[MÚSICA] Após esse vídeo, dada a função de transferência malha aberta do sistema, você será capaz de obter a função de transferência malha fechada. Você também será capaz de explicar as vantagens do controle com realimentação. Primeiro vamos facilitar pouco a nossa vida. Como nesse curso só falamos da BIBO estabilidade, daqui diante eu vou me referir à BIBO estabilidade apenas como estabilidade. Outros cursos você poderá trabalhar com diferentes tipos de estabilidade. Então quando eu disser que sistema é estável ou instável, eu estou querendo dizer que ele é BIBO estável ou BIBO instável. De vez quando, eu posso até usar BIBO aqui ou BIBO ali, só para lembrar que estamos falando da BIBO estabilidade. Muito bem! Você já sabe o que é sistema, como obter a função de transferência de sistema e já sabe como verificar a estabilidade de sistema e sabe também que o controle pode ser realizado malha aberta ou malha fechada. Vamos ver as vantagens do controle malha fechada. Mas primeiro vamos ver como obter a função de transferência malha fechada a partir da função de transferência malha aberta. Aqui temos nosso sistema malha fechada representado diagrama de blocos no domínio transformado. A função de transferência do sistema é G(s) e o controlador será ganho k. G(s) é a razão entre Y(s) e U(s), mas agora queremos a razão entre Y(s) e R(s), assim poderemos obter facilmente a transformada da saída Y(s) para diferentes sinais de referência e também poderemos avaliar a estabilidade do sistema malha fechada. Vamos então tentar escrever Y(s) função de R(s) e então poderemos escrever a razão Y(s) sobre R(s). Podemos escrever U(s) igual a k vezes E(s) e Y(s) igual a G(s) vezes U(s). E então temos: Y(s) igual a G(s) vezes k vezes E(s) e E(s) nada mais é do que R(s) menos Y(s). Substituindo E(s) na equação de Y(s) obtemos: Y(s) igual a k G(s) vezes R menos Y. E fazendo a multiplicação chegamos a Y igual a k G R menos k G Y. Passamos o termo com Y para a esquerda da igualdade e colocamos Y evidência e finalmente podemos escrever a razão entre Y(s) e R(s). Se escrevermos a função de transferência malha aberta como a razão de dois polinômios, N de G(s) e D(G(s)), podemos escrever a função de transferência malha fechada função desses mesmos polinômios e a razão Y sobre R pode ser escrita como k numerador sobre denominador mais k numerador. A função de transferência malha fechada comumente é denotada por T(s). Então temos: T(s) igual a k G sobre 1 mais k G ou k numerador sobre denominador mais k numerador. E podemos representar o sistema pela função de transferência malha fechada. Muito bem. Agora que você já sabe como obter a função de transferência malha fechada a partir da função de transferência malha aberta, podemos falar sobre as vantagens do controle com realimentação. Com realimentação e controle proporcional, podemos tornar sistema instável malha aberta estável malha fechada, mas isso não vale para todos os sistemas, apenas para alguns. O mesmo não acontece com o controle malha aberta. Vamos ver exemplo simples: a função de transferência malha aberta é 1 / (s- 1), malha fechada temos T(s) igual a k / (s- 1 + k). Assim para k maior que 1, por exemplo, 2 o sistema malha fechada é estável. Malha aberta o ganho altera apenas o numerador, não alterando assim a estabilidade do sistema. Note no entanto que se a função de transferência malha aberta for 1 / (s ao quadrado- 2s- 2), o sistema malha fechada continuará instável para qualquer valor de ganho k. Verifique usando o Routh-Hurwitz. Mas podemos estabilizar este sistema usando controladores mais elaborados, o que é assunto de outros cursos. Por enquanto é suficiente você saber que a realimentação é capaz de estabilizar alguns sistemas instáveis malha aberta. Outra vantagem da realimentação é que com ela o sistema fica menos sensível a variações ou erros de modelagem no sistema e a variações ou erros de implementação no controlador, no nosso caso no ganho. Vamos comparar o controle malha aberta e o controle malha fechada na presença de erro de modelagem. Para facilitar os cálculos, mas sem perder a representatividade do exemplo vamos fazer G(s) igual a ganho A. Malha aberta a transformada da saída é k x A x R(s). Malha fechada a transformada da saída é (k x A / (1 + k x A )) x R(s). Vamos considerar agora que o valor correto seja A mais B. Malha aberta temos: Y real de s igual a k x (A + B) x R(s). E malha fechada temos Y real de s igual a k x (A + B) / (1 + k x (A + B) x R(s). E agora vamos comparar a saída nominal considerando apenas A com a saída real, considerando A mais B nos 2 casos. Malha aberta a saída real menos a saída nominal que seria o erro fica k vezes B vezes a entrada. Malha fechada a expressão para o erro fica pouco mais complicada, mas nem tanto. Para facilitar a comparação, vamos analisar o erro relativo, ou seja, o erro sobre o valor real. Malha aberta o erro relativo é B / (A + B). Malha fechada o erro relativo é B / (1 + k A) (A + B). Podemos ver que o erro malha fechada é o erro malha aberta multiplicado por fator 1 sobre 1 mais k A e se k A for maior que 0, o erro malha fechada será menor que o erro malha aberta. Vamos considerar por exemplo que o erro no modelo seja de 20%, isto é, B é igual a 0,2 vezes A e vamos considerar também que k vezes A tenha valor 10, que é valor bem razoável. Nesse caso erro de 20% no modelo leva a erro de 17% no cálculo da saída malha aberta. Mas se o sistema estiver malha fechada, o erro será de apenas 1,5%. Se ao invés de 10 k vezes A fosse apenas 2, o erro relativo malha fechada seria de 5,6%. Ainda consideravelmente menor do que o erro malha aberta. Observe que malha fechada podemos diminuir a sensibilidade do sistema a erros no modelo, aumentando o ganho do controlador. Quanto maior o valor de k, menor será o efeito dos erros de modelagem na estimação da saída. Você pode fazer a mesma análise considerando erro na implementação do ganho. Suponha que você queira usar ganho k, mas por erro de implementação o ganho real seja k mais q. Vamos considerar agora o efeito da perturbação. Para isso precisamos alterar o diagrama de blocos para acrescentar esse efeito. Eu já tinha citado a perturbação. Ela representa as entradas não manipuladas, como rajadas de vento no caso de uma aeronave ou a temperatura ambiente no caso de forno. A entrada do sistema é então a soma da perturbação representada por N com a saída do controlador, que no nosso caso é ganho simples. Novamente para facilitar os cálculos mas sem prejudicar a nossa análise, G(s) será simplesmente ganho A. As saídas nominais são as mesmas calculadas anteriormente, basta considerar N(s) igual a 0 e temos o caso nominal sem perturbação. Então vamos apenas copiar as saídas nominais malha aberta e malha fechada e agora vamos calcular as saídas reais com a presença da perturbação. Para a malha aberta o cálculo da saída real é bem simples, basta adicionar o efeito da perturbação. Para a malha fechada vamos calcular a saída real passo a passo. Primeiro escrevemos G(s), seguida U(s) função de E e de N e substituímos E(s) que já temos. Finalmente podemos escrever Y(s) como A vezes U(s) que acabamos de obter e podemos escrever Y(s) função de R e N. E agora podemos escrever a variação da saída devido à perturbação malha aberta e malha fechada. Malha aberta a variação da saída é A vezes a perturbação e malha fechada a variação é 1 / (1 + k A) vezes a variação malha aberta. Novamente para k A maior que 0 o efeito da perturbação é menor malha fechada e quanto maior o valor do ganho, menor é o efeito da perturbação na saída. Já malha aberta não conseguimos alterar o efeito da perturbação na saída. As vantagens do controle malha fechada, também chamado de controle com realimentação, são então a possibilidade de estabilizar sistema instável malha aberta, a redução dos efeitos de erros de modelagem e implementação e a redução do efeito de perturbações. Então por que não usamos sempre o controle de realimentação? Simples, porque ele exige componente a mais: sensor para constantemente medir a saída e poder subtrair esse sinal na entrada. Esses sensores podem ser muito caros e podem adicionar uma complexidade desnecessária ao sistema. Se o sistema é estável malha aberta e podemos tolerar os efeitos dos erros de modelagem e implementação e das perturbações, pode ser mais vantajoso usar o controle malha aberta. Alguns casos, ganho inadequado pode até mesmo deixar o sistema malha fechada instável, mesmo o sistema malha aberta sendo estável. Veremos exemplo disso no próximo vídeo. Agora dada a função de transferência malha aberta de sistema, você já deve ser capaz de obter a função de transferência malha fechada. Você também deve ser capaz de explicar as vantagens do controle com realimentação. [MÚSICA] [SOM] [SOM]
