Após esse vídeo, você será capaz de projetar controlador de avanço e atraso de fase e de compensar o efeito indesejado do atraso de fase com avanço adicional. Muito bem, está na hora de fazer projeto completo. Continuando nosso política de reciclagem de exemplos para contribuir com o nosso meio ambiente, a função de transferência do sistema é: 200 sobre s s mais 10 s mais 20 e você já deve saber que que o LGR dessa função de tranferência tem essa forma. Nós esboçamos esse LGR uma das últimas aulas da segunda semana. Como exemplo de LGR de terceira ordem. E você já sabe que o cruzamento do eixo imaginário ocorre próximo de mais ou menos 14j e que o ponto de saída do eixo real está próximo a menos 4,2. Se não lembra direito não tem problema, pode traçar o LGR com o MATLAB. G igual a zpk, nada, 0, menos 10, menos 20, 200, rlocus G. Antes de fazermos nosso projeto de avanço de atraso de fase talvez você esteja se perguntando: O que fazer se a fase de G de quadradinho d for maior que menos 180 graus? Por exemplo, menos 170 graus projetamos controlador de atraso de fase? Não. Fase de G de quadradinho d maior que 180 graus normalmente indica que o LGR está dentro da região que atende ao requisito de desempenho. Por exemplo, digamos que o nosso requisito de desempenho seja instante de pico de 360 milisegundos e tempo de acomodação para 5 porcento do valor final de 1 segundo, com isso precisamos ter ômega d igual a 5 e sigma igual a 3, e o nosso quadradinho d será menos 3 mais 5j. A região que atende esses requisitos de desempenho no plano s é essa, e notamos que o LGR passa pelo interior da região. Calculando a fase de G de quadradinho d, chagamos a menos 171,9 graus, isso quer dizer que atentemos aos requisitos com certa folga. Vamos mudar o polo desejado para quadradinho d igual a menos 3,3 mais 5,5j. Assim tanto o instante de pico quanto o tempo de acomodação, ficarão menores que o estipulado pelo requisito. Calculando a fase para o novo polo desejado chegamos a menos 178,6 graus, ainda não chegamos a menos 180 graus, mas estamos bem próximos. Você pode alterar os polos novamente para tentar chegar mais perto dos menos 180 graus. Mas essa fase já é suficiente para calcularmos o ganho, calculando o ganho para quadradinho d igual a menos 3,3 mais 5,5j, chegamos a k aproximadamente 4,9. Utilizando esse valor de k obtemos T de s igual a 900 sobre s ao cubo mais 30s ao quadrado mais 200s mais 980, e os polos são menos 23,3 e menos 3,4 mais ou menos 5,54j. Bem próximo dos polos desejados e até melhores que os polos desejados, então se a fase de G de quadradinho d for maior que menos 180 graus, exija pouco mais do sistema apertando os requisitos de desempenho. Para isso, use requisitos de overshoot e tempos menores que os requisitos originais. Voltemos ao nosso exemplo de projeto de avanço e atraso de fase. Agora nossos requisitos de desempenho são overshoot de 16,3 porcento, e tempo de subida de 0 a 100 porcento de 300 milisegundos, e erro regime permanente para uma entrada rampa unitária de 0,02. Com isso temos csi igual a 0,5, e ômega d igual a 7 e kv igual a 50, e o quadradinho d será menos 4,04 mais 7j Calculando a fase de G de quadradinho d, chegamos a menos 193,3 graus. Precisamos então de avanço de fase de 13,3 graus. Vamos usar o 0 do controlador de avanço de fase para cancelar dos polos do sistema. Podemos cancelar o polo menos 10 ou o polo menos 20, mas não o polo na origem. Porque? Porque se cancelarmos o polo na origem, o sistema passa a ser do tipo 0 e teremos erro regime permanente para entrada rampa que diverge. Vamos cancelar o polo menos 10, depois você pode projetar outro controlador tentando cancelar o polo menos 20. Nosso controlador de avanço de fase está então C de s igual a k, s mais 10 sobre s mais b. E já sabemos que a fase com relação ao 0 é 49,6 graus, nós calculamos essa fase para o polo menos 10, e a fase com relação ao polo do controlador deve ser menos 36,3 graus. Note que se já decidirmos que polo vamos cancelar, nem precisamos calcular a fase com relação a esse polo. Podemos calcular todas as outras fases e o que falta para chegar a menos 180 graus é a fase do polo do controlador. Calculando b obtemos 