[MÚSICA] Após esse vídeo, dada a função de transferência de sistema você será capaz de calcular o erro regime permanente para entradas degrau, rampa e parábola sem a necessidade de calcular a resposta completa do sistema. Você já viu que dos requisitos do sistema está relacionado com a referência ou com o sinal de erro. Normalmente vamos querer que o sinal de saída acompanhe a referência perfeitamente ou, pelo menos, com erro muito pequeno. Por isso, tanto para a análise quanto para o projeto é preciso saber calcular rapidamente o valor do erro regime função dos parâmetros do sistema e do controlador. E por quê nos interessamos pelo erro para entradas degrau, rampa e parábola? Simples, porque essas são as referências mais comuns quando temos requisito de erro regime permanente. A entrada degrau representa valor constante que se quer atingir, por exemplo, a altura para avião, helicóptero ou drone, ou uma temperatura para corpo, ou a direção de apontamento para radar. Essas são todas entradas degrau, valor constante a ser atingido e é muito comum querermos que a saída do sistema chegue a esse valor sem erro ou com erro muito pequeno. A entrada rampa representa perfil com velocidade constante a ser seguido. Por exemplo, para o pouso de aeronave ou para radar acompanhar satélite com velocidade angular constante, ou ainda se temos perfil muito específico de temperatura ou de resfriamento de material, ou ainda para uma câmera acompanhar uma bola ou jogador correndo a uma velocidade constante. Sempre que temos uma velocidade constante e queremos acompanhar a posição temos entrada rampa. A entrada parábola é menos comum, mas também temos bom exemplo para ela. Uma parábola corresponde a uma aceleração constante como, por exemplo, no lançamento de foguete. Seguir uma entrada parábola significa seguir perfil de aceleração ou desaceleração constante atingindo a posição desejada sem erro. Mas vamos ao que interessa, calcular o erro regime para essas entradas. Por exemplo, dada a seguinte função de transferência 1 sobre s mais 1 s mais 2. Qual o erro regime permanente para uma entrada degrau unitário? Podemos obter a transformada de Laplace da saída multiplicando a Função de Transferência pela transformada da entrada e a 1 sobre s e então subtraímos a saída da entrada para obter o erro. Tirando o mínimo e fazendo a subtração obtemos a Transformada de Laplace do erro. Expandimos a transformada do erro frações parciais, achamos os resíduos A, B e C e obtemos e de t usando uma tabela de Transformadas de Laplace. E para t grande o suficiente, como as duas exponenciais tendem a 0, o erro tende a 0,5. Vamos denotar o valor final por e de infinito ou e ss de steady state, que significa estado estacionário inglês. Note que não precisávamos ter calculado os resíduos das outras frações, só precisamos calcular o resíduo referente à fração com denominador s uma vez que a transformada inversa das outras frações tende a 0 com o passar do tempo. Ou seja, uma vez tendo a expressão para a transformada de Laplace do erro, o valor final será o resíduo da fração com denominador s, que podemos obter multiplicando a transformada do erro por s e fazendo s igual a 0. Note, no entanto, que os denominadores das outras frações parciais precisam ter parte real negativa, caso contrário as transformadas inversas dessas frações não tenderão a 0 e não teremos valor final para o erro, ele aumentará indefinidamente ou ficará oscilando. Lembra do Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace? Ele diz que se existir valor final este valor final pode ser calculado como o limite quando s tende a 0 e s vezes a Transformada de Laplace do sinal. Então, no fundo, ao calcularmos apenas o resíduo da fração com denominador s estamos aplicando o Teorema do Valor Final. Vamos fazer a mesma coisa para uma função de transferência pouco diferente. G de s será 2 sobre s mais 1 s mais 2. A transformada do erro é a transformada da entrada menos a transformada da saída. Fazendo a subtração das frações e simplificando chegamos a resultado interessante, o s do denominador foi cancelado com o s do numerador e não temos uma