Após esse curso você será capaz de esboçar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR - Root Locus) do denominador da Função de Transferência em Malha Fechada a partir dos polos e zeros da Função de Transferência em Malha aberta. Você também será capaz de projetar controladores de avanço de fase para atender simultaneamente requisitos de desempenho de amortecimento e de velocidade da resposta. Você também será capaz de projetar controladores de atraso de fase para atender requisitos de erro em regime permanente sem alterar as características de estabilidade e da resposta transitória do sistema. Você verá que os controladores PD e PI podem ser considerados como casos especiais dos controladores de avanço e de atraso de fase e verá também que você pode combinar os dois tipos de controladores em controladores de avanço e atraso de fase ou em controladores PID. Por fim você será capaz de modelar o efeito do atraso de transporte em um sistema com realimentação e de contrapor esse efeito projetando um controlador ou fazendo ajustes em um controlador já projetado. Desso modo dado um sistema linear e invariante no tempo e requisitos de amortecimento, velocidade e erro em regime permanente você será capaz de projetar um controlador que fará com que o sistema em malha fechada atenda simultaneamente a esses três tipos de requisitos. E você aprenderá tudo isso usando o MATLAB, uma ferramenta computacional extremamente útil para a análise, projeto e simulação de sistemas.
Projeto de Controlador de Avanço e Atraso de Fase
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Controle de Sistemas no Plano-s
54 classificações
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Na lição
Controladores de avanço e atraso, atraso de transporte
Neste módulo você vai aprender a projetar controladores de avanço e atraso de fase, ou lead-lag. Você também verá um projeto de controlador PID e aprenderá como lidar com o atraso de transporte usando um controlador de avanço de fase.
Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Após esse vídeo, você será capaz de projetar controlador de avanço e atraso
de fase e de compensar o efeito indesejado do atraso de fase com avanço adicional.
Muito bem, está na hora de fazer projeto completo.
Continuando nosso política de reciclagem de exemplos para contribuir com o
nosso meio ambiente,
a função de transferência do sistema é: 200 sobre s s mais 10 s mais 20 e você já
deve saber que que o LGR dessa função de tranferência tem essa forma.
Nós esboçamos esse LGR uma das últimas aulas da segunda semana.
Como exemplo de LGR de terceira ordem.
E você já sabe que o cruzamento do eixo imaginário ocorre próximo de mais ou menos
14j e que o ponto de saída do eixo real está próximo a menos 4,2.
Se não lembra direito não tem problema, pode traçar o LGR com o MATLAB.
G igual a zpk, nada, 0, menos 10, menos 20, 200, rlocus G.
Antes de fazermos nosso projeto de avanço de atraso de fase talvez você
esteja se perguntando: O que fazer se a fase de G de quadradinho d for
maior que menos 180 graus?
Por exemplo, menos 170 graus projetamos controlador de atraso de fase?
Não.
Fase de G de quadradinho d maior que 180 graus normalmente
indica que o LGR está dentro da região que atende ao requisito de desempenho.
Por exemplo, digamos que o nosso requisito de desempenho seja instante de pico de 360
milisegundos e tempo de acomodação para 5 porcento do valor final de 1 segundo,
com isso precisamos ter ômega d igual a 5 e sigma igual a 3,
e o nosso quadradinho d será menos 3 mais 5j.
A região que atende esses requisitos de desempenho no plano s é essa,
e notamos que o LGR passa pelo interior da região.
Calculando a fase de G de quadradinho d, chagamos a menos 171,9 graus,
isso quer dizer que atentemos aos requisitos com certa folga.
Vamos mudar o polo desejado para quadradinho d igual a menos 3,3 mais 5,5j.
Assim tanto o instante de pico quanto o tempo de acomodação,
ficarão menores que o estipulado pelo requisito.
Calculando a fase para o novo polo desejado chegamos a menos 178,6 graus,
ainda não chegamos a menos 180 graus, mas estamos bem próximos.
Você pode alterar os polos novamente para tentar chegar mais perto dos menos
180 graus.
Mas essa fase já é suficiente para calcularmos o ganho, calculando o ganho
para quadradinho d igual a menos 3,3 mais 5,5j, chegamos a k aproximadamente 4,9.
Utilizando esse valor de k obtemos T de s igual a 900 sobre s ao cubo mais
30s ao quadrado mais 200s mais 980,
e os polos são menos 23,3 e menos 3,4 mais ou menos 5,54j.
Bem próximo dos polos desejados e até melhores que os polos desejados,
então se a fase de G de quadradinho d for maior que menos 180 graus,
exija pouco mais do sistema apertando os requisitos de desempenho.
Para isso,
use requisitos de overshoot e tempos menores que os requisitos originais.
Voltemos ao nosso exemplo de projeto de avanço e atraso de fase.
Agora nossos requisitos de desempenho são overshoot de 16,3 porcento,
e tempo de subida de 0 a 100 porcento de 300 milisegundos,
e erro regime permanente para uma entrada rampa unitária de 0,02.
Com isso temos csi igual a 0,5, e ômega d igual a 7 e kv igual a 50,
e o quadradinho d será menos 4,04 mais 7j Calculando a fase de
G de quadradinho d, chegamos a menos 193,3 graus.
Precisamos então de avanço de fase de 13,3 graus.
Vamos usar o 0 do controlador de avanço de fase para cancelar dos polos do sistema.
Podemos cancelar o polo menos 10 ou o polo menos 20, mas não o polo na origem.
