Olá, até agora desenvolvemos modelo matemático para o processo de amostrar sinal multiplicar por 'iii' e segurar o valor. Vamos verificar que efeitos esse processo traz para a malha de controle. Isto é, qual a diferença entre fazer essas operações tempo contínuo e fazer esta conversão ao portador segurador. Comecemos verificando que se sinal senoidal for aplicado ao controlador contador idealizado obtido na aula passada, e assumindo o ganho KP igual a a saída será dada por sinal constante por partes, denotando a saída por x(t) tem-se: x(s) igual a E*(s) vezes menos e elevado a menos s T sobre s. Substituindo a transformada de Laplace do sinal E*(s) pelo valor determinado na aula dois X(s) é igual a sobre T maiúsculo, somatório de n igual a menos infinito até infinito E(s) menos j n ômega s vezes 1 menos e elevado a menos sT maiúsculo sobre s. No domínio da frequência s de j ômega é igual a sobre T maiúsculo vezes somatório de n variando de menos infinito até infinito vezes e elevado a j ômega menos j n ômega s, vezes menos e elevado a menos n ômega T sobre j ômega. Para uma senoide e(t) é igual a cosseno de omega zero T o espectro apresenta dois impulsos omega zero e menos omega zero com amplitude sobre pi pois cosseno de omega zero T é igual a e elevado a omega zero T mais e elevado a menos j ômega zero T sobre dois. A transformada de Fourier fica e de j ômega igual a integral de menos infinito até mais infinito, e elevado a j ômega zero T mais e elevado menos j ômega zero T sobre dois tudo isso vezes e elevado a menos j ômega T dt. Observe que a transformada inversa de Fourier de delta de ômega menos ômega zero é igual a sobre dois pi integral de menos infinito até infinito delta de ômega menos ômega zero vezes e elevado 'iii' ômega T de ômega que é igual a e elevado a j ômega zero T sobre dois pi. Assim a transformada de Fourier pode ser calculada como e de j ômega é igual a Pi delta de ômega menos ômega zero mais pi delta de ômega mais ômega zero com isso x de j ômega pode ser desenvolvida como pi sobre T maiúsculo vezes somatório de M igual a menos infinito até infinito delta de omega menos ômega s n menos ômega zero mais delta de ômega menos ômega n s, mais ômega zero tudo isso vezes menos e elevado a j ômega T maiúsculo sobre j ômega. Observe que podemos escrever menos e a menos j ômega T maiúsculo sobre 'iii' como sendo T vezes e elevado a menos j ômega T sobre dois sobre j ômega T vezes e elevado a j ômega T sobre dois menos e elevado a menos j ômega T sobre dois, que é igual a T vezes e elevado a menos j ômega T sobre dois sobre ômega T sobre dois, vezes o seno de ômega T sobre dois assim, podemos escrever x de j ômega como sendo pi vezes somatório de n igual a menos infinito até mais infinito delta de ômega menos ômega s n menos ômega zero mais delta de ômega menos ômega s n mais ômega zero vezes sinc de ômega T sobre dois e elevado a menos j ômega T sobre dois. Que sinc de ômega T sobre dois é igual ao seno de ômega T sobre dois sobre ômega T sobre dois. Tomando a transformada inversa de Laplace pode-se determinar X de T igual a somatório de n igual a menos infinito até infinito pi sobre dois pi sinc de n vezes ômega s mais ômega vezes T sobre dois vezes e elevado a menos j n ômega s mais ômega zero vezes T sobre dois vezes e elevado a j n ômega s mais ômega zero vezes T mais somatória de n igual a n menos infinito mais infinito pi sobre dois pi vezes sinc de n ômega s menos ômega zero T sobre dois vezes e elevado a menos j n ômega s menos ômega zero T sobre dois E elevado a j n ômega s menos ômega zero T. A primeira harmônica obtida fazendo esse n igual a zero é s de T igual a meio do sinc de ômega zero T maiúsculo sobre dois vezes e elevado a j ômega zero T menos T sobre dois mais sinc de menos ômega zero vezes T maiúsculo sobre dois elevado a menos j ômega zero vezes T menos T sobre dois. Dado que sinc de menos xi é igual a sinc de xi isto é, uma função par, então x de T é igual a sinc de ômega zero vezes T sobre dois vezes e elevado a j ômega zero vezes T menos T maiúsculo sobre dois mais e elevado a menos j ômega zero vezes T menos T maiúsculo sobre dois. Tudo isso sobre dois, que é igual ao cosseno de ômega zero vezes T menos T maiúsculo sobre dois. Assim, o sinc é resposável pela amplitude e o cosseno é responsável pela fase. No caso de sinal de saída alimentar sistema com características de passa baixas essa harmônica será mais relevante e determinará as características da resposta. Note que o ganho é dado por sinc de ômega zero vezes T sobre dois que diminui conforme ômega aumenta. Para ômega zero muito menor do que ômega s o que é valido para uma amostragem pelo menos cerca de dez vezes mais rápida dom que a maior frequência do sinal, o argumento ômega zero vezes T sobre dois é igual a ômega zero vezes dois pi sobre dois ômega s que é igual a ômega zero vezes pi sobre ômega s que vai para zero. Isto é o limite quando P vai para zero de sinc de pi vezes P é igual a. Então o ganho é pouco afetado porém a fase foi só atraso de T sobre dois. Nesse caso, uma aproximação razoável para o efeito do amostrador segurador é retardo de tempo de T sobre dois que T é produto de amostragem. Observe que o atraso diminui a margem de fase do sistema, aumentando o comportamento oscilatório. Caso o atraso seja muito grande, pode-se 'iii' a estabilidade do sistema malha fechada. Na prática muitas vezes calcula-se o controlador a tempo contínuo considerando esse atraso, como uma forma de obter uma aproximação para o controlador tempo discreto, esse método é chamado de emulação. Nas próximas aulas veremos como conseguir aproximar o contador calculado a tempo contínuo para ser aplicado tempo discreto.