fração parcial com denominador s. Creio que você já sabe que a transformada inversa de A sobre s mais 1 é A vezes a exponencial de -t e que a transformada inversa de B sobre s mais 2 é B vezes a exponencial de -2 t. Não sabe? Nem precisa olhar na tabela. Como as exponenciais tendem a 0 com o passar do tempo, o erro tende a 0. Ao invés de obter a transformada do erro e depois o valor final do erro, podemos obter o valor final da saída e subtraí-lo do valor da entrada. Voltando ao primeiro exemplo e usando o teorema do valor final, chegamos à conclusão de que o valor final da saída é meio e o erro regime será meio. No segundo exemplo, o valor final de y será 1 e o erro regime será 0. Então, você acha mais fácil obter a transformada do erro e depois o valor final do erro? Ou é melhor achar o valor final da saída e depois o erro? Vamos ver mais exemplo: e se a função de transferência for essa aqui G de s igual a s ao quadrado mais 6 s mais 9 sobre s ao cubo mais 8 s ao quadrado mais 17 s mais 10. O valor regime de y é 0,9 e o erro regime para uma entrada degrau unitário é 0,1, mas como? Na verdade, é bastante simples. Y de s é G de s, u de s e como temos uma entrada degrau u de s é 1 sobre s e por causa do Teorema do Valor Final vamos multiplicar Y de s por s. O s do Teorema do Valor Final se cancela com o 1 sobre s do degrau e para achar o valor da saída regime permanente basta fazer todos os s iguais a 0, o que equivale a sumir com todos os termos com s G de s. E pronto, o valor regime da saída é 9 décimos. Simples, não? Então, só precisamos olhar para os termos que não têm s na função de transferência, mas isso se estivermos interessados no erro para uma entrada degrau. E se o degrau não for unitário? Se, por exemplo, o degrau tiver valor 5. Lembre-se, o sistema é linear então a saída para 5 vezes a entrada é simplesmente 5 vezes a saída e o erro para degrau de amplitude 5 será 5 vezes o erro para degrau unitário. Vamos ver mais exemplo. Função de Transferência s ao quadrado mais 29 s mais 208 sobre s ao cubo mais 6 s ao quadrado mais 10 s mais 208. Qual o erro regime para entrada degrau de amplitude 10? Erro regime 0? Não! Pegadinha! Yeah, yeah! Jazinga! A saída diverge e não tem valor final. O sistema é BIBO instável. Confira no replay. Pode isso, Arnaldo? Então, verifique usando a Routh-Hurwitz que esse sistema não é estável. Então, não existe uma valor final para uma entrada degrau. No caso de uma entrada rampa, a saída do sistema não tem valor final, então não podemos calcular o y de infinito. Nesse caso realmente precisamos obter a expressão para e de s e aplicar o Teorema do Valor Final e de s para obter e de infinito, mas também precisamos verificar se e de t realmente está indo para valor final. Vamos usar novamente o primeiro exemplo de Função de Transferência 1 sobre s mais 1 s mais 2 e agora nossa entrada é uma rampa unitária. Qual é o erro regime? O erro é U- Y e Y é G vezes U e podemos escrever E de s é igual a 1 menos G de s vezes U de s. Calculando 1 menos G de s para o nosso exemplo obtemos s ao quadrado mais 3 s mais 1 sobre s mais 1 s mais 2. Multiplicando esse resultado pela transformada da na entrada, que é 1 sobre s quadrado, obtemos a expressão para i de s. Note que na expansão frações parciais temos agora uma fração com denominador s ao quadrado, e a inversa dessa fração resulta uma rampa. Para que o erro tenda a valor finito precisamos ter o resíduo b igual a 0. Se b for maior que 0, o erro está aumentando indefinidamente. Infelizmente nesse caso b é igual a meio e teremos fator 0,5 vezes t no sinal do erro, que aumenta indefinidamente conforme o tempo passa. Analisando apenas o resíduo de 1 sobre s ao quadrado não podemos dizer muita coisa sobre o que acontece nos instantes logo após a aplicação da entrada rampa, mas podemos dizer que, depois de algum tempo, a saída não consegue acompanhar a entrada e o erro aumenta indefinidamente, como ilustrado nesse gráfico. Vamos calcular agora o e "iii" para aumentar a entrada rampa para a função de transferência que apresenta erro 0 para uma entrada integral. 