13,57 e calculando o ganho obtemos 8,33. O controlador de avanço de fase fica então 8,33 s mais 10 sobre s mais 13,57. Se você similar a resposta ao degrau com esse controlador verá overshoot é de 15,3 porcento e que o tempo de subida de 0 a 100 porcento é de 344 milisegundos. Isso porque temos terceiro polo menos 25,49 que deixa a resposta mais lenta e mais amortecida. Poderiamos já tentar atender os requisitos aumentando ômega n e projetando o controlador de avanço de fase, mas vamos primeiro projetar o controlador de atraso de fase. Temos kv aproximadamente 6,14 e para atendermos ao requisito de regime precisamos aumentar a constante de erro para fator 8,14. Podemos posicionar o 0 do controlador do atraso de fase menos 0,4 e obtemos C de s igual a 8,33 s mais 10 sobre s mais 13,57 vezes mais 0,4 sobre s mais 0,5 e temos então, controlador de avanço e atraso de fase. O par polo 0 mais próximo da origem corresponde ao atraso de fase e ajuste do erro regime permanente. O par polo 0 mais afastado da origem, corresponde ao avanço de fase e faz com que o LGR passe pela posição do polo desejado. E o ganho faz com que esse ponto seja polo malha fechada. Se você simular a resposta ao degrau, verá que temos overshoot de 22 porcento e tempo de subida de 328 milisegundos. O controlador de atraso de fase, alterou a posição dos polos malha fechada e fez com que o overshoot aumentasse consideravelmente e com que o tempo de subida diminuísse pouco. Podemos agora deixar o controlador de atraso mais próximo da origem para diminuir o seu efeito, mas isso faria o erro convergir mais lentamente para o valor final. Ao invés disso, vamos alterar a parte de avanço de fase alterando a posição dos polos desejados malha fechada. O atraso de fase fez com que o overshoot aumentasse de 15,3 para 22 porcento. Ao invés de projetar para overshoot de 16,3 porcento vamos projetar para overshoot de cerca de 12 porcento. Com sorte, o terceiro polo e o atraso farão com que o overshoot fique abaixo dos 16,3 porcento e vamos projetar para tempo de subida de 275 milisegundos, na esperança de que ele não seja alterado para mais de 300 milisegundos. Temos então, csi igual a 0,56 e ômega d igual a 7,9. E nosso quadradinho d será menos 5,34 mais 7,87j. Temos então, fase de G de quadradinho d igual a menos 211,8 graus, e precisamos de avanço de fase de 31,8 graus. Cancelando novamente o polo menos 10, a fase com relação ao polo deve ser 27,6 graus. Calculando b, chegamos a 20,4. Calculando o ganho obtemos 13,4 e chegamos a C de s igual a 13,4 s mais 10 sobre s mais 20,4 Com esse controlador temos kv igual a 6,6 e podemos manter o mesmo atraso chegando ao controlador de avanço de atraso de fase C de s é igual 13,4 s mais 10 sobre s mais 20,4 vezes s mais 0,4 sobre s mais 0,05. Simulando a resposta ao degrau, chegamos ao overshoot de 16,9 porcento, e tempo de subida de 300 milisegundos, o que para mim está ótimo. Se quiser pode refazer o projeto para overshoot pouco menor. Eu estou satisfeito com esse resultado, o projeto de controle de sistemas envolve pouco de arte. Não é apenas calcular os números, é preciso fazer alguns ajustes para obter realmente a resposta desejada. Ainda bem, se fosse apenas fazer contas o MATLAB faria tudo e ninguém precisaria de pessoas que entendessem de controle de sistemas. Só de gente que soubesse usar o MATLAB. Se bem que o MATLAB está chegando perto disso, mas ainda são necessárias as pessoas que realmente entendam de controle de sistemas para pilotar o MATLAB de forma eficiente. Então, felizmente para projetar controladores pelo menos por enquanto, ainda é preciso mais do que aplicar fórmulas, é preciso saber de onde virão as fórmulas e principalmente, que considerações e aproximações foram feitas para se chegar a essas fórmulas. Desse modo quando as aproximações não são mais válidas somos capazes de fazer os ajustes necessários no nosso projeto. É a arte de fazer aproximações e entender essas aproximações para usá-las a nosso favor. Agora você já é capaz de projetar controlador de avanço e atraso de fase e de compensar o efeito indesejado do atraso de fase com o avanço adicional. No próximo vídeo você verá projeto de controlador PID.
