a qual denotamos por kp e podemos escrever que o erro regime para uma entrada degrau é simplesmente 1 sobre 1 mais kp. Podemos fazer a mesma coisa para uma entrada rampa, com R de s igual a 1 sobre s ao quadrado. A diferença é que ficamos apenas com o limite s L de s quando s tende a 0 no denominador já que o limite de s quando s tende a 0 é 0. E definindo a constante de erro de velocidade kv como esse limite, o erro regime para uma entrada rampa, se ele existir fica 1 sobre kv. Podemos fazer a mesma coisa para a entrada parábola e definimos ka como o limite de s ao quadrado L de s quando s tende a 0. Muito bem, agora já temos expressões para o erro regime para as 3 entradas função das constantes de erro, que por sua vez são funções da Função de Transferência de malha. Vamos agora tentar descobrir alguma relação entre a Função de Transferência de malha aberta e essas constantes de erro. Vamos partir da Função de Transferência malha aberta com o denominador fatorado e escrever nossas constantes de erro. Note que se a Função de Transferência malha aberta não tiver polos na origem temos kp igual a k vezes G de 0, kv igual a 0 e ka igual a 0. Se a Função de Transferência malha aberta tiver polo na origem temos kp igual a infinito e ka igual a 0. Daqui a pouco voltamos ao kv para esse caso. Finalmente se a Função de Transferência malha aberta tiver 2 polos na origem temos kp igual a infinito, kv igual a infinito e podemos calcular ka. Vamos resumir nossas descobertas uma tabela. Então se o sistema malha aberta não tem polos na origem kv e ka são 0 e se o sistema tem 2 polos na origem kp e kv são infinito. Definimos o que chamamos de tipo numérico do sistema como a quantidade de polos que a Função de Transferência tem na origem. Então sistema do tipo 0 não tem nenhum polo na origem, sistema do tipo 1 tem 1 polo na origem e assim por diante. Então trocamos a quantidade de polos na origem pelo tipo numérico do sistema e ao invés dos valores das constantes de erro, podemos escrever o erro regime permanente para cada entrada, lembrando que o erro para degrau é 1 sobre 1 mais kp, o erro para a rampa é sobre kv e o erro para a parábola é 1 sobre ka. E verificamos que sistema do tipo 0 malha aberta apresenta erro regime infinito para uma entrada degrau malha fechada, mas erro que diverge para entradas rampa e parábola. Sistema do tipo 1 malha aberta apresenta erro regime nulo para entrada degrau malha fechada, erro finito para uma entrada rampa e erro que diverge para uma entrada parábola. Finalmente sistema do tipo 2 malha aberta apresenta erro regime nulo para entradas degrau e rampa malha fechada e erro finito para entrada parábola. Se tivermos sistema do tipo 3 ele apresentará erro regime nulo para a entrada degrau, rampa e parábola malha fechada. Bem, falta agora vermos como obter kv para sistema do tipo 1 e como obter ka para sistema do tipo 2 e até mesmo kp para sistema do tipo 0. Sabemos que kp é k vezes G de 0, mas como obter esse valor rapidamente? Isso fica mais fácil se os polinômios do numerador e do denominador estiverem na forma expandida ou apenas com os polos na origem evidência e nesse caso G de 0 é apenas b0 sobre a0 e a constante de erro de posição é k vezes b0 sobre a0. Se o sistema for do tipo 1 não temos o elemento a0 no denominador. Normalmente o polo na origem fica evidência e podemos obter facilmente a constante de erro de velocidade. A constante de erro de aceleração é obtida de forma similar. Então a construção de nosso atalho pode ter dado algum trabalho mas agora ficou muito simples calcular o erro regime permanente a partir da Função de Transferência malha aberta. Só tome cuidado para usar a coluna correta, verificando quantos polos o sistema malha aberta tem na origem e certifique-se de que o sinal não diverge. Além disso, essas fórmulas só valem para o controlo proporcional com realimentação unitária, o que pode não ser o caso outros cursos e na vida real. Note também que se aumentarmos o ganho k estaremos diminuindo o erro regime para a entrada correspondente uma vez que todas as fórmulas de erro têm o ganho no denominador. Além disso lembra do vídeo sobre as vantagens da realimentação? Quanto maior o ganho menor é a sensibilidade do sistema a erros na modelagem e a perturbações. Mais lembre também que já vimos alguns casos onde ganho elevado demais deixa o sistema instável malha fechada, então não ache que você sempre poderá aumentar o ganho indefinidamente para rejeitar perturbações e atender requisitos de regime, você pode acabar deixando o sistema instável. Muito bem, agora dada a Função de Transferência do sistema malha aberta você já deve ser capaz de calcular o erro regime permanente para entradas degrau, rampa e parábola malha fechada, sem a necessidade de calcular a Função de Transferência malha fechada. [MÚSICA] [SOM] [SOM]