2 sobre s mais 1 s mais 2, a fórmula do erro é a mesma: E de s é igual 1 menos G de s vezes U de s, mas agora, 1 menos G de s é igual a s ao quadrado mais 3s sobre s mais 1, s mais 2. Multiplicamos 1 menos G de s por 1 sobre s ao quadrado que é a transformada da rampa e verificamos que podemos simplificar s no numerador e no denominador. E agora a expansão frações parciais não tem mais uma fração com denominador s ao quadrado, calculando o resíduo a, chegamos a a igual a 1,5 e a expressão para o erro é: 1,5 mais b vezes e a menos t, mais c vezes z a menos 2t, ou seja, o erro para uma entrada rampa tende a 1,5. Novamente não podemos precisar os instantes iniciais sem calcular os outros resíduos, mas sabemos que depois de algum tempo a saída irá acompanhar a entrada com erro que tende a 1,5. Vamos agora usar uma função de transferência literal e calcular o erro para uma entrada parábola. A fórmula do erro é a mesma: E de s é igual a 1 menos G de s vezes U de s, mas agora temos uma expressão literal para 1 menos G de s, e multiplicamos 1 menos G de s, por 1 sobre s ao cubo, que é a transformada da parábola. A expansão frações parciais teria então termos 1 sobre s ao quadrado e 1 sobre s ao cubo, além dos termos referentes aos polos da função de transferência que consideramos ser instável. Se b ou c forem diferentes de 0, o erro difere. Note que, para que c seja igual a 0, precisamos ter f igual a c. Se isso acontecer, a expressão de E de s pode ser simplificada, uma vez que podemos cancelar fator s comum no numerador e no denominador. Agora, para que B também seja 0, precisamos ter E igual a B e novamente podemos simplificar a expressão de E de s. E agora podemos calcular o E "iii", que é d menos a, sobre f. Para termos erro finito para uma entrada parábola precisamos ter então: c igual a f e b igual a e, e o erro será d menos a sobre f. Note que se a é igual a d, teremos erro nulo regime para uma entrada parábola. Note também que c e f, e b e, são os coeficientes de mesma potência de s no numerador e no denominador da função de transferência. Se fizermos a mesma análise literal para a entrada rampa, chegaremos à conclusão de que precisamos ter c igual a f, para que o erro não divirja e que nesse caso o erro para entrada rampa será e menos b sobre f. E fazendo a análise literal para a entrada integral, chegamos à conclusão de que o e "iii" para uma entrada integral é f menos c sobre f. Note que todos os casos estamos fazendo uma divisão por f, então a função de transferência não pode ter polos na origem, na verdade, mais que isso, o sistema precisa ser estável. Então, se os coeficientes de s elevado a 0 são diferentes, temos erro finito para a entrada de grau, dado por f menos c sobre f, e erro infinito para entradas rampa e parábola. Se os coeficientes de s elevado a 0 são iguais, temos erro 0 para a entrada degrau. Se tivermos erro 0 para degrau e os coeficientes de s elevado a 1 forem diferentes, temos erro finito para entrada rampa, dado por e menos b sobre f e erro infinito para entrada parábola. Se tivermos erro 0 para entrada degrau e os coeficientes de s elevado a 1 forem iguais, temos erro 0 para entrada rampa. Se tivermos erro 0 para entrada rampa e os coeficientes de s ao quadrado forem diferentes, temos erro finito para entrada parábola dado por d menos a sobre f. Se tivermos erro 0 para entrada rampa e os coeficientes de s elevado ao quadrado forem iguais, temos erro 0 para entrada parábola. Caso você utilize entradas diferentes, você pode usar o mesmo procedimento que acabamos de usar para determinar o valor do erro função dos coeficientes da função de transferência. O teorema do valor final pode ser aplicado desde que o sinal realmente tenda a valor constante quando tem aumento. O fato de acharmos valor finito quando usamos o teorema não garante que o erro tenda a valor constante uma vez que ele pode conter outras componentes que vão divergir ou oscilar indefinidamente. Agora, dada a função de transferência do sistema, você já deve ser capaz de calcular o e regime permanente para entradas degrau, rampa e parábola sem a necessidade de calcular a resposta completa do sistema. [MÚSICA] [RUÍDO]
