Olá! Na aula passada vimos uma primeira maneira de se obter funções de transferência de tempo discreto cuja resposta seja aproximadamente a mesma de uma função de transferência de tempo contínuo. Nesta aula veremos como realizar aquelas aproximações mantendo certa característica da resposta frequência, por exemplo, frequência de cruzamentos de 0dB. Usando a aproximação de Tustin para a frequência s cont igual a j ômega cont, a função de transferência resultante manterá esta frequência para s cont igual a j ômega cont, por Tustin igual a dois sobre t vezes z cont menos sobre z cont mais. Por outro lado sabemos que se pode fazer a substituição z disc igual a e elevado a ômega disc vezes t, conforme vimos na aula 4, para se obter exatamente onde o plano s é mapeado no plano z. Fazendo esta substituição, s cont é igual j ômega cont por Tussin igual a dois sobre t vezes z cont menos sobre z cont mais que é equivalente a dois sobre t e elevado a j ômega disc T menos sobre e elevado a j ômega disc T mais. O último termo pode ser reescrito como dois sobre T e elevado a j ômega disc T sobre dois menos e elevado a menos j ômega disc T sobre dois sobre e elevado a j ômega disc T sobre dois mais e elevado a menos j ômega disc T sobre dois que é igual a dois sobre T j vezes a tangente de ômega disc T sobre dois. Observe então que temos a frequência ômega cont sendo mapeada por Tustin para o domínio z z cont porém sabemos que z cont é equivalente a e elevado a j ômega disc T. Então H de j ômega cont foi mapeada para H de e elevado j ômega disc T. com ômega cont igual a dois sobre T tangente de ômega disc T sobre dois, chamado o fenômeno de warping. Se esta for uma frequência relevante, por exempo a frequência de Quart, podemos calcular para onde foi deslocada. Alternativamente pode-se calcular ômega cont para que a frequência de interesse seja mapeada para o ômega disc desejado. Esse procedimento se chama de pré-warping. Vou vos dar exemplo para ilustrar o procedimento de pré-warping. Seja H de s igual a 10 sobre s + 8, cuja frequência de cruzamento do zero é ômega c ao quadrado mais 64 igual a 100, portanto ômega c igual a 6 radianos por segundo. Suponha que você deseja manter essa frequência de cruzamento após após a descaracterização usando a regra de Tustin para período de amostragem de T igual a segundo então ômega cont é igual a dois sobre T tangente de ômega disc vezes T sobre dois. Para que a frequência de cruzamento após o mapeamento seja ômega c igual a seis rádios por segundo, fazemos ômega disc igual a seis rádio por segundo. Ômega cont é igual a dois sobre T tangente de ômega disc vezes T sobre dois, que é igual a dois vezes tangente de três rádios por segundo, que é igual a menos zero vírgula dois oito cinco rádios por segundo. Recordando que H de j ômega é igual a H barra de menos j ômega que barra representa o conjugado, o ganho não muda, então podemos anotar ômega cont igual a zero vírgula dois oito cinco rádios por segundo. A frequência de cruzamento de 0 dB de H de s deve ser deslocada para H cont igual a zero vírgula dois oito cinco rádio por segundo. Isso pode ser feito primeiramente deslocando ômega c para fazendo H de s vezes ômega c igual a dez sobre s ômega c mais oito, que é igual a dez sobre seis s mais oito, que é igual a H linha de s. Seguida basta deslocar este cruzamento para ômega cont fazendo H de s sobre ômega cont igual a dez sobre s vezes seis sobre ômega cont mais oito. Que é igual a dez sobre menos vinte e s mais oito que é igual a H duas linhas de s. Discretizando H duas linhas de s tem-se H duas linhas de z igual a H duas linhas de s quando s igual a dois sobre T vezes z menos sobre z mais por Tustin. Que é igual a dez sobre menos quarenta e dois, vezes z menos sobre z mais mais oito, que é igual a dez z mais sobre menos trinta e quatro z mais cinquenta. A frequência de cruzamento de zero d H duas linhas de s acontecerá quando o módulo for unitário isto é, módulo de dez vezes e elevado a j ômega linha T mais sobre menos trinta e quatro, e elevado a j ômega linha T mais cinquenta igual a. Então cem vezes o cosseno de ômega linha c T mais ao quadrado mais cem vezes o seno de ômega c linha T ao quadrado igual a menos trinta e quatro cosseno de H c linha T mais cinquenta ao quadrado mais trinta e quatro ao quadrado vezes seno de ômega linha c t ao quadrado. Usando a relação trigonométrica seno ao quadrado de x mais cosseno ao quadrado de x igual a podemos simplificar a expressão para três mil e seiscentos cosseno de ômega c linha T igual a 3456. O que implica que o ômega c linha é o arco cujo cosseno vale 3456 sobre 3600, que é igual a menos zero vírgula vinte oito mais dois n pi. Isto é, com n igual a temos ômega linha c igual a seis radianos por segundo Assim mostramos que a frequência de cruzamento, foi mantida cem radianos por segundo. Com isso encerramos a parte de aproximações para o integral e passaremos a abordar duas outras maneiras de aproximar as funções de transferência a tempo contínuo por funções de transferência a tempo discreto nas próximas aulas. O mapeamento de zero sem polos e o equivalente para o z H