Após esse vídeo, você será capaz de explicar como a posição dos polos malha fechada de sistema de segunda ordem sem zero variam à medida que variamos o ganho k. Vamos começar com uma função de transferência do tipo 1 com segundo polo menos a, tipo 1, polo na origem e vamos considerar que o ganho é 1. Na verdade, não precisa ser 1, mas isso facilita os cálculos. Então G de s é igual a 1 sobre s, s mais a. Malha fechada, realimentação negativa unitária e controle proporcional, temos T de s igual a k sobre s ao quadrado mais a s mais k. Polinômio característico: delta de s é igual a s quadrado mais a s mais k. Equação característica: s ao quadrado mais a s mais k igual a 0, que resolvemos usando a fórmula de Bháskara chegando a quadradinho 1 igual a menos a mais raiz quadrada de a ao quadrado menos 4k sobre 2 e quadradinho 2 igual a menos a menos raiz quadrada de a ao quadrado menos 4k sobre 2. Se o ganho k for muito pequeno, podemos aproximar a ao quadrado menos 4k por a ao quadrado. E temos: quadradinho 1 é igual a 0 e quadradinho 2 igual a menos a. Se o ganho k for muito grande, podemos aproximar a ao quadrado menos 4k por menos 4k e temos: quadradinho 1 igual a menos a sobre 2 mais raiz de kj e quadradinho 2 igual a menos a sobre 2 menos raiz de kj. Note que, para k igual a a ao quadrado sobre 4, os dois polos malha fechada estão menos a sobre 2. Então, para valores de k próximos de 0, os polos malha fechada estão próximos dos polos malha aberta 0 e menos a. À medida que o ganho varia de 0 a a ao quadrado sobre 4, os polos malha fechada vão dos polos malha aberta para menos a sobre 2, que é o ponto médio entre os dois polos malha aberta. Para k maior que a ao quadrado sobre 4, os polos malha fechada têm parte real igual a menos a sobre 2 e parte imaginária, e a parte imaginária aumenta à medida que o ganho aumenta. Vamos visualizar isso no Plano s. Aqui estão os polos malha aberta 0 e menos a. Ao aumentarmos k, os polos malha fechada se movem na direção de menos a sobre 2. Quando k é igual a a ao quadrado sobre 4, os polos malha fechada estão menos a sobre 2. Aumentando k, a parte real continua a mesma e a parte imaginária vai aumentando. [SEM SOM] Vamos agora analisar uma função de transferência literal. G de s igual a 1 sobre s mais a s mais b. Malha fechada temos k sobre s ao quadrado mais a mais b s mais ab mais k, polinômio característico delta de s igual a s ao quadrado mais a mais b s mais ab mais k, equação característica s ao quadrado mais a b s mais ab mais k. As raízes são menos a mais b mais ou menos raiz de a mais b ao quadrado menos 4 ab menos 4k sobre 2. Para k igual a 0, as raízes vão ser menos a mais b mais ou menos raiz quadrada de a ao quadrado menos 2 ab mais b ao quadrado sobre 2, que por sua vez são menos b e menos a. Então para k igual a 0, os polos malha fechada estão nos polos malha aberta. Para k igual a a mais b ao quadrado menos 4 ab sobre 4, os polos malha fechada estão ambos menos a mais b sobre 2, ou seja, no ponto médio dos dois polos malha aberta. Para k maior do que a mais b ao quadrado menos 4 ab sobre 4, a parte real dos polos malha fechada será menos a mais b sobre 2 e a parte imaginária aumenta à medida que k aumenta, como no caso do sistema do tipo 1, e note que isso é válido para quaisquer posições dos polos menos a e menos b. Agora você já é capaz de explicar como a posição dos polos malha fechada de sistema de segunda ordem sem zero variam à medida que variamos o ganho k. No próximo vídeo, você verá o que é o lugar geométrico das raízes.