Após esse video, você será capaz de esboçar o lugar geométrico das raízes para sistemas de terceira ordem sem zeros e com 0. Para nosso primeiro exemplo, vamos usar sistema de terceira ordem do Tipo 1: G de s igual a 200 sobre s s mais 10 s mais 20. São 3 ramos do lugar geométrico das raízes, no eixo real os trechos entre 0 e menos 10 e à esquerda de menos 20, fazem parte do LGR. Temos 3 assíntotas com 180 graus e mais ou menos 60 graus que se cruzam menos 10. Construímos a tabela de Routh para determinar onde o LGR cruza o eixo imaginário. P de s igual s ao cubo mais 30 s ao quadrado mais 200 s mais 200 k, na linha s 3, 1 e 200; na linha s 2, 30 e 200 k; na linha s 1, 6000 menos 200 k, k é igual a 30 e os polos complexos conjugados são: mais ou menos 10 raiz quadrada de 2 j, o que dá aproximadamente mais ou menos 14 j. Calculando a saída do eixo real, 3 s ao quadrado mais 60 s mais 200 igual a 0, raízes menos 15,8 e menos 4,2 e a saída do eixo real é menos 4,2. Completando o root locus da forma mais simples possível. Vamos agora ver como traçar o LGR com o MATLAB. Execute o MATLAB e crie a função de transferência de nosso exemplo, usando zpk, sys igual a zpk abre parênteses, abre e fecha colchetes, vírgula, abre colchetes, 0 espaço menos 10, espaço menos 20, fecha colchetes, vírgula, abre colchetes, 200, fecha colchetes, fecha parênteses, enter. E agora digite rlocus, abre parênteses, sys, fecha parênteses, enter e pronto, aqui está o lugar geométrico das raízes de nosso exemplo. Difícil, não? Agora você sabe conferir este lugar geométrico das raízes. Você pode clicar sobre dos ramos e arrastar o quadradinho para ver alguns valores do LGR, por exemplo, o ponto de cruzamento do eixo imaginário e o ganho para isso e o ponto de saída do eixo real. Note que os valores batem com os valores calculados. Altere as posições dos polos, colocando ou mais no semiplano da esquerda, experimente também usar par de polos complexos conjugados, esboce o LGR e confira seu esboço usando a função rlocus do MATLAB. Vamos agora ver o LGR de sistema de terceira ordem com 0: G de s é igual a 200 s mais 5 sobre s s mais 10 s mais 15. Novamente são 3 ramos do LGR, no eixo real os trechos entre 0 e menos 5 e entre menos 10 e menos 15 fazem parte do LGR. Temos duas assíntotas com mais e menos 90 graus, que se cruzam menos 10. Se você construir a tabela de Routh para esse sistema, verá que ele nunca ficará instável para ganho positivo, o LGR então não cruza o eixo imaginário. Vamos calcular a saída do eixo real. Como temos polinômio no numerador, vamos usar a fórmula completa, que corresponde a igualar a derivada de 1 sobre G de s a 0. O denominador de G de s é s ao cubo mais 25 s ao quadrado mais 150 s e o numerador de G de s é 200 s mais 1000. Derivando o denominador com relação a s obtemos: 3 s ao quadrado mais 50 s mais 150 e derivando o denominador obtemos 200. Substituindo na fórmula, temos: menos 3 s ao quadrado mais 50 s mais 150 sobre 200 s mais 1000 mais s ao cubo mais 25 s ao quadrado mais 150 s sobre 200 s mais 1000 ao quadrado vezes 200 igual a 0, que podemos reescrever como: 200 s ao cubo mais 25 s ao quadrado mais 150 s igual a 3 s ao quadrado mais 50 s mais 150 vezes 200 s mais 1000. Fazendo a multiplicação e reagrupando os termos, chegamos a: 400 s ao cubo mais 8000 s ao quadrado mais 50000 s mais 150000 igual a 0. Que podemos ainda simplificar para: s ao cubo mais 20 s ao quadrado mais 125 s mais 375 igual a 0, cujas raízes são aproximadamente menos 12,3 e menos 3,8 mais ou menos 4 j e obviamente o ponto de saída só pode ser menos 12,3. Finalizando nosso LGR, note que para esboço poderíamos ter colocado a saída do eixo real no ponto médio entre menos 10 e menos 15, o meu esboço ainda estaria muito bom. Eu acho que você nem precisa da minha ajuda para traçar o LGR no MATLAB, mas vamos lá, digite: sys igual a zpk, abre parênteses, abre colchetes, menos 5, fecha colchetes, vírgula, abre colchetes, 0 espaço menos 10, espaço menos 15, fecha colchetes, vírgula, abre colchetes, 200, fecha colchetes, fecha parênteses, enter. E rlocus, sys, enter. Note novamente que os valores do cruzamento das assíntotas e do ponto de saída, batem com os valores calculados, altere as posições dos polos e do 0 e treine mais pouco, se quiser, pode acrescentar mais ou dois zeros à função de transferência. Acrescentaremos polo no próximo video, esboce os LGRs e confira usando o MATLAB. Agora você já é capaz de esboçar o LGR para sistemas de terceira ordem, sem ou com zeros. No próximo video, você verá exemplo do esboço de LGR de quarta ordem sem zeros e com 0.
