Olá, nesta aula veremos como obter realizações de funções de transferência a tempo discreto no espaço de estados. Tomando a função de transferência a tempo discreto G de z igual a p de z sobre q de z que p de z e q de z são polinômios da variável z então podemos obter a equação a diferença associada, fazendo q de z vezes Y de z igual a p de z vezes U de z. Desta equação podemos obter a equação a diferenças trocando os termos que envolvem z elevado a zero U de z por u de k e z elevado a zero Y de z por y de k. Z elevado a U de z é trocado por u de k mais e z elevado a Y de z é trocado por y de k mais. Seguida, z ao quadrado U de z é substituído por u de k mais dois e z ao quadrado Y de z é substituído por y de k mais dois e assim sucessivamente até atingir z elevado a n. Então a equação a diferenças pode ser obtida diretamente dos coeficientes de p de z e q de z e considerando cada aumento na potência de z como avanço de período de amostragem no sinal a tempo discreto. Vamos olhar exemplo para entender este procedimento. Seja o sistema modelado por G de z igual a p de z sobre q de z que é igual a sobre z ao quadrado mais zero vírgula z mais zero vírgula cinco. Assim, encontra-se q de z Y de z igual a p de z U de z o que implica que z ao quadrado mais zero vírgula z mais zero vírgula cinco tudo isso vezes Y de z é igual a U de z. A seguir substituindo os sinais no domínio do tempo com os avanços iguais ao grau de cada potência de z ficamos com y de k mais dois mais zero vírgula y de k mais mais zero vírgula cinco y de k igual a u de k. A partir desse passo intermediário podemos definir variáveis de estado como combinações lineares das saídas, por exemplo, e assim obtemos modelos no espaço de estados Transformando a equação a diferenças de ordem n n equações a diferenças de ordem. Por exemplo, prosseguindo, vamos definir x de k igual a y de k e x dois de k igual a y de k mais. Então, o x de k mais é igual ao y de k mais que por sua vez é igual a x dois de k. E o x dois de k mais é igual ao y de k mais mais que é igual ao y de k mais dois. Da equação a diferenças podemos obter que y de k mais dois é igual a menos zero vírgula y de k mais menos zero vírgula cinco y de k mais u de k que é por sua vez igual a menos zero vírgula x dois de k menos zero vírgula cinco x de k mais u de k. Na forma matricial podemos escrever empilhando x de k mais e x dois de k mais no vector x negrito de k mais igual a matriz A zero menos zero vírgula cinco menos zero vírgula vezes x de k x dois k que é o vector x negrito de k mais a matriz B zero vezes u de k. O vector x negrito de k é chamado de vector de estados dos sistema. A matriz A é a matriz de estado e a matriz B é a matriz de entrada ou matriz de controle. A saída y de k pode ser facilmente escrita como combinação linear dos estados e do sinal de controle. Nesse caso temos y de k igual a x de k que é igual a matriz C dada por zero vezes x negrito de k. A matriz C é chamada de matriz de saída do sistema. Neste exemplo o numerador só tinha a potência z zero o que faz com que não apareçam combinações lineares da entrada com o avanço de tempo mas apenas o seu valor atual U de k. Isso é positivo porque o modelo no espaço de estados tem como entrada única U de k. Caso o polinômio p de z fosse outro, como lidaríamos com a presença de U de k mais por exemplo, para obter o modelo no espaço de estados? Vamos aprender por meio de exemplo. Seja o sistema modelado por G de z igual a p de z sobre q de z que é igual a z menos zero vírgula cinco sobre z ao quadrado mais zero vírgula z mais zero vírgula cinco. Assim, encontra-se que q de z vezes y de z igual a p de z vezes U de z. O que resulta z ao quadrado mais zero vírgula z mais zero vírgula cinco tudo isso vezes y de z igual a z menos zero vírgula cinco vezes U de z. A seguir, substituindo os sinais no domínio do tempo com os avanços iguais ao grau de cada potência de z ficamos com y de k mais dois mais zero vírgula y de k mais mais zero vírgula cinco y de k igual a u de k mais menos zero vírgula cinco u de k. Vamos agora usar artifício definindo W de z igual a y de z sobre p de z. Então, W de z é igual G de z vezes U de z sobre p de z que é igual a p de z sobre q de z vezes sobre p de z vezes U de z e podemos cancelar p de z no numerador e no denominador resultando W de z igual a U de z sobre q de z. Assim, obtemos a equação a diferenças w de k mais dois mais zero vírgula w de k mais mais zero vírgula cinco w de k igual a u de k. Tomando as variáveis de estado x de k igual a w de k e x dois de k igual w de k mais temos então, x de k mais igual a w de k mais que é igual a x dois de k. Por sua vez, x dois de k mais é igual a w de k mais mais que é igual a w de k mais dois. Da equação a diferenças anterior, tiramos então w de k mais dois igual a menos zero vírgula w de k mais menos zero vírgula cinco w de k mais u de k, que é igual a menos zero vírgula x dois de k menos zero vírgula cinco x de k mais u de k. Na fórmula matricial pode-se escrever então x negrito de k mais igual a A que é igual a zero menos zero vírgula cinco menos zero vírgula vezes x negrito de k mais B que é igual a zero vezes u de k. Contudo o que obtivemos foi a equação para combinações lineares de W e u. Como obter y? Retornando a relação entre W de z e y de z temos que W de z é igual a y de z sobre p de z o que implica que o y de z é igual ao p de z vezes o W de z. Usando processo similar ao aplicado anteriormente entre U de z e W de z a equação a diferenças resultante é obtida nesse exemplo usando os coeficientes de p de z que é igual a z menos zero vírgula cinco. Assim ficamos com y de k igual w de k mais menos zero vírgula cinco w de k. Só que w de k mais é x dois de k e w de k é x de k, então ficamos com y de k igual a x dois de k menos zero vírgula cinco x de k que é igual à matriz C dada por menos zero vírgula cinco vezes o vector x negrito de k. Nesta aula vimos como obter modelos no espaço de estados a partir de funções de transferência. Na próxima aula aprenderemos a conversão inversa, isto é, dado uma descrição de modelo de espaço de estados, como encontrar a função de transferência associada