Porque?
Porque se cancelarmos o polo na origem, o sistema passa a ser do tipo 0 e teremos
erro regime permanente para entrada rampa que diverge.
Vamos cancelar o polo menos 10, depois você pode projetar
outro controlador tentando cancelar o polo menos 20.
Nosso controlador de avanço de fase está então C de s igual a k,
s mais 10 sobre s mais b.
E já sabemos que a fase com relação ao 0 é 49,6 graus,
nós calculamos essa fase para o polo menos 10,
e a fase com relação ao polo do controlador deve ser menos 36,3 graus.
Note que se já decidirmos que polo vamos cancelar,
nem precisamos calcular a fase com relação a esse polo.
Podemos calcular todas as outras fases e o que falta para chegar a menos 180 graus é
a fase do polo do controlador.
Calculando b obtemos 13,57 e calculando o ganho obtemos 8,33.
O controlador de avanço de fase fica então 8,33 s mais 10 sobre s mais 13,57.
Se você similar a resposta ao degrau com esse controlador verá overshoot é de 15,3
porcento e que o tempo de subida de 0 a 100 porcento é de 344 milisegundos.
Isso porque temos terceiro polo menos 25,49 que deixa a resposta
mais lenta e mais amortecida.
Poderiamos já tentar atender os requisitos aumentando ômega n e projetando o
controlador de avanço de fase,
mas vamos primeiro projetar o controlador de atraso de fase.
Temos kv aproximadamente 6,14 e para atendermos ao requisito de
regime precisamos aumentar a constante de erro para fator 8,14.
Podemos posicionar o 0 do controlador do atraso de fase menos 0,4 e
obtemos C de s igual a 8,33 s mais 10 sobre s mais 13,57 vezes mais 0,4
sobre s mais 0,5 e temos então, controlador de avanço e atraso de fase.
O par polo 0 mais próximo da origem corresponde ao atraso de fase e ajuste do
erro regime permanente.
O par polo 0 mais afastado da origem, corresponde ao avanço de fase e faz com
que o LGR passe pela posição do polo desejado.
E o ganho faz com que esse ponto seja polo malha fechada.
Se você simular a resposta ao degrau,
verá que temos overshoot de 22 porcento e tempo de subida de 328 milisegundos.
O controlador de atraso de fase,
alterou a posição dos polos malha fechada e fez com que o overshoot aumentasse
consideravelmente e com que o tempo de subida diminuísse pouco.
Podemos agora deixar o controlador de atraso mais próximo da origem para
diminuir o seu efeito,
mas isso faria o erro convergir mais lentamente para o valor final.
Ao invés disso, vamos alterar a parte de avanço de fase alterando a posição dos
polos desejados malha fechada.
O atraso de fase fez com que o overshoot aumentasse de 15,3 para 22 porcento.
Ao invés de projetar para overshoot de 16,3 porcento vamos projetar para
overshoot de cerca de 12 porcento.
Com sorte, o terceiro polo e o atraso farão com que o overshoot fique abaixo dos
16,3 porcento e vamos projetar para tempo de subida de 275 milisegundos,
na esperança de que ele não seja alterado para mais de 300 milisegundos.
Temos então, csi igual a 0,56 e ômega d igual a 7,9.
E nosso quadradinho d será menos 5,34 mais 7,87j.
Temos então, fase de G de quadradinho d igual a menos 211,8 graus,
e precisamos de avanço de fase de 31,8 graus.
Cancelando novamente o polo menos 10,
a fase com relação ao polo deve ser 27,6 graus.
Calculando b, chegamos a 20,4.
Calculando o ganho obtemos 13,4 e chegamos a C de s igual a 13,4
s mais 10 sobre s mais 20,4 Com esse controlador temos kv igual a 6,6
e podemos manter o mesmo atraso chegando ao controlador de avanço de atraso de fase
C de s é igual 13,4 s mais 10 sobre s mais 20,4 vezes s mais 0,4 sobre s mais 0,05.
Simulando a resposta ao degrau, chegamos ao overshoot de 16,9 porcento,
e tempo de subida de 300 milisegundos, o que para mim está ótimo.
Se quiser pode refazer o projeto para overshoot pouco menor.
Eu estou satisfeito com esse resultado,
o projeto de controle de sistemas envolve pouco de arte.
Não é apenas calcular os números,
é preciso fazer alguns ajustes para obter realmente a resposta desejada.
Ainda bem, se fosse apenas fazer contas o MATLAB faria tudo e ninguém precisaria de
pessoas que entendessem de controle de sistemas.
Só de gente que soubesse usar o MATLAB.
Se bem que o MATLAB está chegando perto disso,
mas ainda são necessárias as pessoas que realmente entendam de controle de sistemas
para pilotar o MATLAB de forma eficiente.
Então, felizmente para projetar controladores pelo menos por enquanto,
ainda é preciso mais do que aplicar fórmulas,
é preciso saber de onde virão as fórmulas e principalmente,
que considerações e aproximações foram feitas para se chegar a essas fórmulas.
Desse modo quando as aproximações não são mais válidas somos capazes de
fazer os ajustes necessários no nosso projeto.
É a arte de fazer aproximações e entender essas aproximações para usá-las
a nosso favor.
Agora você já é capaz de projetar controlador de avanço e atraso de fase e
de compensar o efeito indesejado do atraso de fase com o avanço adicional.
No próximo vídeo você verá projeto de controlador PID.
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